概率统计学-随机过程引论

第十一章：随机过程引论研究对象：随机过程是研究随机现象随时间演变过程的概率规律的一门学科。应用于：它广泛应用于雷达与电子通信，动态可靠性，设备更新，地质勘探，天文与气象,核技术,随机振动，控制，生物学，管理科学等许多领域。随着尖端科学和高技术的发展，随机过程的应用日益广泛和深入。1第一节：随机过程的定义及分类一.随机过程的概念概率论复习：随机试验

,样本空间

.二维随机变量，联合分布函数

维随机变量，联合分布函数随机变量

,分布函数；2以表示某电话交换台在时段内接到的呼叫次数,那么,对于固定的,是一个随机变量.对于一切,是一个随机变量族.它的个数比可列个还要多,就不属于前面概率论的研究范围,具有新的特点.称是一个随机过程.为了研究随机现象,引入了上述这些概念工具.但这些还不够用,还有一些随机现象,上述工具无法描述.例如3定义1

设随机试验的样本空间,那么对于所有的得到一族的函数是非空集合,，如果对于每个

称为随机过程,简称过程.称为参数集.简记为.或对应有参数的函数

由定义得中的每一

是仅依赖于对于(1)的函数，

称为随机过程的样本函数,的轨道.它是随机过程的一次物理实现或对应于(2)对任意给定的

是一个随机变量,称为随机过程在时的状态变量,简称状态.对于所有,随机过程是，一族随机变量,于是得到另一种定义方式.5定义2给定参数集,如果对于每个，对应有随机变量则称随机变量族为随机过程.函数值集合称为随机过程的状态空间.它是二元函数的值域,记为.几个例子：

6为了描述检验的全过程,引入二元函数则二元函数就是一个随机过程.正品或次品,例1

在一条自动生产线上检验产品质量,每次检验一个,区分正品或次品.那么,整个检验的样本空间例2

89二：随机过程的分类

通常有两种分类法.一种是按随机过程的参数集和状态空间来分类;另一种是按随机过程的概率结构来分类.参数集可能为离散集或连续集,

状态空间可能为离散集或连续集.离散参数,离散状态;

T={1,2…},状态空间由0，1构成(2)离散参数,连续状态;

T={1,2…},状态空间为(4)参数连续,状态连续.(3)参数连续,状态离散;离散参数随机过程就是随机变量序列,简称随机序列。记于是11按随机过程的概率结构来分,

随机过程的种类很多.这里列举几个重要类型:二阶矩过程.包括正态过程,平稳过程等;马尔可夫过程,包括马尔可夫链,泊松(Poisson)过程,维纳(Wiener)过程,扩散过程等;更新过程;鞅.12第二节随机过程的概率分布13一维分布函数

二维分布函数。设是一随机过程,对于参数集T中的任意n个元素:

即过程的n

个状态(个随机变量)的联合分布

的n维分布函数,称为随机过程14如果存在非负函数

使得成立,则称为随机过程的n

维概率密度,n=1,2...

一般来说,分布函数族或概率密度族可以完全地确定了随机过程的统计特征.特殊地,如果对于任何正整数n,随机过程的任意n个状态都是相互独立的,则称此过程为独立过程.15例1

在第一节例1中,设各次检验相互独立地进行,每次检验的次品率为,求随机过程在时的二维分布函数.X(1)01P1-ppX(2)02P1-pp16171819202122232425IIIIIIIIII2627两个随机过程有限维联合分布及独立性组成m+n维随机向量.其分布函数称为随机过程X(t)和Y(t)的m+n维联合分布函数.28

如果对于任何正整数m和n,对于T1中的任意数组以及T2中的任意数组,关系式都成立,则称两个随机过程相互独立.29例4

设随机过程

式中X与Y是相互独立的标准正态随机变量.试求此过程的一维概率密度.解30

第三节随机过程的数字特征随机变量数字特征复习:

为随机变量,联合概率密度边沿概率密度

数学期望(均值)31二阶原点矩方差

二阶原点混合矩32相关系数

如果,则称与不相关;协方差33随机过程的数字特征是参数集,

随机变量族

是一个随机过程,

(11.1)（1）过程在的状态的数学期望对于任意给定

的状态，具有一维概率密度在t时刻对于一切

称为随机过程的均值函数,简称均值;是的函数,

（2）过程在的状态的二阶原点矩(11.2)称为随机过程的均方值函数,简称均方值;35（3）二阶中心矩（方差）

(11.3)称为随机过程的方差函数,简称方差,均方差

;36任选,状态是两个随机变量,具有二维概率密度（4）随机过程的自相关函数,简称相关函数,(11.4)（5）随机过程的自协方差函数,(11.5)简称协方差函数,38

均值、均方值、方差和均方差是刻划随机过程在各个状态的统计特性的,而自相关函数和自协方差函数是刻划随机过程的任何两个不同状态的统计特性的.这五个数字特征之间,具有如下关系.3940

通过以下例子,就可以看出随机过程数字特征的实际意义.41例1

设随机相位正弦波式中是常数,是在区间上服从均匀分布的随机变量.求:的均值函数、方差函数、自相关函数和自协方差函数.

解:

依题意的概率密度为42(1)均值函数43(2)自相关函数

44(3)自协方差函数(4)方差函数45例2:设随机过程

式中服从,服从

,且与的相关系数

,求:的自相关函数.46474849例4解对于两个随机过程

和

,和

过程在的状态

.

和的二阶原点混合矩(11.7)称为随机过程和的互相关函数;任选过程在的状态两个随机过程的联合分布和数字特征51

和的二阶中心混合矩(11.8)称为随机过程和的互协方差函数;并且有问题：互相关函数，互协方差函数是否关于t1,t2对称？52定义:如果对任意,都有

亦即则称随机过程