第三章 33 几何概型 2

3.3几何概型预习思考1，什么是几何概型？有何特点？计算公式？2，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长大于AC的长的概率．3

在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．1．几何概型的定义若每事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积、体积、角度)成比例，则称此概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有

．(2)每个基本事件出现的可能性

．无限多个相等[例1]

在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长大于AC的长的概率．C'

在求解与长度有关的几何概型时，先找到几何区域D，可能是一线段或几条线段或曲线段，后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．思考：分析：基本事件是什么？满足条件的基本事件有哪些？答案：C-55-12x0

[例2]

如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．C'在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，

任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为___．思考：[例3]

如图所示，圆盘中阴影部分扇形的圆心角为60°。若向圆盘内投镖，如果某人每次都能随机投入圆盘中，那么他投中阴影部分的概率为______．解此类几何概型问题的关键是(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题．

(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积．(3)套用公式从而求得随机事件的概率．[例4]有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．课时练习P60,课堂强化课时小结几何概型四种案例：长度；角度；面积；体积。概率计算：P=课时作业作业十八备用练习国家安全机关的监听录音记录了两名间谍的谈话，发现在30min长的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段谈话内容包含两名间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了．该工作人员声称他完全是无意中按错了键，才使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉的概率有多少？[巧思]

因为在任意时刻都会按错键，即在任意时刻按错键是等可能的，且有无限多个结果，符合几何概型．可以用“按错键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉”所发生的时间与总时间的比值进行求解．[妙解]包含两名间谍谈话录音的部分在30～40s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉；当按错键的时刻在0～30s之间时，全部被擦掉．即在0～40s之间的时间段内任一时刻按错键时，含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉，而在0～30min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的．所以按错键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段的长度有关，符合几何概型的条件．[小问题·大思维]1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有

关，而与构成事件的区域形状无关．2．几何概型中，概率为0的事件一定是不可能事件吗？

概率为1的事件也一定是必然事件吗？提示：如果随机事件所在区域是一个单点，因单点的

长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0(即P(A)＝0)，但它不是不可能事件；如果随机事件所在

的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1(即P(