第8章.弯曲刚度

第8章梁弯曲刚度§8-1

梁的位移——挠度和转角§8-2

梁的挠曲线近似微分方程及其积分§8-3

按叠加原理计算梁的挠度和转角§8-3

梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施1§8-1

梁的位移——挠度和转角直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移q称为横截面的转角(angleofrotation)。第8章梁弯曲刚度2弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflectioncurve)为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：第8章梁弯曲刚度3在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；

顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负。第8章梁弯曲刚度4力学中的曲率公式数学中的曲率公式

小挠度微分方程

§8-2

梁的挠曲线近似微分方程及其积分第8章梁弯曲刚度5小挠度情形下

对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。梁的小挠度微分方程及其积分

第8章梁弯曲刚度6梁的小挠度微分方程及其积分

第8章梁弯曲刚度7采用向下的w坐标系，有梁的小挠度微分方程及其积分

第8章梁弯曲刚度8

对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：

其中C、D为积分常数。

梁的小挠度微分方程及其积分

第8章梁弯曲刚度9

积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：

在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;

连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。

在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。梁的小挠度微分方程及其积分

小挠度微分方程的积分与积分常数的确定第8章梁弯曲刚度10例题1

求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。

已知：简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。梁的小挠度微分方程及其积分

第8章梁弯曲刚度11

解：1．

确定梁约束力

因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。

首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。

2．

分段建立梁的弯矩方程

在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。梁的小挠度微分方程及其积分

第8章梁弯曲刚度12AB段

BC段

于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为

梁的小挠度微分方程及其积分

第8章梁弯曲刚度133．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分梁的小挠度微分方程及其积分

第8章梁弯曲刚度14积分后，得

其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定。梁的小挠度微分方程及其积分

第8章梁弯曲刚度154．

利用约束条件和连续条件确定积分常数在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2梁的小挠度微分方程及其积分

第8章梁弯曲刚度16x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=0梁的小挠度微分方程及其积分

第8章梁弯曲刚度175．

确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角

将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：

AB段

BC段

据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为

梁的小挠度微分方程及其积分

第8章梁弯曲刚度18例题2

求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。

已知：左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为q

，梁的弯曲刚度为EI、长度为l。q、EI、l均已知。梁的小挠度微分方程及其积分

第8章梁弯曲刚度19

解：1．建立Oxw坐标系

建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。

梁的小挠度微分方程及其积分

Oxw第8章梁弯曲刚度20

从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：

梁的小挠度微分方程及其积分

2．建立梁的弯矩方程xM(x)FQ(x)第8章梁弯曲刚度213．

建立微分方程并积分梁的小挠度微分方程及其积分

Oxw将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得

第8章梁弯曲刚度22梁的小挠度微分方程及其积分

Oxw积分后，得到

第8章梁弯曲刚度234．

利用约束条件确定积分常数梁的小挠度微分方程及其积分

固定端处的约束条件为：

第8章梁弯曲刚度24梁的小挠度微分方程及其积分

5．

确定挠度与转角方程第8章梁弯曲刚度256．

确定最大挠度与最大转角梁的小挠度微分方程及其积分

从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。

于是，将x=l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：

第8章梁弯曲刚度26确定约束力,判断是否需要分段以及分几段分段建立挠度微分方程微分方程的积分利用约束条件和连续条件确定积分常数确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结分段写出弯矩方程梁的小挠度微分方程及其积分

第8章梁弯曲刚度27

在很多工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。

基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法（superpositionmethod）由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。§8-3按叠加原理计算梁的挠度和转角第8章梁弯曲刚度28叠加法应用于多个载荷作用的情形

叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法确定梁的挠度与转角

第8章梁弯曲刚度29

当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。叠加法确定梁的挠度与转角

叠加法应用于多个载荷作用的情形

第8章梁弯曲刚度30

已知：简支梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。

求：C截面的挠度wC

；B截面的转角B。例题3叠加法确定梁的挠度与转角

第8章梁弯曲刚度31解：1.将梁上的载荷变为三种简单的情形。叠加法确定梁的挠度与转角

第8章梁弯曲刚度322.由挠度表查得三种情形下C截面的挠度和B截面的转角。叠加法确定梁的挠度与转角

第8章梁弯曲刚度333.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加

将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:

叠加法确定梁的挠度与转角

第8章梁弯曲刚度34

对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。叠加法确定梁的挠度与转角

叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形第8章梁弯曲刚度35

已知：悬臂梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。

求：C截面的挠度wC和转角C。例题4叠加法确定梁的挠度与转角

第8章梁弯曲刚度36解：1.首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

为了利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。

叠加法确定梁的挠度与转角

第8章梁弯曲刚度37

分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为

2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角

叠加法确定梁的挠度与转角

第8章梁弯曲刚度38

两种情形下自由端的挠度和转角分别为

叠加法确定梁的挠度与转角

第8章梁弯曲刚度393．将简单载荷作用的结果叠加

叠加法确定梁的挠度与转角

第8章梁弯曲刚度40

对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件：

上述二式中w和分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。

梁的刚度条件

§5-5

梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施第8章梁弯曲刚度41

已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角θ=0.5°。

试求：根据刚度要求确定该轴的直径d。

B例题5

第8章梁弯曲刚度梁刚度校核42解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。

B第8章梁弯曲刚度梁刚度校核431．查表确定B处的转角

由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为

B2．根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求，有

第8章梁弯曲刚度梁刚度校核44B其中，的单位为rad（弧度），而θ