第八章 非正弦周期性电路

第8章非正弦周期电流电路2.非正弦周期函数的有效值和平均功率

重点3.非正弦周期电流电路的计算1.周期函数分解为付里叶级数2/1/202318.1非正弦周期电流电路的基本概念

生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。

非正弦周期交流信号的特点(1)不是正弦波(2)按周期规律变化例1半波整流电路的输出信号1.电路中的非正弦周期电流、电压2/1/20232例2示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波2/1/20233脉冲电路中的脉冲信号Tt例32/1/20234交直流共存电路

Es

+V例42/1/202352.非正弦周期电流电路的分析方法非正弦不同频率正弦傅里叶级数响应总响应相量法叠加定理谐波分析法2/1/20236基波（和原函数同频）二次谐波（2倍频）

直流分量高次谐波8.2周期函数分解为付里叶级数1.周期函数展开成付里叶级数2/1/20237也可表示成：系数之间的关系为2/1/20238求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。2.傅里叶系数的确定2/1/202393.几种特殊的周期函数（1）偶函数－T/2tT/2f(t)－T/2tT/2f(t)（2）奇函数（3）奇谐波函数tf(t)T/2T2/1/202310（4）偶谐波函数tf(t)T/2T2/1/202311tT/2T周期性方波信号的分解例1解图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：

直流分量：谐波分量：K为偶数K为奇数2/1/202312（K为奇数）的展开式为：2/1/202313ttt基波直流分量三次谐波五次谐波七次谐波周期性方波波形分解2/1/202314基波直流分量直流分量+基波三次谐波直流分量+基波+三次谐波2/1/202315tT/2TIS0等效电源IS02/1/202316tT/2TAkm0矩形波的频谱图2/1/202317

给定函数f(t)的部分波形如图所示。为使f(t)

的傅立叶级数中只包含如下的分量：tT/4Of(t)(1)正弦分量；(2)余弦分量；试画出f(t)

的波形。tT/4Of(t)T/2T/4T/2(1)正弦分量；例2解2/1/202318(2)余弦分量；tT/4Of(t)T/2T/4T/22/1/2023198.3

有效值、平均值和平均功率1.

三角函数的性质（1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数（2）sin2、cos2

在一个周期内的积分为。2/1/202320（3）三角函数的正交性2/1/2023212.非正弦周期电流、电压的有效值i(t)=I0+I1msin(ωt+ψ1)+I2msin(2ωt+ψ

2)+I3msin(3ωt+ψ

3)+…

I=代入电流有效值的定义式

2/1/202322

周期电压、电流的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的平方根。利用三角函数的正交性得：结论同理可得2/1/2023233.非正弦周期电流的平均值则其平均值为：正弦量的平均值为0若（1）算术平均值2/1/202324有效值与平均值的关系为若（2）绝对平均值2/1/202325

例8-3

一个矩形波电源u(t)加在电阻R两端，如图8-6所示。已知Um=100V，现在分别用磁电系电压表、电磁系电压表及整流式电压表测量电阻电压u(t)，求各种表的读数。解磁电系电压表测出的是电压u(t)的直流分量，由于电压u(t)的波形在横轴的上下面积相等，即a0=0，所以磁电系电压表的读数为零。

电磁系电压表测出的是电压u(t)的有效值，根据有效值定义2/1/202326U===Um

=100V

所以电磁系电压表的读数为100V。要求整流式电压表的读数，应先计算出电压u(t)的平均值Uav

Um=100VUav===所以整流式电压表的读数为1.11Uav=1.11100=111V2/1/2023274.非正弦周期交流电路的平均功率利用三角函数的正交性，得：2/1/202328平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率结论2/1/2023298.4非正弦周期交流电路的计算1.计算步骤（2）利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分别应用相量法计算；

（1）利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；（3）将以上同一支路的计算结果迭加，即为非正弦激励所产生的响应。2/1/2023302.

注意（2）当各次谐波分量作用于电路时，不同频率的激励不能放在一起运算。因为电感和电容对于不同的谐波呈现不同的电抗值，例如电感L对于基波呈现的感抗值为ωL，而对于k次谐波呈现的感抗值为kωL；电容C对于基波呈现的容抗值为，而对于k次谐波呈现的容抗值为。

（1）直流分量作用于电路时，电路中的电感相当于短路，电容相当于开路；（3）在含有电感L、电容C的电路中，可能对于某一频率的谐波分量发生串联谐振或并联谐振，计算过程中应注意。

2/1/2023313.

计算举例例1解

图示电路为一全波整流的滤波电路，其中L=2.5H，C=9μF。负载电阻R=2000Ω。加在滤波电路的入端电压u(t)是一个全波整流电压，波形如图所示，其中Um=314V，ω=314rad/s。求负载电阻R两端各次谐波分量电压幅值及R两端电压有效值。1、查表将u(t)分解为傅里叶级数2/1/202332取到4次谐波，将Um=314V代入2、计算各次谐波分量电压幅值(1)当直流分量作用于电路时，电感相当于短路，电容相当于开路，电阻R两端直流分量电压UR（0）=200V。

(2)当二次谐波分量作用于电路时

感抗

XL（2）

=2ωL=2×314×2.5=1570Ω

容抗

XC（2）

=1/2ωC=177Ω2/1/202333电阻R两端二次谐波分量电压幅值

(3)当四次谐波分量作用于电路时2/1/202334

感抗

XL（4）

=4ωL=4×314×2.5=3140Ω

容抗

XC（4）

=1/4ωC=88.5Ω电阻R两端四次谐波分量电压幅值

2/1/2023353、电阻R两端电压有效值R两端四次谐波分量电压幅值与直流分量的比值为

％=0.387％2/1/2023363.

滤波器的概念滤波器

具有阻止某些谐波通过的电路器件。(a)T型(b)π型(a)π型(b)T型

图8-8低通滤波器

图8-9高通滤波器2/1/202337例2方波信号激励的电路。求u,已知：tT/2TRLC解（1）已知方波信号的展开式为：代入已知数据：2/1/202338直流分量基波最大值五次谐波最大值角频率三次谐波最大值

电流源各频率的谐波分量为：2/1/202339（2）对各种频率的谐波分量单独计算：（a)直流分量

IS0

作用RIS0u0电容断路，电感短路:（b)基波作用RLCXL>>R2/1/202340(c)三次谐波作用2/1/202341(d)五次谐波作用2/1/202342(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：2/1/2023432/1/202344例3已知无源网络N的入端电压为u(t)=100sin314t+50sin(942t-30)V，入端电流为

i(t)=10sin314t+1.755sin(942t+θ3)A，如果N可以看作是R、L、C串联电路，试求(1)R、L、C的值；(2）θ3的值；（3）无源网络N消耗的有功功率。解（1）基波电压作用于网络时，电流与电压同相位，故此时为串联谐振，即

2/1/202345三次谐波电压作用于网络时，复阻抗的模

z(3)==28.5

z(3)==28.5将L=，R=10代入上式

28.52=102+(942L-)22/1/202346解得

C=318.3μF，L=31.9mH。（2）三次谐波作用时的复阻抗

Z（3）

=10+j(942×31.9×10-3-)=10+j(30-3.3)=28.5

=50

V2/1/202347

故

θ3=-99.46º（3）无源网络N消耗的有功功率

P=U1I1cosφ1+U3I3cosφ3

=500+15.4=515.4W2/1/202348求图示电路中各表读数(有效值)及电路吸收的功率。例4V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30abcdA3A2V2V1A12/1/202349L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30abcdiiC1iL2解(1)u0=30V作用于电路，L1、L2

短路，C1、C2开路。L1C1C2L2u0+_30abcdi0iC10iL20i0=iL20=u0/R=30/30=1A,iC10=0,uad0=ucb0=u0=30V2/1/202350(2)u1=120cos1000tV作用L1、C1

发生并联谐振。+_30abcdj40j40j40j102/1/202351(3)u2=60cos(2000t+/4)V作用L2、C2

发生并联谐振。+_30abcdj80j20j20j202/1/202352i=i0+i1+i2=1A所求的电压、电流的瞬时值为：iC1=iC10+iC11+iC12=3cos(1000t+90)AiL2=iL20+iL21+iL22=1+3cos(2000t45)Auad=uad0+uad1+uad2=30+120cos1000t

Vucb=ucb0+ucb1+ucb2=30+60cos(2000t+45)V电流表A1的读数：电流表A2的读数：电流表A3的读数：电压表V1的读数：电压表V2的读数：2/1/202353

例5

已知u(t)是周期函数，波形如图，L=1/2H，C=125/F，求理想变压器原边电流i1(t)及输出电压u2的有效值。**C+–+–2:18Lu2410.5u/Vt/ms12解当u=12V作用时，电容开路、电感短路，有：2/1/202354**-j4+–+–2:18j+–8j4-j4+–2/1/202355例6

电感基波阻抗20Ω,

求Uab、i、及功率表的读数。+–60j20+–Wab**解一次谐波作用时：三次谐波作用时：测的是u1的功率2/1/2023568.5

对称三相电路的高次谐波1.三相发电机产生的高次谐波电压发电机输出的三相电压表示为:

uA=u(t),uB=u(t-

T/3)，

uc

=u(t–2T/3)

发电机输出的三相电压为奇谐波函数，其展开式为:2/1/202357T=2π，即T=2π/ω。将此代入uB

、uC的表达式2/1/202358

uA、uB、uC

三相电压的同次谐波特点：(1)基波、七次谐波（十三次谐波、十九次谐波等），分别都是对称的三相电压，其相序为A-B-C，即为顺序，构成顺序对称组；(2)三次谐波（九次谐波、十五次谐波等），电压有效值都是相等的，其初相位相同，相位差为零，构成零序对称组；(3)五次谐波（十一次谐波、十七次谐波等），分别都是对称的三相电压，其相序为A-C-B，即为逆序，构成逆序对称组。这就是说，对称三相非正弦电压可以分解为三个对称组：顺序对称组、零序对称组、逆序对称组。2/1/202359

uA、uB、uC

三相电源星形连接：

uA=uA(1)+uA(3)+uA(5)+uA(7)+

…uB=uB(1)+uB(3)+uB(5)+uB(7)+…