第3讲 随机过程的基本概念、平稳随机过程

通信原理电子教案广东海洋大学信息学院2012年9月《通信原理》电子教案授课班级：通信1103班、通信1104班授课教师：广东海洋大学信息学院梁能第二章随机过程

－－本章是本书的数学基础。

2.1引言

2.2随机过程的一般表述

2.3平稳随机过程

2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度

2.5高斯过程

2.6窄带随机过程

2.7正弦波加窄带随机过程

2.8随机过程通过线性系统2.1引言

通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程，分析与研究通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。●

随机信号：通信系统中的信号通常总带某种随机性。不可预测，不能用确定函数表示的信号。●随机噪声：通信系统必然遇到噪声。不可预测（热噪声）。简称噪声。●随机过程：从统计学的观点看，随机信号和随机噪声统称为随机过程。统计学中的有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。2.2随机过程的一般表述

2.2.1概念及定义

考察：

假设有无数台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试其输出。

得到一系列噪声波形ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、...、ξn(t)、...。理想时，波形应一致，但实际不然，找不到两个完全相同的波形。讨论：●每一条曲线ξi(t)都是一个随机起伏的时间函数－－随机函数。●无穷多个随机函数的总体在统计学中称作随机函数的总集－－随机过程ξ(t)

。●每一条曲线ξi(t)都是随机过程的一个实现/样本。●在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值ξ(t1)

，发现他们的值是不同的－－是一个随机量（随机变量）。概括：

随机过程ξ(t)的含义／属性有两点：（1）ξ(t)是t

的函数；（2）ξ(t)在任一时刻t1上的取值ξ(t1)不是确定的，是一个随机变量。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布的。概率论：随机变量分析－－分布函数和概率密度2.2.2随机过程统计特征１.分布函数和概率密度（1）一维描述

●一维分布函数随机过程ξ(t)任一时刻t1

的取值是随机变量ξ(t1)，则随机变量ξ(t1)小于等于某一数值x1的概率

F1（x1，t1）=P[ξ(t1)

≤x1]

（2.2.1）叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。

●一维概率密度函数

若一维分布函数对x1的偏导数存在，则

叫做随机过程ξ(t)的一维概率密度。

（2）二维描述－－随机过程不同时刻取值之间的相互关系

●二维分布函数

若随机过程ξ(t)在时刻

t1

的取值是随机变量ξ(t1)，而在时刻t2的取值是随机变量ξ(t2)，则ξ(t2)与ξ(t2)构成一个二元随机变量[ξ(t1)，ξ(t2)]，称

F2（x1，x2；t1，t2）=P[ξ(t1)≤x1；ξ(t2)≤x2]为随机过程ξ(t)的二维分布函数。●二维概率密度函数若二维分布函数对x1和x2二阶偏导数存在，则叫做随机过程ξ(t)的二维概率密度。●同理，可以定义随机过程的多维分布函数及多维概率密度分别为：统计独立

对于任何n个随机变量ξ(t1)，ξ(t2)，...，ξ(tn)，如果下式成立

fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）

=f1（x1，t1）f2（x2，t2）...fn（xn，tn）则称这些变量是统计独立的，否则就是不独立的或相关的。意义：

●可以把随机过程ξ(t)当作一个多元的随机变量来看待，而用这个多元随机变量ξ(t1)，ξ(t2)，...，ξ(tn)的分布函数或概率密度来描述随机过程的统计特性。

●显然，n越大，对随机过程的描述越充分。2.数字特征引言●问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必。●措施：用随机过程的数字特征来描绘随机过程的统计特性，更简单方便。●方法：求随机过程数字特征的方法有“统计平均”和“时间平均”两种。统计平均:

对随机过程ξ(t)某一特定时刻不同实现的可能取值ξ(ti)－－随机变量

，用统计方法得出的种种平均值叫统计平均。时间平均:对随机过程ξ(t)的某一特定实现ξi(t)

，用数学分析方法对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。（一）统计平均1.均值随机过程在任意时刻t的取值所组成随机变量ξ(t)的均值称为随机过程的均值，也称为统计平均或数学期望。即注：t1→t，x1→x

物理意义：均值代表随机过程的摆动中心。2.均方值

随机变量ξ(t)的二阶原点矩称为随机过程ξ(t)的均方值。－－相对于横轴的振动程度

。3.方差

随机变量ξ(t)的二阶中心矩称为随机过程ξ(t)的方差。－－相对于均值的振动程度

。4.协方差与相关函数－－随机过程不同时刻取值之间的相互关系

衡量随机过程ξ(t)在任意两个时刻t1和t2上获得的随机变量ξ(t1)和ξ(t2)的统计相关特性时，常用协方差函数B(t1，t2)和相关函数R(t1，t2)来表示。（1）相关函数

ξ(t1)和ξ(t2)的二阶原点混合矩称为随机过程ξ(t)的相关函数。（2）协方差函数（3）协方差与相关函数的关系称为随机过程ξ(t)的协方差。（3）协方差与相关函数的关系显然，有以上两式可得

B(t1，t2)=R(t1，t2)-E[ξ(t1)]E[ξ(t2)]（2.2.7）若E[ξ(t1)]或E[ξ(t2)]为零，则

B(t1，t2)=R(t1，t2)

这里的R(t1，t2)及B(t1，t2)由于是衡量同一过程的相关程度，因此又常分别称为自相关函数和自协方差函数。

（2）协方差函数ξ(t1)和ξ(t2)的二阶中心混合矩5.互协方差与互相关函数－－不同随机过程间的关系（1）互相关函数

设ξ(t)与η(t)分别表示两个随机过程，则互相关函数定义为

Rξη(t1，t2)=E[ξ(t1)η(t2)]

如果两个随机过程的互相关函数为零，即下列条件成立

Rξη(t1，t2)=0

则称它们是不相关的---正交的随机过程。统计独立的两个随机过程是不相关的。（2）互协方差互协方差定义为

Bξη(t1，t2)=E{ξ(t1)-a(t1)]E[η(t2)]--a(t2)]}

若

Bξη(t1，t2)=0

则两个过程是不相关的。（二）时间平均

－－非周期函数平均值1.平均值（或直流分量）

设ξi(t)是随机过程ξ(t)的一个典型的样本函数，则样本函数的时间平均为注：结果与时间无关，为常数。2.均方值（或总平均功率）3.方差（或交流功率）4.自相关函数

样本函数ξi(t)的自相关函数定义为2.3平稳随机过程

2.3.1定义

1.狭义平稳随机过程

假设一个随机过程ξ(t)，如果它的任何n维分布或概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的t和τ，随机过程ξ(t)的n

维概率密度函数满足

fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）

=fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） （2.2.2）则称ξ(t)是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。显见，平稳随机过程具有如下特点：■统计特性将不随时间的推移而不同。它的一维分布与t无关，二维分布仅与时间间隔τ有关。■数字特征变得“平稳”、简单： 数学期望与

t无关：a(t)=a

；

自相关函数只与τ有关：R(t1，t1+τ)=R(τ)。fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）

=fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） 2.广义平稳随机过程

一随机过程ξ(t)，如果它满足：

（1）数学期望与t无关，即：a(t)=a

；

（2）自相关函数只与时间间隔τ有关，即：

R(t1，t1+τ)=R(τ)。则称ξ(t)是广义平稳的随机过程。意义：●平稳随机过程具有各态历经性－－十分有趣，非常有用。●通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳的随机过程。

则说ξ(t)为具有各态历经性（遍历性）的平稳随机过程.。

2.各态历经的含义

随机过程的任一实现（样本函数），都经历了随机过程的所有的可能状态。3.各态历经随机过程的特点－－好处

任何一个实现都能代替整个随机过程。给实际测量、分析计算带来极大方便。2.3.2平稳随机过程的各态历经性1.各态历经随机过程

假设ξ(t)是一个平稳随机过程，如果有下列式子成立2.3.3平稳随机过程的自相关函数

（1）平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函数来描述；（2）相关函数揭示了随机过程的频谱特性。1.相关函数的性质

设ξ(t)为实平稳随机过程，相关函数

R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]具有如下性质：（1）R(0)=E[ξ2(t)]=s---ξ(t)的平均功率。（2）R(τ)=R(-τ) ---R(τ)是偶函数。（3）

|R(τ)|≤R(0) ---R(τ)的上界。（4） R(∞)=E2[ξ(t)]=a2

---ξ(t)的直流功率。（5） R(0)－R(∞)=σ2

----方差，ξ(t)的交流功率。（3） |R(τ)|≤R(0)---R(τ)

的上界。证：由于E[ξ(t)±ξ(t+τ)]2≥0

从而

E[ξ(t)±ξ(t+τ)]2

=E[ξ2(t)+ξ2(t+τ)±2ξ(t)ξ(t+τ)] =E[ξ2(t)]+E[ξ2(t+τ)]±2E[ξ(t)ξ(t+τ)];----平稳

=2R(0)±2R(τ)≥0

所以，得R(0)≥±R(τ)

即 |R(τ)|≤R(0)（4） R(∞)=E2[ξ(t)]=a2

---ξ(t)的直流功率。证：注：这里利用了当τ→∞时ξ(t)与ξ(t+τ)变得没有依赖关系，即统计独立，且认为ξ(t)不含有周期分量。（5） R(0)-R(∞)=σ2

----方差，ξ(t)的交流功率。证：

由D[ξ(t)]=E{ξ(t)-E[ξ(t)]}2

=E[ξ2(t)-2ξ(t)E[ξ(t)]+E2[ξ(t)]} =E[ξ2(t)]-E2[ξ(t)]=R(0)-a2

得σ2=R(0)-R(∞)2.3.4平稳随机过程的自相关函数R(τ)与功率谱密度Pξ(ω)的关系

---相关函数R(τ)的又一重要性质。

设：ξ(t)平稳，R(τ)绝对可积则简记为：Pξ(ω)←→R(τ)意义：平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶关系。证：分三步来考虑：(1)

对于任一确知能量信号f(t)，根据瑞利能量定理，有(2)

假设f(t)为时间无限信号（功率信号），若用fT(t)代表f(t)在-T/2＜t＜T/2区间上的短截函数，即只要T为有限值fT(t)就具有有限的能量，即若 FT(ω)←→fT(t)，则根据瑞利定理：根据平均功率的定义：当T→∞时，︱ｌFT(ω)ｌ2/T趋于一个极限，并将其定义为功率谱密度，用符号Ps(ω)表示，即单位为瓦/赫。因此信号的平均功率可写成（３）某一实现的功率谱密度，不能作为过程的功率谱密度。应：过程的功率谱密度应看作是每一可能实