第6章 电路中的暂态过程

第6章电路中的暂态过程6.2

电压、电流初始值和稳态值的确定6.3

R、C串联电路中的暂态过程

6.4

求解一阶电路的三要素法6.5

RC串联电路对矩形波电压的响应6.6

RL串联电路中的暂态过程6.1

概述3.1概述一、暂态响应的概念：

暂态过程：电路从一种稳态变化到另一种稳态往往需要一个过渡时间，在这段时间内发生的物理过程就叫做过渡过程。暂态分析：

研究过渡过程中电压或电流随时间的变化规律，即求u（t）、i（t）（0≤t<∞）稳态：电路中的物理量不随时间而变（直流时）或是时间的周期函数（交流时），此时电路状态称为稳定态，简称稳态。暂态：旧稳态

新稳态

暂态新稳态暂态电路进入新稳态uC=

-US2tUS1o开关S闭合电路原处于旧稳态uC=US1旧稳态一般暂态过程是从稳态开始又结束于另一个稳态稳态是暂态过程的最终状态US2CRCR+_CuSRUS2+_（t=0）US1CRCCR+RUS2_u二、暂态过程的产生

原因:电阻电路无过渡过程电阻是耗能元件，其上电流和电压可以突变。toiut=0ER+_iSu电路发生换路是不是所有电路换路时都会产生过渡过程？换路：电路理论中把电路中支路的接通、切断、短路，电源或电路参数的突然改变称为换路。有电容的电路存在过渡过程。不能突变∴不能突变∵电容电路

因为电场能量的存储和释放需要一个过程，所以Eto有过渡过程uCEKR+_CuCiCt=0若发生突变，不可能！一般电路则有电感的电路存在过渡过程。电感电路不能突变∵不能突变∴SRE+_t=0iLuLto有过渡过程iL

因为磁场能量的存储和释放需要一个过程，所以若iL发生突变，则一般电路不可能！过渡过程

产生原因换路（开关的通断、参数的改变等）储能元件电容C电感L

直流电路、交流电路都存在过渡过程。本课的重点讲授直流电路的过渡过程。内因外因SRE+_t=0iLuLEKR+_CuCiCt=0三、

暂态分析的意义及方法暂态分析的意义：利其利，避其弊。方法：经典法——列微分方程，由初始条件求解由此方法推出一阶电路的三要素法

(1)利用电路暂态过程产生特定波形的电信号

如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。(2)控制、预防可能产生的危害

暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设备或元件损坏。一阶电路电路的过渡过程可以用一阶微分方程描述二阶电路电路的过渡过程可以用二阶微分方程描述不含储能元件电路电路不存在过渡过程，用代数方程描述6.2

电压、电流初始值和稳态值的确定

一、电路的换路定律:电容电路：换路定律仅用于换路瞬间来确定暂态过程中uC、iL初始值。

设：t=0—表示换路瞬间(定为计时起点)

t=0-—表示换路前的终了瞬间

t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）电感电路：在电路发生换路前后的瞬间，电感元件的电流iL和电容元件的电压uC不会发生突变。二、

t=0+时刻初始值的确定(1)uC(0+)、iL(0+)的求法。1)

画出t=0-时刻的等效电路，求出uC(

0–)

、iL(

0–)；

2)根据换路定律求出uC(0+)、iL(0+)。求解步骤：t＝0_时刻的等效电路是换路前的稳态电路，其中电容视为开路，电感视为短路。初始值：电路中各u、i

在t=0+

时的数值。即过渡过程起始点的值。(2)

其它电量初始值的求法t=0+时刻等效电路中，电容视为恒压源，电感视为恒流源1)

由uC(0+)、iL

(0+)的值画出t＝0+等效电路2)

在t=0+的等效电路中根据欧姆定律、

KCL、KVL定律求其它电量的初始值若uC(

0–)=0、iL

(

0–)=0，则

0+时刻等效电路中，电容视为？，电感视为？例1电压表内阻设开关S在t=0时打开。求:S打开的瞬间,电压表两端的电压。

解:换路前换路后瞬间S.ULVRiLUUV所以：实际使用中要加保护措施则t=0+时的等效电路VSULVRiLUVUV(0+)例2a已知:

S在“b”处停留已久，在t=0时合向“a”求:

各电压、电流的初始值，即t=(0+)时刻的值。解：（1）换路前，C相当于开路，L相当于短路其余电压电流在换路过程中会发生突变，因此不需考虑。根据换路定律得：（2）画出t=0＋时的等效电路（2）画出t=0＋时的等效电路i1i2i3i4uR1uR2uR3uC2uC4uL1uL4t=0-00000000000t=0+0510001010001010电压单位：V，电流单位mA例2b已知:

S在“a”处停留已久，在t=0时合向“b”求:

各电压、电流的初始值，即t=(0+)时刻的值。解：（1）其余电压电流不需考虑。根据换路定律得：（2）画出t=0＋时的等效电路计算结果：i1i2i3i4uR1uR2uR3uC2uC4uL1uL4t=0-10010010010101000t=0+10-50010-1001010-10-10电压单位：V，电流单位mA问题：有人说，t=0时刻，(1)图开关a→b，(2)图开关b→a，因此，（1）图中的uR3（0+）即为（2）图中的uR3（0-），这种说法对么？为什么？（2）（1）1.

t＝0_时的等效电路一般是换路前的稳态电路，

其中电容视为开路，电感视为短路。

2.换路瞬间，、

不能跃变,但其它电量均可以跃变。3.换路瞬间，电容相当于恒压源，其值等于电容相当于短路；4.换路瞬间，电感相当于恒流源，其值等于电感相当于断路。小结三、电路稳态值的确定换路后电路达到新的稳态，电容开路，电感短路，各电压电流按稳态求解，KCL、KVL、欧姆定律及第二章的分析方法都适用，例如：+-t=0C10V4k3k4kuct=0L2334mAi1i2i3i4uR1uR2uR3uC2uC4uL1uL4t=0-00000000000t=0+051000101000101010010010010101000电压单位：V，电流单位mA3.3

RC电路的分析一阶RC电路

仅含一个储能元件C或可等效为一个储能元件C的线性电路,且由一阶微分方程描述。求解方法1.经典法:

根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。2.三要素法初始值稳态值时间常数求（三要素）一、

RC电路的零输入响应

无电源激励,输入信号为零,仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。换路前电路已处稳态

t=0时开关1.电容电压uC

的变化规律(t0)(1)

列

KVL方程代入上式得一阶线性常系数齐次微分方程

零输入响应:

+-SRU21+–+–(2)

解方程：特征方程齐次微分方程的通解：

由初始值确定积分常数A(3)电容电压uC

的变化规律

电容电压uC

从初始值按指数规律衰减令则:实质：RC电路的放电过程2.电流及电阻电压的变化规律

电容电压放电电流电阻电压：tO3.

、、变化曲线+-SRU21+–+–单位:S时间常数

决定电路暂态过程变化的快慢(2)物理意义当

时时间常数等于电压衰减到初始值U0

的所需的时间。(1)量纲

uC、iC、uR均按指数规律变化，变化的快慢由

=RC决定。时间常数

改变R或C值，可以改变时间常数，从而改变暂态过程的时间

对于RC电路0.368Ut0uc

越大，曲线变化越慢，达到稳态所需要的时间越长。因为在一定初始电压下，C越大，储存的电荷越多；而R越大，放电电流越小。所以电容放电越慢。(3)暂态时间理论上认为、电路达稳态随时间而衰减t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U当t

=5

时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。工程上认为

电容放电基本结束。

(3~5)tt=二、

RC电路的零状态响应零状态响应:

储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。开关S在t＝0时接入外电源，而电容初始储能为0，即为零状态。(1)

列

KVL方程1.uC的变化规律即方程的解=方程的特解+对应齐次方程的通解一阶线性常系数非齐次微分方程uC

(0-)=0sRUs+_C+_iuc(2)解方程求特解

：作特解，故此特解也称为稳态分量或强制分量，即

在电路中，通常取换路后的新稳态值

[记做：

]uC

(0-)=0sRUs+_C+_iuc稳态值：uC()=Us

求对应齐次微分方程的通解即：的解非齐次微分方程的完整解为确定积分常数A根据换路定律在

t=0+时，uC

(0-)=0sRUs+_C+_iuc(3)电容电压uC

的变化规律随时间变化，故通常称为自由分量或暂态分量。(3)电容电压uc

的变化规律to+Us稳态分量-Us电路达到稳定状态时的电压暂态分量仅存在于暂态过程中实质：RC电路的充电过程2.

电流iC

的变化规律

3.

、变化曲线tUs4.

时间常数的物理意义当t=

时

表示电容电压uC

从初始值上升到稳态值的63.2%

时所需的时间。0.632Us

越大，曲线变化越慢，uC达到稳态所需时间越长。UStO由前面已知的物理意义:决定电路过渡过程变化的快慢。t000.632US0.865US0.950US0.982US0.993US……Us(3)暂态时间工程上认为~

电容充电基本结束。

理论上认为、电路达稳态三、RC电路的全响应此时，电压方程与零状态响应时相同，但初始条件不同：初始值：uC(0+)=U0；稳态值：uC()=Us如图，开关S在t＝0时闭合时电容有初始电压U0，即换路后电路中既有外电源作用，又有初始储能的作用，称为完全响应电路。uC

(0-)=U0sRUs+_C+_iuc方程的解的形式也与零状态相同即：代入该电路的起始条件：得:因此，RC电路全响应：UC(t)全响应变化曲线如图：U0<US时，电容处于充电状态U0>US时，电容处于放电状态UsU0uCt0uCUsU0t0结论1：全响应=稳态分量+暂态分量稳态分量零输入响应零状态响应暂态分量全响应

结论2：全响应=零输入响应+零状态响应解算时域响应的一般步骤1)列出电路换路后表征其运行状态的微分方程；2)求出特解，即稳态分量（稳态求解方法）；3)求出齐次微分方程通解，即暂态分量（通过相应的齐次微分方程求解）；4)求出通解，它为特解与齐次微分方程通解之和；5)根据电路的初始条件和换路定律确定积分常数并代入通解表达式。例3电容C=20uF,初始电压为10V，经电阻R=5KΩ放电。求（1）uC

的暂态响应；（2）uC

衰减到2V时所需的时间解:+-SRU21+–+–1）暂态响应2）电容衰减到2V时电路的响应换路前电路中的储能元件均未贮存能量，称为零状态。在零状态的条件下，由激励信号产生的响应为零状态响应。电容上的储能和电源激励均不为零时的响应，为全响应。电路中无电源激励（即输入信号为零）时，为零输入。在零输入的条件下，由非零初始态引起的响应，为零输入响应；此时，uc(0+)被视为一种输入信号。零输入响应零状态响应全响应小结

电路响应的变化曲线tOtOtOtO零输入响应零状态响应全响应全响应3.4

一阶线性电路暂态分析的三要素法据前面推导结果一阶线性电路：仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。稳态值uC(∞)初始值uC(0+)时间常数

：代表一阶电路中任一电压、电流函数式中,初始值--（三要素）

稳态值--时间常数--

在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：

利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。

一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得、和的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。三要素法求解暂态过程的要点终点起点(1)求初始值、稳态值、时间常数；(3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。(2)将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；tf(t)0“三要素”的计算（之一)初始值的计算步骤:

(1)求换路前的(2)根据换路定理得出：(3)根据换路后的等效电路，求未知的或“三要素”的计算（之二)步骤:

(1)画出换路稳定后的等效电路（注意:在直流激励的情况下,令C开路,L短路）；

(2)根据电路的解题规律，求换路后所求未知数的稳态值。稳态值的计算:“三要素”的计算（之三)原则:要由换路后的电路结构和参数计算。(同一电路中各物理量的

是一样的)时间常数

的计算:对于较复杂的一阶RC电路，将C以外的电路，视为有源二端网络，然后求其戴维南等效内阻Ro。则:

(1)对于只含一个R和C的简单电路，；RC

电路

的计算举例E+-t=0CR1R2CR2（2）对于RL

电路，将L

以外的电路,视为有源二端网络,然后求其等效内阻Ro。则:举例RL电路的为何是这种形式?LRLt=0ISR1R2例电路如图，已知电阻为2KΩ,电容为5uF，US=12V，开关闭合前电容上的电压为6V，试求：t≧0时电容电压uC和电流i的暂态响应。解：用三要素法求解1、求初始值2、求稳态值

3、求时间常数由右图电路可求得(、关联)如何用三要素法求iC(t)?3.5

RC电路的脉冲响应t1CR??CR矩形脉冲电压t0USUS脉冲幅度ui=US,0≤t≤tp0,t>tp+-US12脉冲宽度tp一、微分电路

条件：τ<<tp

;

uO=uRt>tp+-RCt=0~tp++

-USRCCR电路的输出近似为输入信号的微分ttptUS由KVL定律输出电压近似与输入电压对时间的微分成正比。CRttptUSt微分电路实现的条件：1.τ<<tp2.输出电压uO取自电阻两端

应用:

用于波形变换,作为触发信号。CREWB平台下的仿真波形二、

积分电路CRt=0~tp+

-USRCt>tpRC条件：τ>>

tp

;u0=uC电路的输出近似为输入信号的积分tptUS0电路的输出近似为输入信号的积分t0输出电压与输入电压近似成积分关系。CRt2UStt1tt2t1UStt2t1

小结1、RC电路在矩形脉冲激励下，若选取不同的时间常数，输出电压与输入电压之间存在着特定（微分或积分）的关系。2、满足条件：τ>>

tp

;u0=uC时，构成积分电路3、满足条件：τ<<

tp

;

u0=uR时，构成积分电路3.6

RL电路的暂态分析一、

RL