高考数学解答题常考公式及答题模板

第第页高考数学解答题常考公式及答题模板题型一：解三角形1正弦定理：（是外接圆的半径）变式①：变式②：变式③：2余弦定理：变式：3面积公式：4射影定理：（少用可以不记哦^o^）奇：的奇数倍偶：的偶数倍5三角形的内角和等于即6诱导公式：奇变偶不变奇：的奇数倍偶：的偶数倍利用以上关系和诱导公式可得公式：和7平方关系和商的关系：①②8二倍角公式：①②降幂公式：③8和差角公式：①②③9基本不等式：①②③注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到比如求面积的最大值时。☞答题步骤：①抄条件：先写出题目所给的条件（但不要抄题目）②写公式：写出要用的公式如正弦定理或余弦定理③有过程：写出运算过程关注公众号《品数学》获取更多资料④得结论：写出结论（不会就猜一个结果）⑤猜公式：第二问一定不能放弃先写出题目所给的条件然后再写一些你认为可能考到的公式如均值不等式或面积公式等。10不常用的三角函数公式（很少用可以不记哦^o^）（1）万能公式：①②③（2）三倍角公式：①②③例1：在中内角ABC所对应的边分别为abc已知.(1)求B(2)若求sinC的值.解：已知……将题目的条件抄一遍由正弦定理……写出要用的公式……写出要用的公式……写出运算过程又故.……写出结论(2)已知,……写出题目的条件和要用的公式……先写公式再写运算过程.例2：在△ABC中角ABC所对的边分别为abc已知cosC＋(cosA－sinA)cosB=0.(1)求角B的大小(2)若a＋c=1求b的取值范围．解：(1)已知cosC＋(cosA－sinA)cosB=0……将题目的条件抄一遍……写出必要的运算过程.……得出结论(2)由余弦定理得……写出要用的公式……写出必要的运算过程根据基本不等式得……写出要用的公式……写出必要的运算过程即.……得出结论题型二：数列1等差数列2等比数列①定义：①定义：②通项公式：②通项公式：③前n项和：（大题小题都常考）③前n项和：（常考）（小题常考）（可以不记哦^o^）④等差中项：若成等差数列则④等比中项：若成等比数列则⑤性质：若则⑤性质：若则3与的关系：注意：该公式适用于任何数列常利用它来求数列的通项公式4求数列通项公式的方法（1）公式法：①若已知和则用等差数列通项公式②若已知和则用等比数列通项公式（2）与的关系：例3：数列满足求.解：设则（1）当时（2）当时①②①-②得……利用了与的关系验证当时……要验证n=1是否成立不成立应当分开写故.（3）构造法：形如（pq为非零常数）构造等比数列例4：已知数列满足且求.解：已知且构造……构造等比数列……将假设出来的式子与原式比较求出未知数令为等比数列……先写出等比数列的通项公式再带值又.……通过求出间接求出累加法：形如且可用求和可用累加法例5：已知数列中求.解：已知……累加的方法是左边加左边右边加右边累加后得……利用了公式故.（5）累乘法：形如且可用求积可用累乘法例6：已知数列中求.解：已知累乘后得.（6）取倒数法：形如（pq为非零常数）则两边同时取倒数例7：已知数列满足且求.解：已知……等式两边同时取倒数……满足等差数列的定义令则……构造等差数列为等差数列.……先写出公式再带值5求数列前n项和Sn的方法（1）公式法：除了用等差数列和等比数列前n项和的公式外还应当记住以下求和公式①④②⑤③⑥（2）裂项相消法：①③②④例8：设等差数列的前n项和为且.（1）求数列的通项公式（2）设求数列的前n项和.解：（1）已知……写出题目所给的条件……一定要先写出要用的公式再带值①②……先写出公式再带值由①②式解得.……先写出公式再带值（2）由（1）知：……拆项后担心不对就通分回去验证（3）错位相减法：形如“等差×等比”的形式可用错位相减法例9：设数列满足.（1）求数列的通项公式（2）令求数列的前n项和.解：（1）已知则……一定要先写出题目所给的条件累加后得……运用等比数列求和公式……所有的n取n-1得到（2）由（1）知：记①②……等式两边同时乘以等比部分的公比①-②得……此处用错位相减法.……运用求和公式（4）分组求和法：例10：已知等差数列满足.（1）若成等比数列求m的值（2）设求数列的前n项和.解：（1）已知……写出题目所给的条件由得.……先写出通项公式的一般式再带值又成等比数列……利用等比中项列出方程.（2）由（1）知：……运用分组求和法记则.6基本不等式：①②③注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题的时候用到有时还用于证明数列不等式。☞答题步骤：①抄条件：先抄题目所给的条件（但不要抄题目）②写公式：写出要用的公式如等差数列的通项公式或前n项和③有过程：写出运算过程关注公众号《品数学》获取更多资料④得结论：写出结论（不会就一个结果）⑤猜公式：第二问一定不能放弃先写出题目所给的条件然后再写一些你认为可能考到的公式。^o^数列题型比较难的是放缩法题型三：空间立体几何1线线关系①线线平行：（很简单基本上不考）②线线垂直：先证明线面垂直从而得到线线垂直。（常考）方法：（i）利用面与面垂直的性质即一个平面内的一条直线垂直于两面交线必与另一平面垂直（ii）利用线与面垂直的性质即直线同时垂直于平面内的两条相交直线。例11：如图在四棱锥中底面是且边长为的菱形侧面是等边三角形且平面垂直于底面求证：.证明：取AD的中点为G连接PGBG如图所示：……作辅助线一定要有说明PAD是等边三角形①……将条件圈出来②……将条件圈出来又而……必须说明线与面的关系即.2线面关系①线面平行：只需证明直线与平面内的一条直线平行即可。方法：将直线平移到平面中得到平面内的一条直线只需证明它们互相平行即可。一般要用平行四边形或三角形中位线的性质证明。（最常考一定要掌握鸭）②线面垂直：只需证明直线与平面内的两条相交直线都互相垂直即可。（最常考一定要掌握鸭）方法：（i）利用面与面垂直的性质关注公众号《品数学》获取更多资料（ii）直线同时垂直于平面内的两条相交直线。例12：如图所示在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=aAB=2aEF分别为C1D1A1D1的中点．（1）求证：DE⊥平面BCE（2）求证：AF∥平面BDE．证明：（1）已知AA1=AD=aAB=2aE为C1D1的中点①又②且而.（2）连接EF连接AC交BD于点M如图所示：③又.3面面关系①面面平行：只需证明第一个平面的两条相交直线与第二个平面的两条相交直线互相平行即可（很少考哦）。②面面垂直：只需证明有一条直线垂直于一个平面而这条直线又恰好在另外一个平面内即可。（常考）例13：如图在三棱锥V-ABC中平面VAB⊥平面ABC△VAB为等边三角形AC⊥BC且AC=BCOM分别为ABVA的中点．求证：平面MOC⊥平面VAB．证明：已知面VAB⊥面ABC①……将条件圈出来又.……利用了线垂直于平面的性质☞答题模板：①作辅助：需要作辅助线的一定要在图中作出辅助线如取AB的中点为E②有说明：需要在图上连线时一定要有说明如连接AB两点如图所示③抄条件：写出证明过程并将条件圈出④再说明：说明线与面的关系如面而面⑤得结论：得出结论证毕⑥写多分：第二问不要不写能写多少写多少哪怕是抄题目的条件。文科常考锥体体积公式：理科常考二面角的余弦值：其中和为两个平面的法向量点到平面的距离公式(理科)：设平面的法向量为A为该平面内任意一点则点P到平面的距离为：^o^总之第二问一定要多写多写多得分例14：如图所示在四棱锥P−ABCD中AB//CD且．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD（2）若PA=PD=AB=DC且四棱锥P−ABCD的体积为求该四棱锥的侧面积．证明：（1）……写出题目的已知条件①又②……将证明的条件圈出来……说明清楚线与面的关系又.……根据线面垂直的性质得出结论（2）过P点作垂足为点M如图所示：……作辅助线一定要有说明③④设则……平行四边形的面积等于相邻两边的乘积由题意可知：故四棱锥P-ABCD的侧面积为：……要先将所有的侧面积表示出来再相加.例15：如图所示边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直M是CD上异于CD的点．（1）证明：平面AMD平面BMC（2）当三棱锥M-ABC体积最大时求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．证明：（1）既然M为圆弧CD上的动点不妨假设M在圆弧CD的中点处建立空间直角坐标系D-xyz如图所示：A(2,0,0)B(2,2,0)C(0,2,0)D(0,0,0)……将所有点的坐标一一写出设面的法向量为则……法向量一般要先假设出来由取……平面有无数多法向量任取一个即可设面的法向量为则由取……平面的法向量垂直两平面必互相垂直即面ADM面BCM.（2）由题意知当M在点处时三棱锥M-ABC体积最大设面的法向量为则由取而面的法向量取为……先写公式再带数值.……利用公式求题型四：概率与统计1茎叶图①平均数：②极差=最大值-最小值注：极差越小数据越集中③方差：注：方差越小数据波动越小越稳定④标准差：例16：某工厂为提高生产效率开展技术创新活动提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率选取40名工人将他们随机分成两组每组20人。第一组工人用第一种生产方式第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式86556899762701223456689877654332814452110090（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一章生产方式第二章生产方式（3）根据（2）中的列联表能否有99％的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）工作效率的高低看两种生产方式的平均工作时间分别为：第一种生产方式：第二种生产方式：由可知第二种生产方式的平均工作时间较低因此第二种生产方式效率更高.（2）由茎叶图可知：中位数为列联表如下：超过m不超过m第一章生产方式155第二章生产方式515（3）由（2）中的列联表知：……要将公式抄写一遍再带值所以有99％的把握认为两种生产方式的效率有差异.2频率分布直方图①众数：最高小长方形的中间值②中位数：小长方形面积之和为0.5的值③频率=概率=组距×=小长方形的面积④所有小长方形的面积之和等于1⑤平均数：每个小长方形的中间值×相应小长方形的面积然后将所得的数相加例17：为了解甲乙两种离子在小鼠体内的残留程度进行如下实验：将200只小鼠随机分成AB两组每组100只其中A组小鼠给服甲离子溶液B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分析得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中ab的值（2）分别估计甲乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）.解：（1）频率分布直方图的小矩形面积表示概率.由题意得a+0.20+0.15=0.70a=0.35根据“各小矩形的面积之和等于1”得0.05+b+0.15+0.35+0.20+0.15=1b=0.10（2）根据平均值的求法得对甲离子：对乙离子：3线性回归方程☞答题模板：（1）设方程：先假设回归方程为（2）抄公式：写出公式（不管题目有没有给都要写出来哦^o^）（3）求各值：求出①②……没时间计算就把式子列出来③④……没时间计算就把式子列出来得ba：代入公式求出和写方程：写出回归方程关注公众号《品数学》获取更多资料（6）写多分：第二问也不难一般给你x让你估计y的值直接带公式OK！^o^例18：某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（1）求y关于t的线性回归方程（2）利用（1）中的回归方程分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况并预测该地区2015年农民居民家庭人均纯收入.附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：解：（1）设线性回归方程为则……先假设出回归方程……写计算ba的公式不管题目有没有给出公式故线性回归方程为：.由回归方程知：该地区农村居民人均纯收入是逐年提高的.2015年的年份代号为9所以当t=9时（千元）故预计该地区2015年农民居民家庭人均纯收入为6.92千元.题型五：圆锥曲线1椭圆（以焦点在x轴上的为例）①定义：⑥准线：②标准方程：⑦通径：③离心率：⑧长轴长：④固定关系：⑨短轴长：⑤焦距：例20：已知椭圆M:的离心率为焦距为斜率为k的直线l与椭圆M有不同的交点AB.（1）求椭圆M的方程（2）若k=1求|AB|的最大值（3）设P(-2,0)直线PA与椭圆M的另一个交点为C直线PB与椭圆M的另一个交点为D若CD和Q共线求k.解：（1）已知椭圆的标准方程为……首先假设椭圆的方程……先写公式再带数值……先写公式再带数值故椭圆的方程为.（2）由题意设AB所在的直线方程为则……一定要假设出直线方程……将直线与椭圆联立方程……韦达定理……保证直线与椭圆有两个交点……弦长公式因此当且仅当即时的值最大且.（3）设则……未知点要先假设出坐标PA所在的直线方程为：……代入直线的点斜式方程……将直线与椭圆联立方程又点A在椭圆上因此有……韦达定理和点斜式方程同理可得又在同一直线上因此即.2双曲线（以焦点在x轴上的为例）①定义：⑥渐进线：②标准方程：⑦通径：③离心率：⑧实轴长：④固定关系：⑨虚轴长：⑤焦距：例21：已知C：的两个焦点点在双曲线上.（1）求双曲线C的方程（2）记O为坐标原点过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点EF若的面积为求直线l的方程.解：（1）已知双曲线的标准方程为则……先写出标准方程的原始式子由题意得c=2点在双曲线上……先写出a,b,c三者的固定关系再带数值解得故双曲线的标准方程为：.（2）设直线l的方程为即则点O到直线EF的距离为：……先写出公式再带数值……弦长公式先写出公式再带数值由题意得……点O到直线EF的距离就是三角形的高即……将四次方看成平方的平方再用十字相乘法解得……得到的k值还要验证是否能保证直线与双曲线有两个交点故直线l的方程为：或.注：十字相乘法解方程3抛物线（以开口向右的为例）①标准方程：②焦点坐标：③准线方程：④定义：平面内到一个定点与到定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线其中定点叫做抛物线的焦点定直线叫做抛物线的准线.（常考很重要的哦^o^）⑤通径：过焦点F且垂直于x轴的直线与抛物线相交于AB两点则.⑥过焦点的弦长：分别为CD两点的横坐标例22：设AB为曲线C：上两点A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率（2）设M为曲线C上一点C在M处的切线与直线AB平行且AMBM求直线AB的方程．解：（1）设AB所在直线方程为y=kx+b则①又.（2）设过点M与曲线相切且平行于直线AB的直线方程为y=x+m则即该直线方程为y=x-1.且M(2,1)由①式得②又都在直线y=x+b上解得或由②式知：b=-1（舍去）b=7因此所求直线方程为y=x+7.☞答题步骤：①设方程：假设出曲线的标准方程（不管题目有没有都要假设哦^o^）②抄条件：写出题目所给的条件该带公式就带公式如已知离心率为在试卷上要写出③画图形：根据题意画出图形④写过程：写出必要的解方程过程⑤得结论：写出结论（写出曲线方程不会就猜一个）⑥猜公式：第二问一定要写要写什么参考以下第4点。嘻嘻^o^4圆锥曲线大题第二问常考公式：①直线方程：或……题目说直线过某个定点时用第一个只说直线时用第二个方法：把直线假设出来后一般都要和曲线联立方程：……大部分题目都要将直线与曲线联立方程而且要写出根与系数的关系注：为保证方程有两个实根必须满足……这是很多同学容易漏写的一点很重要②韦达定理：（根与系数的关系式）……联立方程后一般都要写出根与系数的关系③弦长公式：……一般在计算三角形的面积或两点之间的距离时要用到④圆的标准方程：圆心：半径：⑤点到直线的距离公式：已知点和直线则……计算三角形的高⑥斜率公式：⑦看到直线与曲线相交于两点AB时要假设两点的坐标分别为⑧中点坐标公式：两点的中点记为则例23：已知点A(0-2)椭圆E：的离心率为F是椭圆的焦点直线AF的斜率为O为坐标原点.（1）求椭圆E的方程（2）设过点A的直线l与E相交于PQ两点当的面积最大时求l的方程.解：（1）已知椭圆的方程为则由题意设则①②又③因此椭圆的方程为.（2）设直线l的方程为即设则点O到直线PQ的距离为故的面积为令则当且仅当即时等号成立此时故直线l的方程为或.例24：设椭圆:的左焦点为F右顶点为A离心率为.已知A是抛物线的焦点F到抛物线的准线l的距离为.（1）求椭圆的方程和抛物线的方程（2）设l上两点PQ关于x轴对称直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A）直线BQ与x轴相交于点D.若的面积为求直线AP的方程.解：（1）已知椭圆和抛物线的方程分别为则设则由题意知：因此椭圆的方程为抛物线的方程为.（2）设AP所在直线方程为则设BQ所在直线方程为则当时即因此直线AP的方程为.题型六：导数1常考求导公式：①C为常数②例如：③④⑤2曲线的切线方程：3导数的意义：曲线在处的切线的斜率即4性质：函数在极值点处的导数为零即如果为函数的极值点（不管是极大值还是极小值）必有5如图所示：①x1x3为极大值点x2为极小值点②为极大值为极小值③.注意：①极大值不一定是最大值极小值不一定是最小值②如果奇函数在原点处有定义必有.6利用导数求极值的方法：解方程①如果在附近的左侧有右侧那么为极大值②如果在附近的左侧有右侧那么为极小值.7利用导数求切线方程的方法：①假设函数在点处的切线方程为②求关注公众号《品数学》获取更多资料③④得出切线方程为.☞答题步骤：①定义域：写出函数的定义域：一般看到的定义域为其他都是②求导数：求导：③令导零：令得出方程的根……一般要分类讨论④判单调：函数单调递增函数单调递减⑤得结论：写出函数的单调区间⑥画图形：画出函数图像判断极值点例25：已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程（2）求函数在区间上的最大值和最小值．解：（1）已知定义域为R……将题中的原函数抄上来后写出函数的定义域……求导这是必做的一步……利用导数的几何意义即又因此切线方程为.……先写出直线方程的原始表达式再带值（2）由（1）知：……求二阶导数关注公众号《品数学》获取更多资料当时在上单调递减……用二阶导数的正负判断一阶导数的单调性在上单调递减因此.例26：已知函数.（1）讨论的单调性（2）若有两个零点求a的取值范围.解：已知(i)当时恒成立在R上单调递减(ii)当时因此在上单调递减在上单调递增.（2）有两个零点必有由（1）知：必有(i)当时只有一个零点不符题意(ii)当时没有零点不符题意(iii)当时有两个零点.综上所述得.题型七：极坐标与参数方程1坐标与直角坐标的互相转化：①极坐标化为直角坐标：②直角坐标化为极坐标：注：若点P的直角坐标为(xy)则极坐标为()2参数方程（1）椭圆的参数方程：①普通方程：②参数方程：其中为参数（2）圆的参数方程：①普通方程：②参数方程：其中为参数（3）过定点倾角为的直线的参数方程为：其中t为参数（4）抛物线的参数方程：（少考可以不记哦^o^）①普通方程：②参数方程：其中t为参数3由参数方程转化为普通方程的方法：（1）直线方程消参：①代入法②消元法^o^目的都是为了消去参数t（2）椭圆和圆消参：①公式法②利用公式^o^目的都是为了消去参数4极坐标与参数方程大题常考公式①平方关系：……如果记不住曲线的参数方程用该公式进行消参②点到直线的距离公式：已知点和直线则③辅助角公式：其中……用来求点到直线的距离或面积的最大值④弦长公式：（i）已知则（ii）已知AB两点对应的极径分别为则（iii）已知AB两点对应的参数分别为则⑤韦达定理：☞答题步骤：①先消参：不论题目给的曲线是极坐标方程还是参数方程都先化为普通方程（直角坐标方程）②写公式：需要用到哪些公式的一定要先写出公式的原始表达式③有过程：要有一定的解题过程适当的文字描述过程不能太少④得结果：写出消参并化简后的曲线方程⑤猜公式：第二问常考公式参考以上第4点。例27：选修4-4：极坐标系与