量子6薛定谔方程

§2-1薛定谔方程

薛定谔提出波函数所满足的微分方程，用来处理低速实物粒子的运动问题。以薛定谔方程为基础建立起来的理论体系，称为量子力学。一、薛定谔方程的引入●一维运动自由粒子含时的薛定谔方程：非相对论动能和动量的关系即是一维运动自由粒子含时的薛定谔方程●势场中一维运动非自由粒子含时的薛定谔方程：势场中粒子的能量即为势场中一维运动非自由粒子含时的薛定谔方程●粒子三维空间运动的一般薛定谔方程：将势场中一维运动非自由粒子含时的薛定谔方程推广到三维情况。其中，梯度符号拉普拉斯算符令：哈密顿算符一般的薛定谔方程：量子力学处理微观粒子运动问题的一般方法：

只要知道粒子的质量和它在势场中的势能函数的具体形式，就可写出其薛定谔方程，再根据初值条件和边值条件求解，得到描述粒子运动的波函数，其绝对值的平方就给出粒子在不同时刻不同位置处出现的概率密度。二、定态不含时间的薛定谔方程所谓定态，即原子系统处于一系列不连续的能量状态，此状态下，电子能量状态稳定，不辐射能量，此原子系统处于定态。稳定原子内部的电子一维自由粒子的运动都是定态，粒子在空间分布一定，各种平均值一定。显然，E具有能量的量纲波函数可以写成定态：能量不随时间变化的状态。定态薛定谔方程解得波函数为概率密度：与时间无关，这样的态称为定态。定态波函数描述的粒子具有的性质：1、粒子在空间各处的概率密度不随时间变化。即分布一定。2、一切力学量（不含时间t）的平均值不变。一般，只有当薛定谔方程中总能量E具有某些特定值时才有解。这些E值叫做能量的本征值。相应的波函数称为本征解或本征函数。显然，稳定原子内部的电子、一维自由粒子都是定态。§2-2势阱中的粒子一维定态一维无限深势阱问题——理想模型V(x)xoa设粒子质量为m。势函数：定态薛定谔方程：～（1）

x<0,x>a时～～～通解：令：一维定态当x≥a时，V

当

时，要求A=0当x≤0时，V

当

时，要求B=0结论：

x<0，x>a的区域粒子出现的概率为零。边值条件：（2）～0<x<a时,V=0～～通解：由波函数连续性要求：～～～归一化条件：

En称为本问题中能量E的本征值。n相当于玻尔理论中的量子数。～V(x)xoaE1E3E2E4本征函数：本征值：V(x)xoaE1E3E2E4V(x)xoaE1E3E2E4一维势阱中粒子运动的特征：1、粒子能量是量子化的。称n为粒子能量的量子数。2、粒子的最小能量不等于零。

经典认为粒子的能量可以为零。3、粒子在势阱中出现的概率不均匀。经典认为匀速运动粒子应该在各处均匀出现。4、薛定谔方程的解为驻波形式，即粒子的物质波在势阱中形成驻波。阱壁处为波节，粒子概率为零。§2-3

势垒和隧道效应一、粒子进入势垒二、有限宽势垒和隧道效应三、隧道效应的应用ψ2ψ1透射?反射入射1.势函数

讨论入射能量E<U0情况xⅡ区0Ⅰ区EU0U(x)

一、粒子进入势垒

U(x)=

U0íìî0x<0x>

0I区令2.定态薛定谔方程xⅡ区0Ⅰ区EU0U(x)

方程为II区令>3.薛定谔方程通解通解通解波动形式指数增加和衰减考虑物理上的要求当x

时2(x)应有限所以D

=0于是EU0Ψ2透射Ψ1入射+反射xⅡ区Ⅰ区0

4.概率密度

(x

>0区)x>0区(E<U0)粒子出现的概率

0U0

x

概率

本征波函数概率密度经典：电子不能进入E<U的区域(因动能

0)量子：电子可透入势垒

若势垒宽度不大则电子可逸出金属表面在金属表面形成一层电子气EU0Ψ2透射Ψ1入射+反射xⅡ区Ⅰ区0二、有限宽势垒和隧道效应隧道效应EΨ1Ψ20aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区x=aΨ3隧道效应EΨ1Ψ20aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区Ψ3振幅为

波穿过势垒后将以平面波的形式继续前进()称为势垒穿透或隧道效应经典量子隧道效应1.穿透系数穿透系数会下降6个数量级以上当势垒宽度

a约50nm以上时此时量子概念过渡到经典量子物理：粒子有波动性遵从不确定原理粒子经过II区和能量守恒并不矛盾只要势垒区宽度x=a不是无限大粒子能量就有不确定量Ex=a很小时

P和E很大2.怎样理解粒子通过势垒区经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的三、隧道效应的应用隧道二极管金属场致发射核的衰变…1.核的衰变UTh+He2382344粒子怎么过去的呢?通过隧道效应出来的对不同的核算出的衰变概率和实验一致rRU35MeV4.25MeV0<<势垒高度2.扫描隧道显微镜（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）

STM是一项技术上的重大发明

用于观察表面的微观结构（不接触、不破坏样品）原理：利用量子力学的隧道效应1986.Nob：鲁斯卡（E.Ruska）

1932发明电子显微镜宾尼（G.Binning）罗尔（Rohrer）发明STMU0U0U0ABdE电子云重叠隧道电流iABUd探针样品A——常量——样品表面平均势

垒高度（~eV）d~10A。d变

i变反映表面情况隧道电流反馈传感器参考信号显示器压电控制加电压扫描隧道显微镜示意图某种型号的扫描隧道显微镜基于STM工作原理或扫描成像方法的派生显微镜系列原子力(AFM)磁力分子力显微镜等等

用AFM得到的癌细胞的表面图象“原子和分子的观察与操纵”--白春礼P.98图4-8操纵原子不是梦“原子书法”

1994年中国科学院科学家“写”出的平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米“原子和分子的观察与操纵”--白春礼插页彩图13