第4章算术功能块与硬件描述语言

2023/2/11学习要求：掌握二进制数加法器原理；掌握二进制数的原码、反码和补码表示及其加减运算；第4章算术功能块与硬件描述语言2023/2/12习题

1、思考反码运算时的循环进位问题。2、完成练习3、7、8、10、11、12、13第4章算术功能块与硬件描述语言（续）2023/2/134.1迭代组合电路

迭代阵列单元：子功能块单元阵列两个n输入向量进行操作产生一个n输出向量的迭代电路2023/2/144.2

无符号二进制加法器

半加器（halfadder）把2个1位二进制数X和Y相加，产生一个2位和，和的低位命名为S（半加和），高位命名为C（进位输出）。有：S＝X⊕Y，C＝X·Y。2023/2/15

全加器（fulladder）把2个1位二进制数X和Y以及来自低位的进位Z相加，产生一个2位和，和的低位命名为S（全加和），高位命名为C。有：4.2

无符号二进制加法器(续)S＝X⊕Y⊕Z＝X·Y'·Z'＋X'·Y·Z'＋X'·Y'·Z＋X·Y·Z；C＝X·Y＋X·Z＋Y·Z2023/2/16行波进位加法器（又叫串行加法器，rippleadder）4.2

无符号二进制加法器(续)最长延迟为：tADD＝tXYCout＋(n-2)×tCinCout＋tCinS其中，tXYCout为最低有效级上从X或Y到COUT的延迟，tCinCout为中间级上从CIN到COUT的延迟，tCinS为最高有效级上从CIN到S的延迟。2023/2/17

先行进位加法器

进位产生函数g与进位传递函数pci+1＝xi·yi＋xi·ci＋yi·ci=gi+pi·ci其中：gi=xi·yi

，pi=xi+yi

4.2

无符号二进制加法器(续)2023/2/18

每个等式可用一个只有三级延迟的电路来实现，第一级对应进位产生信号和进位传递信号，后两级对应上面的“积之和”式。4.2

无符号二进制加法器(续)2023/2/194.2

无符号二进制加法器(续)2023/2/1104.3二进制减法两个数相减：M-N，先比较两个数的大小，再从较大的数中减去较小的数算法效率低，电路复杂借位11100被减数10011减数-11110————差10101正确的差-01011

两个二进制数相减：M-N，还可按如下步骤进行：被减数M减去减数N

如果最高位没有借位，则M>N，结果为非负，正确如果最高位有借位，则N>M，用2n减去差值M-N+2n

，并且结果前加负号2n减去一个二进制数n的结果称为二进制补码（2Scomplement）2023/2/1114.3二进制减法（续）借位10011110被减数01100100减数-10010110————初始结果1100111028100000000-初始结果-11001110————最终结果-00110010例4-1使用二进制补码的无符号二进制数的减法电路仍然复杂，加法逻辑与减法逻辑是否可以共用？2023/2/1124.3二进制减法（续）1011001的二进制反码为01001100001111的二进制反码为1110000101100的补码为010011+1=010100每个r进制系统都有两种补码表示：基数补码（r进制补码）基数反码（r-1进制补码或r进制反码）二进制数补码与反码求二进制数反码（2n-1-N）：按位取反求二进制数补码(2n-N)：反码加12023/2/1134.3二进制减法（续）采用二进制补码的无符号二进制数减法被减数M加上减数N的补码，即M+(2n-N)=M-N+2n如果M>=N,则和产生一个进位位2n，丢弃进位，保留M-N的结果如果M<N，则和不产生进位，其结果等于2n-（N-M），即N-M的补码。对和求补，并在前面加上负号可得最终结果-（N-M）.结果可能是有符号数，如何存储表示符号？X=1010100Y的补码0111101和10010001丢弃最高位进位27-10000000————结果X-Y0010001Y=1000011X的补码0101100和1101111没产生最高进位结果：Y-X=-（1101111的补码）=-0010001例4-2使用二进制补码的无符号数减法已知X=1010100，Y=1000011求X-Y与Y-X2023/2/1144.4二进制加减法器采用二进制补码，仅需补码器和一个加法器即可完成二进制加减法器当执行减法时，对减数N求补：按位取反，并在加法器的进位输入1

相加后的矫正，没有产生进位，对结果求补并添加负号，可使用补码器产生或使用A=0的加减法器2023/2/115

真值与机器数

真值：直接用“+”和“–”表示符号的二进制数，它不能在机器中使用。机器数：将符号数值化了的二进制数，可在机器中使用。

例：

+101101011；-101111011

原码：正数符号位为0；负数符号位为1，其余各位表示数的绝对值。例：

N1=+10011 N2=–01010

[N1]原=010011 [N2]原=101010

特点：真值0有两种原码表示形式，即[+0]原=00…0，[–0]原=10…0。4位二进制原码

1111111011011100101110101001100000000001001000110100010101100111-7-6-5-4-3-2-1-0

+0+1+2+3+4+5+6+7有符号的二进制数4.4二进制加减法器（续）2023/2/116例：

N1=+10011N2=–01010

[N1]反=010011 [N2]反=110101

反码：对于正数，其反码表示与原码表示相同，对于负数，符号位为1，其余各位是将原码数值按位求反。

一个r进制数字d

（无符号）的反码是rn-1-d。当r为2的整幂次方且用2进制表示时，电路中可由反相器来实现“求反”运算。

特点：真值0有两种反码表示形式，即[+0]反=00…0，[–0]反=11…1。4位二进制反码

1000100110101011110011011110

111100000001001000110100010101100111

-7-6-5-4-3-2-1

-0

+0+1+2+3+4+5+6+74.4二进制加减法器（续）2023/2/117例：

N1=+10011N2=–01010

[N1]补=010011 [N2]补=110110

补码：对于正数，其补码表示与原码表示相同，对于负数，符号位为1，其余各位是在反码数值的末位加“1”。

特点：真值0只有一种表示形式，即[+0]补=[-0]补=00…0。

[+0]补=00…0,[–0]补=100…0=00…0（模2n）

n位n+1位n位4位二进制补码

1000100110101011110011011110111100000001001000110100010101100111

-8-7-6-5-4-3-2-1

0+1+2+3+4+5+6+7

一个r进制数字d

（无符号）的补码是rn-d。4.4二进制加减法器（续）2023/2/118

原码加减运算

符号位不参与运算，单独处理。设A、B表示绝对值，有下列两类八种情况。(+A)+(+B)=(+A)-(-B)(-A)+(-B)=(-A)-(+B)同号数相加或异号数相减运算规则为绝对值相加，取被加(减)数的符号。(+A)-(+B)=(+A)+(-B)(-A)-(-B)=(-A)+(+B)同号数相减或异号数相加运算规则为绝对值相减，取绝大值较大者的符号。4.4二进制加减法器（续）2023/2/119

补码加减运算

可以证明有如下补码加、减运算规则：

[N1+N2]补＝[N1]补+[N2]补，[N1－N2]补＝[N1]补+[－N2]补此规则说明补码的符号位应参与运算。例：N1=－0011，N2=1011,求[N1+N2]补和

[N1－N2]补。解：[N1]补＝11101，[N2]补＝01011,[－N2]补＝10101

[N1+N2]补=11101+01011=0100011101+)01011

丢弃1

01000

真值为：N1+N2=+10004.4二进制加减法器（续）2023/2/120

[N1－N2]补=11101+10101=1001011101+)10101

丢弃1

10010真值为：N1－N2=－1110

反码加减运算可以证明有如下反码加、减运算规则：

[N1+N2]反＝[N1]反+[N2]反，[N1－N2]反＝[N1]反+[－N2]反

当符号位有进位时，应在结果的最低位再加“1”。（？）4.4二进制加减法器（续）2023/2/121

溢出：如果加法操作产生的结果超出了数制定义的范围，就说发生了溢出（overflow）。4.4二进制加减法器（续）2023/2/122

溢出判断补码：CinCout

CinCout=1（Cin：向符号位的进位，Cout：由符号位产生的进位）无符号数：CMSB=1（CMSB：由最高位产生的进位）4.4二进制加减法器（续）2023/2/1234.5其它算术功能块

压缩：针对特定应用将已有电路简化为一个简单电路。压缩的目的：采用以前的设计结果来完成逻辑电路或功能模块的设计。2023/2/1244.5其它算术功能块（续）

递增设计一个n=3的递增器A+001+0

递减2023/2/1254.5其它算术功能块（续）

常数乘法3位乘数与4位乘数（常量）

常数除法2023/2/126比较器（续）

比较两个二进制字的电路叫做比较