Chapter 2-3 测量误差分析与数据处理-140204

Chapter2测量误差分析与数据处理§2.1测量误差概述§2.2测量误差的类型§2.3函数误差的基本问题与关系§2.4误差的合成与分配§2.5有效数字及数据舍入规则§2.6测量设计练习题§2.3函数误差的基本问题与关系1.基本概念：

在间接测量中,是通过直接测量与被测量有一定函数关系的中间量,算出被测量。设：间接测量参数间关系：用泰勒公式将等号右侧展开因为Δx«0，∴(Δx)2

或(Δx1·Δx2)等高阶小量可以略去，则：§2.3函数误差的基本问题与关系绝对误差传递公式相对误差传递公式等式两边同除y：§2.3函数误差的基本问题与关系绝对误差传递公式,相对误差传递公式,2.加深认识：§2.4

误差的合成与分配

研究间接测量的误差要解决下列两方面问题：

①误差合成：由被测量与各参数间函数关系

及

各参数测量值的误差，求函数的总误差。例，功率、电能、增益等量值的测量，一般都是通过电压、电流、电阻及时间等直接测量值计算出来的。

②误差分配：由各参数之间的函数关系及对总误差的要求，确定各个参数测量的误差。例如：制定测量方案时，当总误差由测量任务被限制在某一允许范围内时，如何确定各参数误差的允许界限?这就是由总误差求分项误差的问题。它在实际测量中具有重要意义。

又例：制造一种测量仪器，要保证仪器的标称误差不超过规定的准确度等级，应对仪器各组成单元的允许误差提出分项误差要求。基本概念：一、随机误差的合成式中：设：间接测量参数间关系：

在对X1、X2、…Xm进行m次等精密度测量与计算，获各量的σ1σ2…σm则：二、系统误差的合成1.确定性系统误差的合成当随机误差δj不计时,例：有5个1000Ω的电阻串联，若各电阻产生的系统误差分别为：εl＝4Ω、ε2＝5Ω，ε3＝-3Ω

ε4＝6Ω

ε5＝4Ω；求总电阻的相对误差γR

。

确定性系统误差

可直接由误差传递公式进行合成。

------大小与符号均已确定的系统误差2.系统不确定度的合成对于只知道误差限,而不掌握其大小和符号的系统误差称为系统不确定度，用

表示。相对系统不确定度用表示。例如，仪器仪表的基本误差和附加误差都属此类。

(1)算术(绝对值)综合法相对系统不确定度其中：绝对系统不确定度

例P19-1

用伏安法测电阻。所用电压表为0.2级、250V；测量值为200V。电流表为0.2级、3A；测量读数为2A。计算电阻的测量误差。

解：函数式及测量值：根据相对系统不确定度公式一般情况下

积商函数的算术不确定度为：算术合成法

适合于局部误差较少的情况。当局部误差较多时，各局部误差的符号会有正有负，∴会抵消一部分。这时再用算术合成法虽然保险，但夸大了误差范围。这时可采用方和根合成法。(2)

方和根综合法系统绝对不确定度系统相对不确定度

例P19-2

5个名义值为1000Ω、0.1级标准电阻串联。总名义值为5000Ω。计算总电阻的误差。采用算术合成法：

解：采用方和根合成法：例:

用DA—16型晶体管毫伏表的3V量程测量一个100kHz的1.5V电压。已知该仪表的基本误差为±3％(1kHz时)，频率附加误差γj＝±3％(在20Hz~lMHz范围内)。试求相对系统不确定度。相对系统不确定度最大示值相对误差可见这种方法是按分项误差同方向相加来考虑的，若再考虑温度、电源电压变化等多项附加误差，显然其合成结果是过于保守的。虽然比较保险，但这种均为最大值的可能性是很小的。所以通常取方和根合成法。由仪表的基本误差求出仪表3V量程最大的绝对误差用方和根合成法:这个数比较合理。(3)微小误差准则在误差合成中，有时误差项较多，同时它们的性质和分布不尽相同，估算起来相当烦琐。如果各误差的大小相差比较悬殊，而且小误差的数目又不多的话，则在一定条件下，可将小误差忽略不计。该条件便称为微小误差准则。现设其中第K项误差εK为微小误差。根据有效数字的规则:当总误差取二位有效数字时，若εK<(0.01~0.005)ε,则εK

便可忽略不计。当总误差取一位有效数字时，若εK<(0.1~0.05)ε,则εK

便可忽略不计。

1)系统误差的微小准则系统误差的合成可用:2)随机误差的微小准则随机误差的合成为:设其中第K项误差δK为微小误差，并令δ2--δK2=(δ′)2，根据有效数字的规则，当总误差取一位有效数字时，有

可见：当某分项误差δk约小于总误差δ的1／3时，便可忽略不计。当总误差取两位有效数时,有可推出：即当某分项误差δk比总误差δ小约一个数量级时，便可将其忽略不计。三、误差分配----即已知函数关系及函数误差，确定自变量误差

例：伏安法测电阻。R=V/A；要求R的测量误差不超过ΔR。要满足这一误差要求，电压、电流的测量误差范围应是多少？应选择哪一准确度等级的仪表进行测量？

1)按对总误差影响相同的原则分配误差

即：

∴各自变量系统不确定度为：

1.按算术综合法分配误差：

2)按各自变量系统误差均等的原则分配误差2.按方和根综合法分配误差：

系统不确定度

按对总误差影响相同的原则分配误差

3.误差分配方法与步骤

例P21设计一直流电桥步骤：由于各自变量与函数的关系不同，根据各误差综合公式配给各分项的系统误差不一定合理。∴要根据实际情况，对初次分配进行调整。调整后要核算是否满足总误差要求，否则进一步调整，直到满足总误差要求为止。*根据相应误差传递公式分配误差；*根据实际情况调整各误差；*根据新调整各误差值验算总误差；§2.5

有效数字及数据舍入规则

0.5误差原则：

由上述可见，每个数据舍入后,末位是欠准数字,末位以前的数字是准确数字。其舍入误差基本不大于未位单位的一半,这个“一半”即为该数据的最大舍入误差。所以通常认为,当测量结果未注明误差时,则认为最后一位数字有0.5的误差，称为“0.5误差原则”。

1、有效数字：

定义：从数字左边第一个不为0数字算起,到最右边含有误差一位为止(包括0)。决定有效数字位数的标准是误差

保留数字位数应与误差一致。为了确切表示数字，误差不得超过末位单位数字一半。如果多写位数，就夸大了测量的准确度；少记位数将带来附加误差。

通常的“四舍五入”规则中对于5只入不舍是不合理的。“5”是l一9的中间数字，应当有舍有入。在测量技术中规定：“小于5舍，大于5入，等于5时采取偶数”的法则。即：等于5时，将未位凑成偶数(即第n位原为奇数时加，原为偶数时不加)。2、测量技术中数据舍入规则

3、有效数字的运算规则（参书P23）

例2：被测电流记为1000mA，是四位有效数字，表示精确到mA级，这时不能写成1A，因为这样只有一位有效数字了，但是可以写成1.000A，仍为四位有效数字。反之，如果测量结果是lA就不能写成1000mA。

例3:用0.5级、100V量程电压表测量,指示值为85.35V,试确定有效数字位数。解：因为该量程的最大绝对误差为±0.5V，根据“0.5误差原则”,此数据末位应是整数,所以测量结果应写成两位有效数字。根据舍入规则，示值末尾的0.35＜0.5，所以不标注误差的报告值应为85.0V。（如此写出报告值误差较大）习惯上：使结果数据的末位与绝对误差对齐，此例的误差为0.5V，因此写成85.4V。当给出标注误差的报告值时写为：85.4V±0.5V。

∴若将测量示值范围写成:84.85~85.85V。例1：20.80表示测量结果精确到百分位。20.8表示精确到十分位。

（如此写出报告值夸大了测量的准确度）§2.6测量设计一、测量条件考虑（参书P23）二、最佳测量条件的确定

当测量结果与多个测量因素有关时，欲得到较高精度的测量结果，就必须确定测量时最有利的条件。解决方法：多从减小相对误差入手，用微分学原理求函数极小值来寻求最佳条件。

为使εy最小，在函数形式确定后，可以选择适当的测量状态，使测量误差减小到最低程度。准确度高精密度高

从误差角度出发，要做到：万用表欧姆挡的简化电路如图2.8-l所示。试求指针在什么位置时测量误差最小。由图可知：

式中，R1、E是仪表总的等效内阻,是常量。I确定指针的偏转Rx对I的微分：相对误差：求最小测量误差点：令又因Rx＝0时，，所以测量误差最小的条件是此结果表明，使用欧姆表时应合理选择量程，使指针尽可能偏转至中心位置附近。一般情况下，分项误差的数目愈少，合成误差也愈小。∴在间接测量时，应选择测量值数目最少和函数关系最简单的公式。例如，测电阻时，最好是用欧姆表或电桥直接测电阻，而不用电压、电流表法测电阻；同理，能直接测电流时，最好不用测电压、电阻法；测量功率时在测U、I、R

准确度相近时，尽量用U，I法(γP＝γU+γI)，而不用I，R法(γP＝2γI+γR，等等。在选择最佳测量方案时，除了注意上述措施外，还要考虑客观条件限制，力争根据现有条件制订测量方案，并兼顾经济、简便等因素。三、从测量数目考虑四、测量方案设计1.

在设计测量方案时，可以从下述几个方面考虑(1)了解被测量的特点，明确测量目的例1：被测量是直流量还是交流量，若是直流，应预先估计其内阻大小；若是交流，要看频率高低、是正弦量否，是线性变化否,是测有效值/平均值/峰值？需做周密考虑。例2：高频量或脉冲量应选择宽频带示波器；非正弦电压测量要进行波形换算。

(2)确定测量原理，制订初步方案根据被测对象的性质，估计误差范围，分析主要影响因素，初步拟订可选的几个方案，再进行优选。对于复杂的测量任务，可采用间接测量方法，预先绘制测量框图，搭接测量电路，制订计算步骤及其计算公式等。在拟订测量步骤时，要注意到：①应使被测电路系统及测试仪器等均处于正常状态。②应满足测量原理中所要求的测量条件。③尽量减小系统误差，设法消除随机误差的影响，合理选择测量次数及组数。(3)明确准确度要求，合理选择仪器类型

计量室或科研试验室多采用精密测量方法，要严格进行误差分析。对于工程性质的问题多采用技术测量方法，对于测量误差，虽然要求不是很严格，但也应注意采用正确的测量方法、合理地选择仪器仪表。根据被测量的性质及环境条件来选择仪器的类型及技术性能，并配置合适的标准元件，由被测量的大小和频率范围选择仪器、仪表的量程，以满足测量的准确度要求。选择测量仪器时可参考表2.8.1。(4)环境条件要符合测量要求测量现场的温度、电磁干扰、仪器设备的安放位置及安全设施等，均应符合测量任务的要求。必要时应采取空调、屏蔽和减震等措施。2测量过程可分为三个阶段

(1)

准备阶段：主要是选择测量方法及仪器仪表。(2)测量阶段：注意测量的准确度、精密度、测量速度及正确记录等。(3)数据处理阶段：将测量数据进行整理，给出正确的测量结果，绘制表格