第3章LTI系统的频域分析

3.1绪论

3.2信号的频谱3.3傅立叶变换的性质3.4周期信号的傅里叶变换3.5LTI系统的频域分析第三章LTI系统的频域分析1教学目标与要求掌握两种形式的傅里叶级数的展开式。掌握周期信号的频谱及其特点。熟练掌握非周期信号的傅里叶变换的定义及其典型信号的傅里叶变换。熟练掌握傅里叶变换的主要性质。掌握周期信号傅里叶变换的求法及其傅里叶系数与傅里叶变换的关系。熟练掌握连续系统的频域分析方法。了解理想低通滤波器及其传输特性和信号传输的不失真条件。23.1绪论3.1.1引言3.1.2傅里叶级数To:总目录3

本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。

3.1.1引言4从数学上来讲，并不是任何周期信号都可以展开成傅立叶级数的。以

T为周期的周期信号

f(t)

，在展成傅立叶级数时，必须满足下列三个条件：(1)函数f(t)在一个周期内必须绝对可积，即(2)在一个周期内f(t)只有有限个极大值和极小值。(3)在一个周期内f(t)只有有限个不连续点，而且在不连续点处，f(t)值是有限的。上述三个条件称为狄利克雷条件。5在满足狄氏条件时，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度称为三角形式的傅里叶级数，其系数级数形式3.1.2傅里叶级数6例：将图示的对称方波信号展成三角形式傅立叶级数解：直接代入公式有7所以有8（2）其他形式余弦形式9关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为相位频谱图。可画出频谱图。周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。（4）幅度频率特性和相位频率特性102.指数函数形式的傅里叶级数113.两种系数之间的关系及频谱图12相频特性幅频特性幅频特性和相频特性13(2)两种频谱图的关系单边频谱双边频谱关系●●●144.函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数奇函数奇谐函数偶谐函数15（1）偶函数信号波形相对于纵轴是对称的16（2）奇函数17（3）奇谐函数f(t)的傅氏级数偶次谐波为零若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：18f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量（4）偶谐函数193.2.1周期信号的频谱3.2.2非周期信号的频谱——傅里叶变换3.2.3随机信号分析3.2信号的频谱To:总目录203.2.1周期信号的频谱周期信号可以分解为一系列三角函数或指数函数之和，即：21周期信号的频谱双边幅度谱22周期信号的频谱双边相位谱23周期矩形脉冲信号的频谱特点（1）离散性（2）谐波性（3）收敛性24举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）25,n=0,±1，±2，…Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4τ画图。零点为所以，m为整数。特点：(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。(2)一般具有收敛性。总趋势减小。263.2.2非周期信号的频谱——傅里叶变换

3.2.2.1傅里叶变换

3.2.2.2典型非周期信号的频谱函数To:总目录27傅里叶变换式傅里叶反变换式

F(jω)=F[f(t)]f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)一、傅里叶变换28二、常用函数的傅里叶变换单边指数函数f(t)=e–tε(t)，

>02.双边指数函数f(t)=e–t,

>0293.门函数(矩形脉冲)4.冲激函数(t)306.符号函数7.阶跃函数(t)5.常数131归纳记忆：1.F变换对2.常用函数F变换对：δ(t)ε(t)e-t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–|t|ε(t)112πδ(ω)323.3

傅里叶变换的性质一、线性thenIf二、对称性Iff(t)←→F(jω)thenF(jt

)←→2πf(–ω)33四、尺度变换性质f(t)←→F(jω)

f(t–b)←→e-jωb

F(jω)f(at–b)←→三、时移性质

f(t)←→F(jω)34ForexampleF(jω)=?

f1(t)=g6(t-5),

f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴F(jω)=‖+Ans:f

(t)=f1(t)+f2(t)35五、频移性质(FrequencyShiftingProperty)Iff(t)←→F(jω)thenProof:F[ejω0t

f(t)]=F[j(ω-ω0)]endForexample1f(t)=ej3t←→F(jω)=?Ans:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)36Forexample2f(t)=cosω0t

←→F(jω)=?Ans:F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]Forexample3Giventhatf(t)←→F(jω)Themodulatedsignalf(t)cosω0t←→?

37六、卷积定理(ConvolutionProperty)1、Convolutionintimedomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)2、Convolutioninfrequencydomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)38Proof:UsingtimeshiftingSothat,39七、时域的微分和积分Iff(t)←→F(jω)thenf(t)=1/t2←→?40八、频域的微分和积分Iff(t)←→F(jω)then(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)ForexampleDeterminef(t)=tε(t)←→F

(jω)=?412.无失真传输系统（1）无失真传输系统的定义所谓信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。设输入信号为f(t),那么经过无失真传输后，其输出信号应为即输出信号y(t)的幅度比输入信号大K倍，而且比输入信号延时了td秒。

42（2）无失真传输的系统的时域和频域特性

时域特性43

其幅频特性和相频性分别为频域特性

为使信号无失真传输，要求：在全部的频带内，系统的幅频特性应为一常数，而相频特性应为通过原点的直线。