第6章 代数系统基础

第6章代数系统基础第一节 代数系统的一般概念第二节 同态和同构第三节 同余关系第四节 商代数和积代数第一节 代数系统的一般概念1、代数系统的定义2、代数系统满足的条件3、子代数系统4、同类型的代数系统1、代数系统的定义X:非空集合Ω:X上运算的非空集合V=<X,Ω>:代数系统{ω1，ω2，…，ωn}有限代数系统|X|为V的阶V=<

<X,ω1，ω2，…，ωn>2、代数系统满足的条件（1）非空集合X；（2）有一些建立在集合X上的运算；（3）这些运算在集合X上是封闭的。代数系统举例<I+，+><ρ(S)，∪，∩><{0,1}，+>是是否代数系统举例N4={0，1，2，3},i+4j=(i+j)(mod4)问：<N4

，+4>是代数系统吗？+401230123验证+4在N4集合上是否满足封闭性0123123023013012由运算表可知运算满足封闭性<N4

，+4>是代数系统代数系统举例设A={1，2，3，4，6，12}A上的运算*定义为：a*b=|a-b|（1）写出二元运算的运算表；（2）<A,*>能构成代数系统吗？解答由运算表可知*运算在集合A上不封闭所以：

<A,*>不能构成代数系统*123461212346120123511101241021013932102854320611109860a*b=|a-b|3、子代数系统V=<S，Ω>:代数系统S′≠φS′S每一个运算ω∈Ω对S′均封闭V′=<S′，Ω>是一个代数系统V′为V的子代数系统子系统或子代数子代数系统举例<I,+>是一个代数系统设E：偶数集合则：<E,+>是<I,+>的子代数系统。4、同型的代数系统V1=<S1，Ω1>:代数系统V2=<S2，Ω2>:代数系统存在一个双射函数f:Ω1→Ω2每一个ω∈Ω1和f(ω)∈Ω2,且具有相同的阶V1和V2是同型的代数系统同类型的代数系统举例V1=<Nm,+m,m>和V2=<R,+,>是同类型的代数系统吗？其中：

i+mj=(i+j)(modm)imj=(ij)(modm)V1和V2是同型的代数系统第二节同态和同构(重点)一、同态二、同构一、同态1、同态的定义2、同态的举例3、满同态、单一同态、自同态1、同态的定义<A，∘><B，*>是两个同型的代数系统存在一个映射f：A→B对任意的a,b∈Af(a∘b)=f(a)f(b)*运算的象象的运算从<A，∘>到<B，*>的一个同态映射<A，∘>与<B，*>同态2、同态举例其中：g:N→{0,1}，且定义为：g(n)=0(nN)证明：<N，×><{0，1}，×>两个代数系统同态证明（1）显然<N,×>与<{0,1},×>同型的代数系统；（2）运算的象=象的运算对任意的m,nN，来验证g(m×n)=g(m)×g(n)g(m×n)=0g(m)×g(n)=0×0=0

即：g(m×n)=g(m)×g(n)(说明g是个同态映射)所以：<N，×>与<{0，1}，×>同态3、满同态、单一同态、自同态(1)如果f是满射函数，则称f为满同态；(2)如果f为单射函数，则称f为单一同态；(3)如果U=V，则称f为自同态。U=<X，∘>V=<Y，*>f是从U到V的同态映射自同态举例其中：g:I→I，且定义为：g(n)=3n(nI)证明：<I，+><I，+>自同态证明(1)显然<I，+>与<I，+>是同型的；(2)g(m+n)=g(m)+g(n)？对任意的m,nNg(m+n)=3(m+n)=3m+3n=g(m)+g(n)所以：<I，+>与<I，+>同态,且是个自同态。g(n)=3n(nI)满同态举例U=<I,+,>，V=<Nm,+m,m>,其中：f:I→Nm对于所有的iI,有：f(i)=(i)(modm)Nm={0,1,2,…,m-1}i+mj=(i+j)(modm)im

j=(i

j)(modm)证明：f是个满同态第一步：证明f是个同态(1)显然U=<I,+,>和V=<Nm,+m,m>是同型的代数系统(2)证明f满足同态的定义，即：

对任意的i,jI:f(i+j)=f(i)+mf(j)f(ij)=f(i)mf(j)证明:f(i+j)=f(i)+mf(j)f(i+j)=(i+j)(modm)=((i)(modm)+(j)(modm))(modm)=(i)(modm)+m(j)(modm)=f(i)+mf(j)i+mj=(i+j)(modm)f(i)=(i)(modm)证明:f(ij)=f(i)mf(j)f(ij)=(ij)(modm)=((i)(modm)(j)(modm))(modm)=(i)(modm)m(j)(modm)=f(i)mf(j)所以：U=<I,+,>和V=<Nm,+m,m>同态im

j=(i

j)(modm)f(i)=(i)(modm)第二步：证明f是满射函数对于任意的iNm,均有iI，使得：f(i)=(i)(modm)=i

即:Rf=f(I)=Nm所以：U=<I,+,>和V=<Nm,+m,m>是满同态f:I→Nm对于所有的iI,有：f(i)=(i)(modm)满同态的特点满同态保持运算性质单方向运载，即：

<X,∘>与<Y,*>满同态<X,∘>的性质，<Y,*>均保持交换律结合律分配律吸收律幺元零元逆元等幂元定理设f是<X,∘>到<Y,*>的满同态，则：

(1)若∘运算可交换，则*运算也可交换；

(2)若∘运算可结合，则*运算也可结合；

(3)若∘有幺元e，则*有幺元f(e);(4)若∘有零元，则*有零元f();(5)若xX有逆元x-1,则f(x)Y有逆元f(x-1)单一同态举例证明：<R，+><R，>g单一同态g:R→R，对于xR，g(x)=2x证明(1)显然<R,+>和<R,>同型的代数系统(2)运算的象=象的运算对于任意的x,yR，有：g(x+y)=2x+y=2x2y=g(x)g(y)(3)来证g是单射函数

任取x1,x2R,x1≠x2,因为g(x1)=2x1,g(x2)=2x2所以g(x1)≠g(x2)，即g是单射函数由（1）~（3）知：g是个单一同态。g:R→R，

g(x)=2x推论<X,∘><Y,*>g:X→Y为同态映射<X,∘>的性质<X,∘>的同态象点<g(X),*>均保持二、同构1、同构的定义2、同构的特点3、自同构1、同构的定义<A，∘><B，*>同型的代数系统存在一个双射映射g：A→B对任意的a,b∈Ag(a∘b)=g(a)g(b)*则称g是从<A，∘>到<B，*>的一个同构映射同构举例S={a,b,c,d},运算∘见表(a)P={1,2,3,4},运算*见表(b)则<S,∘>与<P,*>同构。∘abcdadabdbdbcdcadccdabaa表(a)*123412224211423323141134表(b)解答（1）显然<S,∘>与<P,*>同类型；（2）寻找双射函数g：S→P由表(a)的第4行和表(b)的第1行可知：g(a)=2,g(b)=4在<S,∘>中c是等幂元在<P,*>中3是等幂元g(c)=3g(a)=2,g(b)=4,g(c)=3,g(d)=1变换运算表g1,2列交换2,4列交换1,2行交换2,4行交换一致同构对运算保持相同的性质设U=<X,∘>，V=<Y,*>同构，f是U到V的同构，则：(1)若∘有幺元e

*有幺元法f(e)(2)若∘有零元

*有零元f()(3)若xX有逆元x-1

f(x)Y有逆元f(x-1),反之亦然；(4)若∘运算可交换*运算也可交换(5)若∘运算可结合*运算也可结合3、自同构

设f是代数系统U=<X,∘>到V=<Y,*>同构映射，若U=V，则称f为自同构。第三节 同余关系

一、代换性质二、同余关系一、代换性质设V=<G,*>是个代数系统，R是

G上的等价关系。如果对任意的a1,b1,a2,b2

G，有：

a1Rb1∧a2Rb2(a1*a2)R(b1*b2)则称等价关系R对运算*满足代换性质。代换性质举例

<I,+,>为代数系统，I中的等价关系R如下：对任意的a,bI，aRb

|a|=|b|或R={<a,b>|a,bI，|a|=|b|}问：等价关系R对于运算＋和是否具有代换性质？

解答（1）对加法运算“＋”：设a、-a、bI∵|a|=|-a|aR(-a)∵|b|=|b|bRb|a+b|≠|-a+b|(a+b)(-a+b)R关于“＋”不具有代换性质解答（续）（2）对乘法运算“×”：设i1、i2、j1、j2I若i1Ri2

则|i1|=|i2|若j1Rj2

则|j1|=|j2|∴|i1×j1|=|i2×j2|∴(i1×j1)R(i2×j2)即：对于乘法运算“×”来说，R具有代换性质。二、同余关系U=<G,*>:代数系统R:G上的等价关系如果R对于运算*具有代换性质,R为U上的同余关系。满足代换性质的等价关系——同余关系，相应的等价类称为同余类。同余关系举例

给定代数系统U=<I,+>，定义I中的关系R如下：R={<x,y>|x,yI,x-y可被3整除}

或R={<x,y>|x,yI,x≡y(mod3)}

试证明R是U中的同余关系。证：先证明R是个等价关系(已证明过)，下面来证R满足代换性质。证R满足代换性质对任意的x1,x2,y1,y2I,如果x1Rx2且y1Ry2,

来证:(x1+y1)R(x2+y2)<证>

对任意的x1,x2,y1,y2I,如果x1Rx2且y1Ry2则x1-x2和

y1-y2都可被3整除，考察：

(x1+y1)-(x2+y2)=(x1-

x2)+(y1-

y2)上式的右边可被3整除，所以左边也可被3整除，故有：

(x1+y1)R(x2+y2)定理U=<X,∘>V=<Y,*>f:同态映射Rf:X上的二元关系，对于任意的x1,x2Xx1Rfx2f(x1)=f(x2)Rf是U上的同余关系证明(1)Rf是等价关系：①自反性：对任意的xXf(x)=f(x)xRx②对称性：x1Rfx2f(x1)=f(x2)f(x2)=f(x1)x2Rfx1③可传递性：x1Rfx2∧x2Rfx3f(x1)=f(x2)∧f(x2)=f(x3)f(x1)=f(x3)x1Rfx3证明（续）(2)Rf关于∘具有代换性质：x1,x2,x3,x4X，如果x1Rfx2且x3Rfx4，来证：

(x1∘x3)Rf(x2∘x4)<证>

如果x1Rfx2

且x3Rfx4，则f(x1)=f(x2),f(x3)=f(x4)

考察：f(x1∘x3)=f(x1)*f(x3)[因f是同态]=f(x2)*f(x4)=f(x2∘x4)故：(x1∘x3)Rf(x2∘x4)第四节 商代数和积代数（略）一、商代数二、积代数一、商代数1、商代数的定义2、正则映射1、商代数的定义给定代数系统U=<X,∘>，R

是U上的同余关系,试构造一个新的代数系统W=<X/R,⊗>,其中：则称W为U关于R的商代数，简称商代数。(2)对于x1,x2X，[x1]R[x2]R=⊗[x1∘x2]R(1)X/R={[x]R|xX}证明验证<X/R,⊗>是一个代数系统(1)封闭性：任取[x1]R、[x2]RX/R[x1]R⊗[x2]R=[x1∘x2]R

∵∘对X封闭，x1∘x2X,∴

[x1∘x2]R

X/R∴⊗在X/R上封闭[x1]R⊗[x2]RX/R证明（续）(2)⊗是良定的y1[x1]R

y2[x2]R[x1]R⊗[x2]R=[y1]R⊗[y2]R[x1]R⊗[x2]R与等价类的代表元素x1和x2的选取无关y1[x1]R∧y2[x2]Rx1Ry1∧x2Ry2R为同余关系R关于∘具有代换性质x1∘x2

Ry1∘y2[x1∘x2]R=[y1∘y2]R[x1]R⊗[x2]R=[y1]R⊗[y2]R由⊗定义商代数举例给定代数系统U=<I,+>,R是I中的模3同余关系，即：R={<x,y>|x,yI,x≡y(mod3)},试构造代数系统U的商代数。解：I/R={[0]R,[1]R,[2]R}[i]⊗[j]=[(i+j)(mod3)]于是，构成了商代数U/R=<I/R,⊗>商代数能够保持原始代数系统的若干性质(1)如果运算∘可交换，则运算⊗也可交换(2)如果运算∘可结合，则运算⊗也可结合(3)如果运算∘有幺元e，则运算⊗也幺元[e]R……..…..2、正则映射(略)正则映射R:集合G上的等价关系函数g:G→G/Rg(x)=[x]R定理R:<X,∘>上的同余关系g:X→X/R正则映射g是从<X,∘>到商代数<X/R,⊗>的满同态自然同态g(x)=[x]R证明(1)显然<X,∘>与<X/R,⊗>同类型；(2)证明：运算的象＝象的运算对任意的x,yXg(x∘y)(正则映射定义)=[x∘y]R(商代数定义)=[x]R⊗[y]R(正则映射定义)=g(x)⊗g(y)(3)g是满射函数：任意的[x]RX/R，在X中至少有一个原象x与之对应，使得：g(x)=[x]R

∴g是满射函数证明(续)自然同态举例

上例：求代数系统F=<A,*,⊕>到F的商代数为<A/R,*R,⊕R>的自然同态。求解自然同态g:g(x)=[x]Rg(a1)=g(a3)=[a1]Rg(a2)=g(a5)=[a2]Rg(a4)=[a4]RAa1a2a3a4a5A/R[a1]R[a2]R[a4]Rg定理f:从<X,∘>到<Y,*>的同态映射Rf:<X,∘>上的同余关系:xRfyf(x)=f(y)g:从<X,∘>到<X/Rf,⊗>的自然同态存在从<X/Rf,⊗>到<f(X),*>的同构映射∘g=f示意图<X,∘>x<X/Rf,⊗>[x]Rf商代数g<Y,*>f(x)f同态象点f(X)∘g=f同构映射证明

设映射：X/Rf→f(X)，且([x]Rf)=f(x)

证明：(1)显然同类型；(2)是单射函数；(3)是满射函数；(4)运算的象＝象的运算证明：是单射函数单射即：象点相同证明原象相同对任意的x,yX若([x]Rf)=([y]Rf) (由的定义）f(x)=f(y) (由xRfyf(x)=f(y))xRfy[x]Rf=[y]Rf∴是单射函数

证明：是满射函数∵f:X→f(X)的满同态映射∴对任意的yf(X),必存在xX,使得f(x)=y又∵([x]Rf)＝f(x)=y即：对任意的yf(X)，必存在[x]RfX/Rf

使得：([x]Rf)＝y

∴是满射函数。

证明：运算的象＝象的运算对任意的x,y