第三讲 环路定理

p1p2qo静电场的环路定理电势一、静电场力作功

点电荷电场中试验电荷q0从p1点经任意路径到达p2点。在路径上任一点附近取元位移θdlErdrqr1r2点电荷电场力的功:q0由

p1到p2电场力做功做功与路径无关点电荷系的电场中根据电场的叠加性，试探电荷受多个电场作用则

试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电场力对q0做的功仅与试探电荷的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径无关。电场力对试验电荷q0做功为总功也与路径无关。结论：

静电场是保守场，静电场力是保守力。二、静电场的环路定理

试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径L运动一周时，电场力对q0做的功A=？安培

在闭合路径L上任取两点P1、P2，将L分成L1、L2两段，P2P1L2L1(L2)(L1)(L1)(L2)即即静电场力沿任一闭和路径移动电荷所作的功为零。静电场中电场强度的环流恒为零

静电场的环路定理

在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（称为场强的环流）恒为零。该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。任何力场，只要其场强的环流为零，该力场就叫保守力场或势场。综合静电场高斯定律和环路定理，可知静电场是有源的保守力场，又由于电场线是不闭合的，既形不成旋涡的，所以静电场是无旋场。比较：高斯定理：——静电场是有源场环路定理：——静电场是保守力场三．电势能：电荷在静电场中的一定位置所具有的势能重力（保守力）的功=重力势能增量的负值所以静电力的功=静电势能增量的负值b点电势能ab则电场力的功取注意：系统属于及试验电荷处于a点电势能

即：试验电荷在电场中某点的电势能，在数值上等于把此试验电荷从该点移到势能零点处电场力所作的功。注意：（1）电势能零点的选取是任意的，常选无限远处为势能零点。（2）势能是一个相对的量值。

（3）用上述定义求电势能必须先明确空间的场强分布。（4）积分路径可任取势能零点位置四．电势电势差1．电势

V单位正电荷在该点所具有的电势能单位正电荷从该点到无穷远点电场力所作的功2.电势差电场中任意两点的电势之差（电压）单位正电荷从ab电场力的功

定义电势差电场中两点电势之差(电压)

沿着电场线方向，电势降低。AB上式表明，静电场中两点A、B的电势差，等于单位正电荷在电场中从A经任意路径到达B点时电场力所做的功。电荷q0从A点经任意路径移动到B点电场力所作的功。是计算电场力作功和计算电势能变化常用公式。说明：⑴电势是一个标量，单位是“伏特(V)”⑵电势是一个相对的量，其值取决于零电势点的选取。理论计算中：A.若电荷空间有限，取：B.若电荷空间无限，视情况而定。（3）功、电势差、电势能之间的关系讨论:１.则则2.则则根据电场叠加原理场中任一点的五．电势叠加原理若场源为的点电荷系场强电势各点电荷单独存在时在该点电势的代数和六、电势的计算点电荷的电势点电荷的电场Vr+积分得可见,点电荷周围空间任一点的电势与该点距离点电荷的距离r成反比.正点电荷周围电势分布特点。点电荷系的电势连续分布带电体的电势q3q1r1r2q2q4r3r4P依据电荷分布特点将连续带电体分成许多电荷元，再根据电势叠加原理进行积分计算。例１．求电偶极子电场中任一点Ｐ的电势由叠加原理其中课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的电点荷r=5cm①求②将③求该过程中电势能的改变从电场力所作的功电势能++++++++例2

一半径为R

的圆环，均匀带有电荷量q

。计算圆环轴线上任一点P

处的电势。+解：设环上电荷线密度为环上任取一长度为的电荷元，其所带电荷该电荷元在p

点电势为：oprxxR叠加法(微元法)整个圆环在p点的电势为方法二

定义法由前面例题得到E

的分布由的定义例3.求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q解:方法一叠加法(微元法)任一圆环由图解：（1）取无穷远处为电势零点；（2）由高斯定律可知电场分布为；（3）确定电势分布；++++++++++++++++qRo

方法二定义法(1)当r<R时(2)当r>R时rVR++++++++++++++++qRo电势分布曲线场强分布曲线EVRRrrOO结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。课堂练习：1.求等量异号的同心带电球面的电势差已知解:由高斯定理由电势差定义①求单位正电荷沿odc移至c，电场力所作的功②将单位负电荷由

O电场力所作的功2.如图已知

解：令无限长直线如图放置，其上电荷线密度为λ

。计算在x轴上距直线为r的任一点P处的电势。yrOPP1xr1因为无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远的，所以在这种情况下不能用连续分布电荷的电势公式来计算电势V，否则必得出无限大的结果，显然是没有意义的。同样也不能直接用电势公式来计算电势，不然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果。例4

计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。

为了能求得P点的电势，可先应用电势差和场强的关系式，求出在轴上P点和P1点的电势差。无限长均匀带电直线在x轴上的场强为

于是，过P点沿x轴积分可算得P点与参考点P1的电势差

由于ln1=0，所以本题中若选离直线为r1=1m处作为电势零点，则很方便地可得P点的电势为点电荷的等势面

七、等势面在静电场中，电势相等的点所组成的面称为等势面。典型等势面

由上式可知，在r>1m处,VP为负值；在r<1m处,VP为正值。这个例题的结果再次表明，在静电场中只有两点的电势差有绝对的意义，而各点的电势值却只有相对的意义。电偶极子的等势面+等势面电平行板电容器电场的等势面+++++++++

等势面的性质⑴等势面与电