第一讲 无简并定态微扰论

第一讲、无简并定态微扰论实际的物理系统大多属于无法严格求解的问题。为了研究这些数学上无法严格求解的问题，我们可以使用各种近似方法、计算机模拟或数值计算等进行处理简介对于量子力学来说，绝大多数的问题，并不能求得E和ψ的精确解。因为哈密顿算符中，不仅应包括所研究微观体系内所有粒子（比如氦原子中的两个电子，硅原子中的14个电子等等）的动能，还应包括体系内粒子间各种性质的一切相互作用的势能之和U（r），这就使得哈密顿算符非常复杂。量子力学发展了很多求近似解的方法，如微扰论、变分法、平均场方法、重整化群方法、格林函数方法等；。本课程只介绍用的最多的微扰论。定态微扰论的含义定态微扰论是不显含时间t的情况下的微扰论（显含时间t的情况属于含时微扰论，将在第八章介绍）。用定态微扰论近似求解的本征方程时，对算符有两点要求：(1)可以分解成两部分：因此，哈密顿算符的本征方程变为：的本征方程为：微扰论的要求条件的本征方程必须能够精确求解，或者的本征值和本征函数为已知。称为微扰算符。（2）很小的具体条件是：其中：这个条件以后还会介绍。通常我们也可以用作粗略的判断。如果成立，则可以把微小能量看成对能量的微扰。一、无简并定态微扰论无简并是指的本征值谱中，所要研究的那个本征值无简并，即无微扰时，体系的对应的只有一个波函数满足定态本征方程：定态微扰论相当于：状态本征算符本征态本征能量系统无微扰：系统受到微扰：具体的求解步骤1，建立级数修正项方程：对E、ψ实际解作级数展开如下：零级近似一级修正（一级小量）二级修正（二级小量）把上两式代入的本征方程，再把同级小量分别加在一起，得到方程（见下页）要恒等式成立，等式两边同级小量之和必须对应相等，于是得到一系列求各级修正项的方程：可精确求解把已知的带入到方程：可得，再带入到级数表达式，可以得到的一级近似解：把已得到的带入方程：得到二级近似解：还可以类似的求得更高一级的三级小量等等。直到修正后的结果达到满意的精确度为止（是指能够说明实际问题所要求的精确度）。由此可见，微扰法实际是一种逐步逼近法。2，一级修正的表达式首先根据本征函数的完全性，可以表示为：将其带入方程：得到：利用：改写方程为：用左乘上式两边，再对整个空间积分，利用本征函数的正交归一性简化，得到：其中称之为微扰矩阵元当即取，则于是可以得到E的一级修正：由此可见，体系能量的一级修正等于在体系未受微扰时所处状态中的平均值。这样从已知的求得。当，则，可以得到叠加系数还有没有求出，这可由归一化条件求得：如果只是求到一级近似，则于是的归一化条件为：因为已归一化，所以第三项很小可以略去，于是必须：再将带入上式，得到结果：上式当或为纯虚数时成立。如果为纯虚数，只是令波函数增加一个相因子（为实数），不改变，所以得到：至此我们已经求出了的全部叠加系数。将这些系数全部带入到一级修正的表达式中，得到：其中：

的撇号表示求和不包括n=k这一项，因为这一项的系数我们已经求得为零。这样，就在已知无微扰本征值谱和本征函数系的基础上，求得有微扰时波函数的一级修正。下面，我们再来看看二级修正的表达式。3，的表达式如果一级近似还不能满足精确度要求，还可以进一步求E的二级修正。二级修正的方程为：同样用零级的完全本征函数系展开二级修正波函数带入上式，然后在方程的两边左乘再对整个空间积分，并利用正交归一化条件简化，得到：如果m=k，即取得到：已知由上式可以得到二级修正：上式中利用了的厄米性：因为：能量E的二级近似为：说明：通常，用微扰法对E最多计算到二级近似，对波函数则只计算到一级近似。如果还不够精确，则说明微扰法对该问题不大适用，说明能量和波函数的级数展开收敛太慢，如果还要结果精确，还需要计算很多级修正，那就太复杂了。4，关于微扰法的适用条件我们前面提到，微扰法成立的条件是：这是因为这个条件可以保证很小，也很小。那么在这两项分解的级数以后的项都会比这两项小很多。这样，我们就可以认为所求的足够精确，这就是“”很小的确切含义。二、氦原子的基态能量这一节的内容是作为一个例子来说明如何利用无简并定态微扰论来计算氦原子基态能量。氦原子有两个电子，把坐标原点取在氦原子核上（见书中P128图5－1），相当于氦核不动。具体求解步骤如下：1，写出表达式氦原子体系的能量算符为：式中第一项、二项分别为电子1，2的动能算符，第三、四项分别是电子1，2与氦核电库仑相互作用势能，第五项是两个电子之间的库仑相互作用势能。2，选择解的本征方程：才能得到的能级和波函数。但是由于交叉项1/r12的存在，使得方程不可能有精确解。因此，采用无简并定态微扰法近似求解。先把哈密顿算符分成两项：第五项作为微扰项，因为（1）的本征方程可以精确求解，（2）相对于前四项之和，第五项较小。3，解的本征方程的本征方程可用分离变量法求得精确解。因为我们要计算的只是氦原子的基态能量。即求的基态能量，以及受到微扰之后的的基态能量。设的基态本征函数为，则有：这相当于氢原子的电子独自在氢核电库仑场中运动，因此可以把分成两项（见下页）。从上页的方程中，我们可以看出，这属于类氢离子的情况。而为已知。对于类氢离子基态有n＝1，l＝0，m＝0，因此有：上页式中为氢原子基态能量的数值。所以，的基态本征能量和本征函数分别为：以上为的本征方程度精确解，满足微扰法适用的第一个条件。的基态能量无简并，因此都分别只有一个。下面，我们用无简并微扰法，由的已知本征值和属于的本征态，求得。4，用微扰法求近似解按无简并微扰论，有微扰时，能量的一级修正等于微扰