第12章 弯曲的几个补充问题

Additionalremarksforbending第十二章弯曲的几个补充问题§12–1非对称弯曲(Unsymmetricalbending）

§12–2

开口薄壁杆件的切应力

弯曲中心

(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexuralcenter)第十二章弯曲的几个补充问题

(Additionalremarksforbending）BA§12-1非对称弯曲(Unsymmetricalbending)一、非对称弯曲(Unsymmetricalbending)

横向力虽然通过截面的弯曲中心，但与形心主惯性平面存在一定夹角。在这种情况下，梁弯曲后的轴线不在力的作用平面内，这种弯曲变形称为斜弯曲.yzxFyFzF二、斜弯曲的分析方法

(Analysismethodforunsymmetricalbending)2.叠加(Superposition)

对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来FzFyyzFjBAyzxFyFzF1.分解(Resolution)

将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲

梁在垂直纵向对称面xy

面内发生平面弯曲。z轴为中性轴yxz挠曲线梁的轴线对称轴垂直纵向对称面xyz梁的轴线对称轴水平纵向对称面

梁在水平纵向对称面xz平面内弯曲，y

轴为中性轴。挠曲线

三、梁内任意横截面上的内力分析

(Analysisofinternalforceonanycrosssection)BAFyFzyzxxMy

=Fz

x=Fxsin(使梁在xz平面内弯曲，y为中性轴)Mz

=Fy

x=Fxcos(使梁在

xy平面内弯曲，z

为中性轴)mmmmzyMyxMz

四、横截面上的应力分析（Stressanalysisofcrosssections)

mmzyMyxMz1.与My

相应的正应力为(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMy)2.与Mz

相应的正应力为(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMz)C

点处的正应力(ThenormalstressatpointC)C(y,z)五、横截面上中性轴的位置(Locationofneutralaxisoncrosssection)中性轴上的正应力为零假设点

e(z0

,y0

)

为中性轴上任意一点MzOe(z0,y0)中性轴方程为中性轴是一条通过横截面形心的直线(theneutralaxisisalinewhichcrossthecentroidofanarea)

Myzyx中性轴中性轴的位置由它与y轴的夹角确定

zyx中性轴

公式中角度

是横截面上合成弯矩

M

的矢量与

y轴的夹角。

横截面上合成弯矩M

为y0yzO

公式中角度y

是横截面上合成弯矩

M

的矢量与

y轴的夹角.M中性轴MzMyyxyM中性轴

z

yO

讨

论：（1）一般情况下，截面的IzIy,故中性轴与合成弯矩

M

所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。所以挠曲线与外力（合成弯矩）所在面不共面,此为斜弯曲的变形特征。z

（2）对于圆形、正方形等Iy=Iz

的截面，有=y，梁发生平面弯曲(planebending)，正应力可用合成弯矩M按正应力计算公式计算。梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线，故梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。中性轴

z

yOMyzy中性轴六、最大正应力分析（Analysisofmaximumnormalstress)

作平行于中性轴的两直线分别与横截面周边相切于D1、D2两点，D1

、D2

两点分别为横截面上最大拉应力点和最大压应力点。D2D1OD1D2zyzyO中性轴中性轴

对于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面，梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处。可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中性轴。D2D1O七、强度条件(Strengthcondition)斜弯曲的危险点处于单向应力状态，所以强度条件为强度条件的应用设计截面强度校核确定许可载荷八、斜弯曲的挠度(Deflectionofunsymmetricalbending)分别求出Fy

引起的挠度wy

和Fz

引起的挠度wz方法：叠加原理wzwywy总挠度为w总挠度与轴的夹角为y平面弯曲:中性轴垂直于弯矩作用面的变形形式斜弯曲:中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式

斜弯曲＝两个互垂平面弯曲的组合九、几个弯曲概念之间的关系(Therelationshipbetweenseveralconceptofbending)对称弯曲非对称弯曲弯曲对称弯曲(弯矩矢量平行主形心轴时)非对称弯曲(弯矩矢量不平行主形心轴时)

xABCzyF2=2kNF1=1kN

0.5m

0.5m

4080zyO

ad

b

c例题1矩形截面的悬臂梁承受荷载如图所示.试确定危险截面上危险点所在的位置，计算梁内最大正应力的值.解:（1）外力分析

梁在F2

的作用下将在xOz

平面内发生平面弯曲(y

为中性轴）故此梁的变形为两个相互垂直平面弯曲的组合----斜弯曲

梁在F1的作用下将在xOy平面内发生平面弯曲（

z为中性轴）

xABCzyF2=2kNF1=1kN

0.5m0.5m

（2）绘制弯矩图绘出Mz

(x)图绘出

My(x)图

A截面为梁的危险截面

Mz

=1kN·m

My=1kN·m

xABCzyF2=2kNF1=1kN

0.5m

0.5m

1kN·mxMz(x)图1kN·mxMy(x)图Mz使A截面上部受拉，下部受压My使A截面前部受拉，后部受压zyxMyzyxMzzyx（3）应力分析D1是最大拉应力点D2是最大压应力点两点正应力的绝对值相等拉压D2D1拉压8040zyzyxMyzyxMz拉压拉压（4）中性轴的位置8040zy中性轴（5）绘制总应力分布图8040zy中性轴D1D2+-D1=7.02D2=-7.02拉压

例题220a号工字形悬臂梁受集度为q的均布荷载和集中力F=qa/2作用,力F作用在yOz平面内.已知钢的许用应力[]=160MPa，a=1m。试求此梁的许可荷载集度[q].40°FqaaACByz解：将力F向y

轴和

z轴分解Fy

与均布荷载q使梁在

xy平面内产生弯曲(z为中性轴)Fz使梁在

xz平面内产生弯曲(y为中性轴)z40°FqaaACByFyFzFzACBxz面qFyACBxy面DD0.617abcda0.456qa20.266qa20.383qa2Mz图adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My图（1）画弯矩图A、D

两截面可能是危险截面MzA=0.266qa2MzD=0.456qa2MyA

=0.642qa2MyD

=0.444qa2A

截面

D

截面（2）计算应力查工字钢表20a号A

截面

D

截面梁的危险点在A

截面棱角处§12-2开口薄壁杆件的切应力弯曲中心

(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexuralcenter)

一、非对称截面梁平面弯曲的条件(Conditionsofplanebendingforunsymmetricalbeams)

前面讨论的平面弯曲,仅限于梁至少有一个纵向对称面,外力均作用在该对称面内且垂直于轴线.

对于非对称截面梁.横截面上有一对形心主惯性轴y,z,形心主惯性轴y,z与轴线x组成两个形心主惯性平面xOy,xOz形心主惯性平面y,z轴为形心主惯性轴zxy1.实体梁（Bodybeams)

当横向外力作用在形心主惯性平面的平面内,梁发生平面弯曲.否则将会伴随着扭转变形.但由于实体构件抗扭刚度很大.扭转变形很小,其带来的影响可以忽略不计.2.开口薄壁截面梁

(Openthin-wallsections)

对于开口薄壁截面梁,即使横向力作用于形心主惯性平面内(非对称平面),则梁除发生弯曲变形外,还将发生扭转变形.

只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点时,梁才只发生平面弯曲,而无扭转变形.这个特定点称为横截面的弯曲中心(Shearcenterorflexuralcenter),用A表示.3.弯曲中心的确定（Determinationoftheshearcenter)（1）弯曲中心(Shearcenterorflexuralcenter)

切应力合力的作用点就是截面弯曲中心(使杆不发生扭转的横向力作用点).（2）弯曲中心的位置(Locationoftheshearcenter)

（b）具有一个对称轴的截面,其弯曲中心一定在这个对称轴上.（c）若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心.AAA（a）具有两个对称轴或反对称轴的截面,其弯曲中心与形心重合.例3试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置;若剪力FS的方向垂直向下,试画出切应力流的方向.AAAAAAAAAA例题4一槽钢制成的梁受方向平行于其腹板的横向荷载作用.钢槽截面简化后的尺寸见图.（2）确定横截面上剪力作用线的位置（1）分析横截面上腹板,翼缘两部分切应力t和t1的变化规律q(x)F1F2tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ解：（1）分析腹板上切应力的变化规律腹板上切应力沿高度按二次抛物线规律变化.tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ（2）横截面翼缘上的切应力q(x)F1F2mmnnxdxFSMFSM+dMnmmndxxs1nmnmdxs11

沿翼缘厚度用纵向截面AC截出一体积元素C-m

在C-m的两个截面D-m,C-n上分别有由法向内力元素

在C-m的两个截面D-m,C-n上分别有由法向内力元素组成的拉力FN1*,FN11*.mnOzydxmDCAξdAAξDmCdxδB

由于翼缘很薄,故可认为1,11,沿翼缘厚度保持不变,且其值与翼缘中线上的正应力相同.δ为翼缘厚度ξ为从翼缘外端到所取纵截面AC间的长度mnOzydxmDCAξAξDmCdxδBdAA*

所以在AC截面上一定存在着切向内力元素dFS’，因为翼缘横截面也是狭长矩形,故可采用切应力沿壁厚不变及其方向平行于翼缘长度的假设.由于

根据剪应力互等定理,横截面上的切应力和AC上的切应力如图所示.AξDmCdxδB平衡方程Fx=0经过整理,即得AξDmCdxδB由切应力互等定理可知得横截面上的切应力mnOzydxmDCAξ式中FS—为横截面上的剪力Iz—为整个横截面对其中性轴的惯性矩h’—为截面两翼缘中线间的距离ξ—为从翼缘外端到要求切应力点之间的长度1沿翼缘长度按线性规律变化.

翼缘上的最大剪应力发生在横截面上翼缘与腹板的中线相接处.切应力的指向如图所示mmδy