郭中珍 232等腰三角形的判定

三角形本章内容第2章

等腰三角形的判定本课内容本节内容2.3

我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？探究如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？学习目标：1、知识与技能目标：进一步熟悉等腰三角形的判定定理及其应用;能综合应用等腰三角形的性质与判定定理解决问题;归纳出遇有角平分线和平行线这一类题的解题规律;培养学生多题归一，善于思考本质的能力.2、过程与方法目标：通过学生的分析问题，引导学生归纳出遇有角平分线和平行线这一类题的思考方向;使学生在游泳中学会游泳，在解题中学会解题.3、情感与态度目标：学生通过积极参与分析，使学生体验到学习知识的乐趣，思考的魅力.学习重点：等腰三角形的判定的应用;对一类数学问题的解题方法归纳.学习难点：培养善于归纳这类问题的意识。阅读课本P63-64的内容:1.通过完成探究的内容,感性认识等腰三角形的判定定理.2.结合P64的例2，掌握用等腰三角形判定定理做证明题.阅读课本P64-65的内容:1.结合三角形内角和定理,正确理解等边三角形的判定定理.2.结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理,正确说明等边三角形的判定定理.阅读课本P65例3的内容:1．运用等边三角形的性质定理和判定定理来解决几何问题.2.在例3证明过程中补上每一步的依据.在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?即：若△ABC中,∠B=∠C,则AB与AC有什么关系？数学符号表示：探究阅读课本P63-64的内容:1.通过完成探究的内容,感性认识等腰三角形的判定定理.2.结合P64的例2，掌握用等腰三角形判定定理做证明题.一自主解读探究：我测量后发现AB与AC相等.3cm3cm猜测，如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等.量一量如图，在△ABC中，∠B＝∠C作∠BAC的平分线l交BC于D，则∠1＝∠2，又∠B＝∠C，由三角形内角和的性质得∠ADB＝∠ADC，有两个角相等的三角形是等腰三角形．在一个三角形中，相等的角所对的边相等，相等的边所对的角也相等，简称为“等角对等边，等边对等角”.ABCD12沿直线AD折叠，由于∠ADB＝∠ADC，∠1＝∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合，从而点B与点C重合，因此AB＝AC．证一证求证：如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等.学生代表上台展示结论有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.举例例1

已知：如图,在△ABC中,

AB=AC,点D,

E分别是AB,AC上的点,且DE∥BC.求证：△ADE为等腰三角形.证明∵AB=AC，（）∴∠B=∠C.（）又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.（

）∴∠ADE=∠AED.于是△ADE为等腰三角形.（）二学以致用合作解读探究：练习1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O.

求证：△OBC为等腰三角形.ABCDEO证明∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABD=∠DBC=，

∠ACE=∠ECB=，（）又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.（）练习2、已知：如图,在等边三角形ABC的AC边上的取中点D,BC的延长线上取一点E,使得CE=CD.求证：BD=DE.证明：

∵△ABC是等边三角形,D是AC中点

∴∠ACB=60°,∠CBD=30°∵CD=CE∴∠E=∠CDE

∵∠BCD=∠E+∠CDE=2∠E=60°∴∠E=30°=∠CBD

∴BD=DE等边对等角一、基础回顾1.（2008年沈阳市）若等腰三角形中有一个外角等于70°，则这个等腰三角形的底角的度数为

.35°2.（2008年甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为

．43.（2008年龙岩市）如图，∠A=36°，∠DBC=36°,∠C=72°,找出图中的一个等腰三角形，并给予证明.我找的等腰三角形是

.△ABC,△BCD,△DABBCDAD┓三线合一（36°36°（（72°等角对等边┓E4.（2008年新泰市）下面给出的几种三角形，不一定是等边三角形的是（）A.有2个角为60°的三角形B.三个外角都相等的三角形C.一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形D.有一个角为60°的等腰三角形C等边三角形的判定二、拓展提高1.已知一个等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为45°，顶角的度数为

.2.等腰三角形中一腰上的中线把三角形的周长分为21cm和12cm两部分，则腰长为（）.A.8cmB.14cm或15cmC.8cm或14cmD.14cm45°或135°DDCAB┏ABCDB┓ACDxx2x3.如图，BO平分∠CBA,CO平分∠ABC,且MN//BC,设AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN的周长.1ABCMNO练习已知：如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，点E是AD上的一点，且EB=EC，∠ABE=∠ACE.求证：∠BAE=∠CAE拓展提升2.如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有（）A．4个B．6个C．7个D．9个拓展提升C3.如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，则（1）θ1=

；（2）θn=

．拓展提升阅读课本P64-65的内容:1.结合三角形内角和定理,正确理解等边三角形的判定定理.2.结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理,正确说明等边三角形的判定定一自主解读探究：三个角都是60º的三角形是等边三角形．三边相等的三角形，叫作等边三角形.探究我们知道等腰三角形的两底角相等，那么等边三角形的三个内角是否相等呢？因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC＝BC从而∠B＝∠C＝∠A．再由三角形内角和性质得：∠A＝∠B＝∠C＝60º因此，等边三角形的三个内角相等，且都等于60º.反过来，我们容易得出：ABC二合作交流，解读探究：结论由此并且结合三角形内角和定理,还可以得到等边三角形的判定定理：三个角都是60°的三角形是等边三角形.有一角等于60º的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？①△ABC

AB=AC如果如果底角∠B=60°由AB=AC

得∠C＝60°由三角形内角和得∠A=180°－(∠B+∠C)=60°所以AB=AC=BC②如果顶角∠A=60°因为AB=AC所以∠B=∠C由三角形内角和定理得∠A=∠B=∠CABC所以AB=AC=BC二知识延伸合作交流，解读探究：动脑筋结论有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.图形性质判定等腰三角形等边三角形B ACDABC两腰相等等边对等角三线合一轴对称图形两边相等等角对等边三边相等三角相等三线合一轴对称图形三边相等三角相等有一个角是60°的等腰三角形例2已知：如图,△ABC

是等边三角形,点D,

E

分别在BA,CA的延长线上,且AD=AE.求证：△ADE是等边三角形.举例∵△ABC是等边三角形，二学以致用合作解读探究：证明∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵∠EAD=∠BAC=60°，（）又AD=AE，∴△ADE是等边三角形（）.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形因此△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）

变式练习如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，交AB，AC于D，E，试问△ADE是等边三角形吗？为什么？因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C（等边三角形各角相等）因为DE//BC，所以∠1＝∠B，∠2＝∠C（两直线平行，同位角相等）．所以∠A＝∠1＝∠2.ABCDE12解2.

已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE

交BC的延长线于点E，且∠ACE=60°.

求证：△ACE是等边三角形.证明∵CD平分∠ACB，∴在△ACE中，∠CAE=180°-

∠E-∠ACE=60°又∵∠ACE=60°，∴∠BCD=∠E=60°，（）∴∠ACD=∠DCB，（）∴∠ACD=∠DCB=60°（）又∵AE∥DC，∴∠CAE=∠ACE=∠E=60°

∴△ACE是等边三角形.（）练习3.已知：如图，AB=BC，∠CDE=120°，

DF∥BA，且DF平分∠CDE.

求证：△ABC是等边三角形.证明∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，练习4、已知，AC=AD,∠ACB=∠ADB,求证：BC=BDABCD练习巩固与提高2.已知：如图，∠B=∠C，AB∥DE，EC=ED.求证：△DEC为等边三角形.

巩固与提高3.已知：如图，△ABC是等边三角形,点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点.求证：△DEF是等边三角形.巩固与提高4.上午10时,一艘船从A处出发以每小时20海里的速度向正北航行,中午12时到达B处.从A,B两点观望灯塔C,测得∠DAC=40°,∠DBC=80°,求从B处到灯塔C的距离.巩固与提高5如图，⊿ABC中,∠ACB的平分线交AB于点E,过点E作FE//BC,交AC于点O,交∠ACD的平分线于点F,求证：EO=FO.证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵EF∥BC,∴∠2=∠5，∠3=∠6,∴∠1=∠5，∠4=∠6,∴EO=CO,FO=CO,∴EO=FO.巩固与提高已知，如图在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC的中点，OD⊥AB于D,OE⊥AC于E.（1）OD与OE有什么数量关系；ADCBEO┏┓三、合作探究M┏（2）若BM是一腰上的高，BM与OD，OE有什么数量关系，请说明理由.证明：变式：已知，如图（2），（3）在等腰△ABC