江苏省南通部分学校2024年高二3月月考数学试卷 答案

2023〜2024学年度第二学期高二第一次调研

数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答

一律无效。

3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.在空间直角坐标系中，点4（9,8,5）关于xOz平面对称的点的坐标为

A,（9,8,-5）B.（9,-8,5）c.（-9,8,5）D.（-9,8,-5）

xG-l）--（x-m+l）,其中xeR,meN*,且Ao=l,这是排列数4"（小meN*,且

2.规定人加=

Xxn

立九）的一种推广,则%=

B.1C.V2D.2

3.某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇

演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为

A.12B.30C.34D.60

6

4.|—-展开式中的常数项为

A.240B.-240C.180D.-180

5.从0,1,2,3,4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为

A.24B.36C.42D.48

6.在空间直角坐标系中，已知点人（1』，1）,（0,1,0）,C（l,2,3）,则点C到直线A8的距离为

A.书B.2C.2展D.3

7.已知平行六面体qqqq中，叫=3,BD=4,ADDC-ABBC=5,则

cos^AA♦BD）=

5544

A.—B.——C.-D.——

12121515

(1(1-x)"的展开式中不含X3的项，则含X5的项的系数为

8.若x+—

IX2.

A.30B.32C.34D.36

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.在G+2y1的展开式中，下列说法正确的是

A.二项式系数和为32

B.各项系数和为243

C.二项式系数最大的项为第2项和第5项

D.所有偶数项的系数和为122

10.有6本不同的书，按下列方法进行分配，其中分配种数正确的是

A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法

B.分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法

C.分给甲、乙、丙、丁四人，甲、乙每人2本，丙、丁每人1本，有180种分法

D.分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法

11.在长方体ABCD—qqq。］中，AB=2,BCGC1,E是CD的中点.则

ABE=AD-A4-J-AB

'ii2

匹

B.异面直线AB与BE所成角的余弦值为丁

回

C.直线从己与平面BBE所成角的正弦值为

~5~

点B到平面ADE的距离为半

D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设aeZ,且0WaW7,若32024+。能被8整除，则.

13.现有5双鞋子，从中任取4只鞋子，则取出的4只鞋子中，恰好有1双的取法总数为

14.已知正方体ABC。—AfFR的棱长为2,M,N,G分别是棱BC,AR的中点，。是该正方

体表面上的一点，且丽0光祈G+y丽.若有度1,则直线NQ与平面455：所成角的大小为,

若x,yeR,则丽•丽的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

已知即+!的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3.

(1)求"的值：

(2)求展开式中所有的有理项。

16.(15分)

如图，在三棱柱ABC—cqq中，ABLAC,ABAC2,o为8C的中点，平面ABC.

(1)求证：±AO.

(2)若坐=/,求直线A/与平面Bcqq所成角的正弦值.

17.(15分)

现有4名男生和3名女生.

(1)若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？

(2)若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数:

(3)若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须安

排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？

18.(17分)

在四棱锥S—ABC。中，AD//BC,ADLCD,平面SC。，平面ABC。，SCLSD,

SCAD2BC2,SD=2^/2.

a)求点B到平面SAC的距离；

4^70

(2)在线段SB上是否存在点E,使二面角E-C。-A的正弦值为卷一？若存在，请确定点E的位置;

若不存在，请说明理由.

19.(17分)

(1)已知乙〃eN*,且左求证：kCk=nCk-i.

nn-1

Z女20=〃(〃+1)-2〃-2；

(2)若〃£N*,且〃23,证明:

n

k=l

(3)设数列。,a,a,…，a是公差不为o的等差数列，证明：对任意的〃eN*,函数

012n

pkx)aCo(1-%)+〃C"(1-X>T+〃。2%2+...+〃C〃血是关于X的一次函数.

0n1n2nnn

2023-2024学年度第二学期高二第一次调研

数学参考答案及评分建议

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

兀

12.713.12014.—,3

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

【解】（1）因为+的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3,

IXJ

Ci1

所以式=彳

n

2n1

即mrh

解得〃=7.

（

（2）因为3jLx+—11"的展开式的第r+1项为

7-3r）

所以当一^―eZ时，=i,3,5,7,

所以3g—的展开式中，有理项分别为

036X35103^2T合34%-I2835x-i,

337

=T会32%-1189k1,TG3OX-7X

6757

16.（15分）

【解】（1）因为MAC2,。为Be的中点,

所以

因为A,J_平面ABC,AO,BCu平面ABC,

所以AO1BC,

所以AO,BC两两垂直.

以口4,。氏。4」为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.

由A3.AO=0x+^1^2x0+(—r)x0=0,

得A/LA。，即A/_LAO.

（综合法证明参考给分）

（2）因为”=心，所以4。=2,即A］（0,0,2）,

所以珥=照=。/,0,2）,=平（）,声,—2）.

又OB=Q,JI,。），设平面Bee*的法向量n=（x,y,z）,

n±OBn-OBy/2y0

则1—•即＜取〃=

n±BBn-BB=-y/2x+2z=0

1

设直线A产与平面Bcqq所成角的大小为0.

ABn2

测sin0cos_i在

AT3-

17.（15分）

【解】（1）（采用插空法）共有排法数为4•出=1440种.

45

（2）（采用去杂法）共有邀请方法数为04—C2—02=25种.

725

（3）有两类不同情形：

①先选4个工厂，将3名女生和1名男生安排在同一个工厂，其余3名男生分别在另三个工厂，一厂安排

一人，其方法数为04=480种；

43

②先选4个工厂，将3名女生安排在一个工厂，4名男生安排在另外三个工厂，有一厂两人，另两厂各一人，

其方法数为号岑=720种.

44

所以共有480+720=1200种不同的安排方法.

18.（17分）

【解】（1）因为平面SCZ3_L平面ABCD,平面SC0A平面ABcz）=cr»,

AOu平面ABCA,AD1CD,

所以AO,平面SCD.

因为AD〃8C,所以平面SCD

过点C作0尸〃SD,

因为SCAD2BC2,SD=2y[2

则C（0,0,0）,B（0,0,1）,S（0,2,0）,4（2#,2,2）,

所以近=（2々,2,2）,通=（0,2,0）.

设平面SAC的一个法向量为n=（x,y,z）,

CA±nCA'n=-^f2x+2y+2z=0

则1——即4——“

CS1n[CSn=2y=0

又曰=（0,0,1）,

可@

所以点B到平面SAC的距离力V6

TT忑

C（0,0,0）,o（2#,2,o）A，20,2,2）B（0,0,1）,S（0,2,0）,

（2）

设BE=XBS,Xe[0,1],

则砺入（0,2,V）（0,2九,一九），所以E（0,2九,1—九）.

设平面ACD的一个法向量为％=,I）,

无=Q",2,2）,丽=（2/2,0）,

CALnCAn=-2d2x+2y+2z=0

由“——i得々____iiii

CD±nCD-n=-2J2x+2y-0

122

取＜=

设平面COE的一个法向量为〃2=（1%，22卜CE（0,2入,1-九）,

CD-n0CD-n=—2+0

由＜___2。得22

CEnCEr^2Xy+（1-0

2313

取4=

3（X-1）

n-n

所以8卡牛4_=J--2_

\n\\nIJ11九2—6入+3

12

设二面角E—CO—A的平面角为0,

4J70

因为二面角E-CD-A的正弦值为$一,

4770]_/05

所以|cosq

3535’

3（Z-1）_7105

|cos（«,n^|=|cos6|,所以

又cos一^-'

为2—6九+3

2

化简得3九2—8九+4=0,解得九=2或九=1,

、、2

因为入e[0,1],所以九=§.

所以当点E是线段SB上靠近点S的三等分点时，满足条件.

19.（17分）

flIflI

【解】⑴左边市E"(l)!(i)!’

(n-1)!n\

右边一〃.5—1)!(”。!"'

所以上Cz=nCk-i.

nn—1

⑵★2。J^kCkk・nCk-i,

nnn-1

而kCk-l-(k—1)C上一1+Ck-1—(九一1)C上一2+(Jk-1,

n—1H-1n—1n—2n=l

所以k2c女=n(n-l)Ck-2.

nn—2n—1

所以Z左2c仁-Ck-2+Ck-un(n—1)-2〃-2+n•2八一匕n{n+1)2^-2

nn-2n—1

k1=k0=k1

所以，原命题成立.

另法：k?Ck-k•kCk-k・nCk-if

nnn-1

要证Z左2。攵=〃(〃+1)・2〃-2,只需证£左,。左-1=(〃+1)・2"-2.

nn—1

k=lk=l

设/G)X(1+JT,

由尤(l+x)—ixCc*o+xCi+X2C2H-----

n—1n—1n—1n—1

—X(J^+42。1+43。2+----FXnCn~^

n—1n—\n—ln—1

两边同时求导，

得(1+X)n-1+(〃-1)X(1+1)〃-2=C。+2xC*i+342。2H-----Fnxn~^C^-^

n—1n—1n—1n—1

令x=1,得C。+2cl+3c2+FTlC"T—(〃