能量法精简版

能量法第三章（11）

概述

应变能余能

卡氏定理

用能量法解超静定问题返回鸟巢济南奥体中心游泳馆济南奥体中心体育场能量方法：利用功能原理Ve=W来求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。

§3-1概述可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。

Ve=W1.线弹性条件下，通过外力功求应变能§3-2应变能•余能常力作功：常力F

沿其方向线位移上所作的功

一、应变能变力作功：在线弹性范围内，外力F

与位移间呈线性关系。(静荷载为变力）轴向拉（压）杆外力作功FoFP基本变形在弹性范围内变形量与外力(内力)均呈线性关系弯曲扭转轴向拉，压（FN为轴力）（

为相对扭转角，T

为扭矩）（

为转角，M

为弯矩）由Ve=W,可得以下变形能表达式（2）扭转杆内的变形能（1）轴向拉压杆内的变形能（3）弯曲梁内的变形能（略去剪力的影响）（3）组合变形的变形能2、非线性弹性体，通过比能求应变能Fo1F1拉杆的材料是非线性弹性体，当外力由0

逐渐增大到F1

时，杆端位移就由0

逐渐增到1。FdF外力作功为FFo1F1从拉杆中取出一个各边为单位长的单元体，l=1=作用在单元体上，下两表面的力为F=11=其伸长量FFF11该单元体上外力作功为l=F=FF单位体积的应变能即比能为11FF若取单元体的边长为dx

、dy、dz，则该单元体的应变能为dVe=ve

dx

dy

dz令dx

dy

dz=dV则整个拉杆内的应变能为拉杆整个体积内各点的ve为常量，故有扭转杆

拉压杆

在线弹性

范围内例题：已知：图示抗弯刚度为EI的简支梁，受均布荷载q作用。求：应变能qABly解：[法1]运用功能原理求应变能挠曲线方程xdxqABlywxdxqABlyw[法2]运用弯曲变形能公式qABlyx例题：

水平杆系如图所示，两杆的长度均为l,横截面面积

为A，弹性模量为E，且均为线弹性。试计算在F作用下的应变能。llaAaF解：外力作用下，两杆件伸长，沿F

方向下移，则llaAaF对吗？由A点平衡得

llaAaFFNFNFFNFNF略去高阶微量llaAaFF

与成非线性关系FNFNFllaAaF该问题属于几何非线性弹性问题由于F

与的非线性关系,求能量需用积分。二.余能1、非线性弹性材料（拉杆）F余功公式=矩形面积+FdF余能公式单位体积的余能2、线弹性材料的几何线性问题

dFF注意：(1)计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的区别。(2)应变能Ve

只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载次序无关。§14-3卡式定理设梁上有n个荷载F1，F2，，Fn（简单加载）与之相应的位移为1，2，，

n一、卡式第一定理

梁内应变能在数值上就等于外力功外力作总功等于每个集中力在加载过程中所作功的总和上式表示梁内应变能Ve

是其上所有荷载相应的最后位移i

的函数假设与第i个荷载相应的位移有一微小的增量di梁内应变能的变化为为应变能对于位移i

的变化率只有与Fi

相应的位移有一微小增量，而与其余各荷载相应的位移保持不变。只有Fi

在微小位移di

上作了外力功梁外力功的变化为外力功在数值上等于应变能得到即卡氏第一定理一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移i

为Fi

的作用点相应于Fi

的位移。Fi

为广义力，i为与Fi

相应的广义位移。例题：已知图示悬臂梁，抗弯刚度EI，自由端转角θ

求：自由端力偶m。

解：梁内任一点的线应变为由图可得m梁内任一点的比能为梁的应变能为mm梁的应变能为例题：已知平面桁架受力如图。两杆的横截面面积均为A，两杆的E相同，且均处于线弹性范围内。求：B点水平位移与铅垂位移。若B只发生水平位移1解：若B只发生铅垂位移2桁架的应变能当水平位移与铅垂位移同时发生时由卡式第一定理二、卡氏第二定理设梁上有n个荷载F1，F2，，Fn（简单加载）与之相应的位移为1，2，，

n梁内余能为外力的总余功等与每个集中荷载余功之和每个集中荷载余能假设第i

个荷载有一微小增量dFi

，其余荷载及所有荷载的位移均维持常量不变，外力总余功的相应改变量为由于Fi

改变了dFi

，梁内余能的改变量为外力余功在数值上等于弹性杆的余能则有——式为余能定理线弹性杆件或杆系中，应变能与余能在数值上相等则有上式为卡氏第二定理(1)卡氏第一定理与余能定理两定理均适用于线性或非线性弹性杆件及杆系。说明(2)卡氏第二定理与余能定理

卡氏第二定理只适用于线性弹性体。

(3)Fi

为广义力，i为相应的位移。一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移(4)卡氏第二定理的应用

轴向拉、压扭转

弯曲

平面桁架组合变形

例题：

已知：如图所示悬臂梁受力情况，抗弯刚度EI

求：自由端的挠度（用卡氏第二定理）解：因自由端没有与所求位移对应的集中力，需加一虚设外力P

由卡氏第二定理例题：外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁材料为线弹性体。求梁C截面的挠度和A截面的转角。ABCPmla解：x1x2ABCPmlaAB：BC：x1x2ABCPmlaAB：BC：x1x2ABCPmlaAB：()BC：

例题：外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁材料为线弹性体。求梁C截面和D截面的挠度。解：ABCPaPDaa法一:AC：CB：BD：ABCPaPDaaAC：CB：BD：ABCPaPDaa法二:AC：ABCPaPDaaCB：ABCPaPDaaBD：ABCPaPDaaABCPaPDaaABCPaPDaa第二种方法是正确的ABCPaPDaa例题：已知开口圆环受力如图，材料为线弹性，抗弯刚度EI

求：圆环的张开位移△（不计剪力及轴力的影响）。例14-12

使曲率减小为正解：由卡氏第二定理qABCll例题：抗弯刚度均为EI的静定组合梁ABC，受力如图所示。梁材料为线弹性体，不计剪应变对梁变形的影响。用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。qABCllqABCll解：在B

两侧虚设一对外力偶。约束反力如图所示qABCllxxAB：BC:AB:BC:()例题：刚架结构如图所示。弹性模量EI已知。材料为线弹性。不考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移。ABCDaa2am解在C截面虚设一力偶mc,

在D截面虚设一水平力P。mcPRHVABCDaa2ammcPRHVxCD:ABCDaa2ammcPRHVxCB:ABCDaa2ammcPRHVxAB:M(x)=PxCD:CB:AB:M(x)=PxABCDaa2ammcPRHVCD:CB:AB:M(x)=Px()ABCDaa2ammcP例题：各杆抗弯刚度均为EI的Z字形平面刚架受集中力P作用。杆的材料是线弹性的，不计剪力和轴力对变形的影响。求端面A的线位移和转角。ABCDP3a4aABCDP3a4aCABDP解：在A端虚设水平力Px

和外力偶mA

。ABCDPxAB：ABCDPBC：3a4axABCDPxCD：4aABCDPAB：BC：CD：AB：BC：CD：ABCDPAB：BC：CD：（）ABCDP例题：各杆的抗拉（压）刚度均为EA的正方形平面桁架受水平力P作用。杆的材料为线弹性。求结点C的水平和铅垂位移。llABcDPQllABcDPQ杆件Q=0ABBCCDDAAC0000-（P+Q）-1-1-P000000000Q=0Q=0llABcDPQ例题：求A截面的铅垂位移。略去剪力影响ABCDPll/22l/3EAEIABCDPll/22l/3EAEI解：AB为弯曲变形CD为轴向拉伸取AB为研究对象ACBFNABCDPll/22l/3EAEICD杆ACBFNABCDPll/22l/3EAEIAB梁AC：xCB:xPACBFNABCDPll/22l/3EAEIAB梁CD杆例题：圆截面杆ABC，（ABC=900）位于水平平面内，已知杆截面直径d及材料的弹性常数E,G。求C截面处的铅垂位移。不计剪力的影响。ABCllqABCllqBC：弯曲变形xPABlClqAB为弯曲与扭转的组合变形xPABlQm（扭转变形）（弯曲变形）ABlClqxPABlQmxABlClqxPxBC：弯曲变形AB：弯扭组合变形P=0ABlClqxPxP=0例题：图示刚架各段的抗弯刚度均为EI。不计轴力和剪力的影响。用卡氏第二定理求截面D的水平位移D和转角D。ABCDPPll2l解：在点虚设一力偶矩mmCD：弯曲变形P1ABCDPPll2lxABCPP1ABCP将力P向C简化得：力P（产生拉伸变形）将m向C简化得：m（产生弯曲变形）2Plm力偶矩2Pl（产生弯曲变形）DPll2lmABCPP1ABCABCPP1ABCP2PlmDPll2lmABCPP1ABCAC

产生拉伸与弯曲的组合变形。横截面上的内力有轴力和弯矩。但是轴力不计，因此横截面上的内力只计弯矩。ABCDPPll2lmxP1P2PlmxBC段：BA段：xABCDPPll2lmxP1P2Plmxxm=0P1=PABCDPPll2lmxP1P2Plmxxm=0P1=P§3-4用能量法解超静定问题例题：已知两杆抗弯刚度均为EI。不计剪力和轴力对刚架变形的影响。求支座反力。q=10kN/m，m=50kN.m。ABCDa=50mmqmXABCDa=50mmqmABCDa=50mmqmXABCDa=50mmqm解：变形相容条件是在B

点处的挠度为零。XABCDa=50mmqmM(x)=XxxxM(x)=Xx-myCA:BD：DC:BD：M(x)=XxDC:M(x)=Xx-mCA:XABCDa=50mmqmxxy()XAB