第11章应力状态分析和强度理论

第十一章应力状态分析和强度理论一点处应力状态

：

过一点各方向截面上应力的集合。应力状态分析：

分析一点处的应力随截面方位改变而变化的规律。应力状态分析的目的：

为多应力强度分析打基础；了解强度破坏的力学因素。§11-1概述1.应力状态的概念通过杆内任意一点所作各个截面上的应力随着截面的方位而改变。例如轴向拉压时杆件斜截面上的应力受扭杆件

y

a

bcdenx(a)detnxc(b)受扭杆件通过杆内任意一点所作各个截面上的应力也随着截面的方位而改变，有必要进行应力状态分析。

+－maxmax

max梁在横力弯曲时，在梁的横截面上，除去离中性轴最远的和中性轴上的点以外，各点处既有正应力又有切应力。当需要按照这些点处的应力对梁进行强度计算时，必须考虑两种应力的综合影响，就需要全面研究一点处的应力状态。铸铁轴向拉伸：沿横截面拉断破坏，断口平齐。铸铁轴向压缩：沿斜截面剪断破坏。低碳钢轴向拉伸：沿45º斜截面滑移而产生屈服流动。断口有颈缩现象。回顾我们做过的材料实验低碳钢扭转：沿横截面剪断破坏。铸铁扭转：沿斜截面拉断破坏。TT断裂线σmin铸铁的所谓扭转破坏，实质上是沿45º方向拉伸引起的断裂。因此根据对应力状态的分析，可以了解杆件中材料破坏的力学因素，以建立强度条件。2.应力状态分析的方法取研究对象截开并考察平衡讨论结果单元体：围绕一点取出的边长为无限小的正立方体。应力特点：单元体各表面上的应力视为均匀分布。平行面上的应力相等。相邻垂直面上的切应力根据切应力互等定理确定。一般选择单元体的面平行于构件的横截面或表面，这样可以用现有公式求出单元体上的应力。TTFF

QM§11-2

平面应力状态分析平面应力状态

平面应力状态：单元体各平面上的应力，都平行于单元体的某一对平面，而在这一对平面上却没有应力的应力状态，又称为两向应力状态。1.求斜截面上的应力求此单元体上任意平行于z轴的斜截面上的应力。设单元体z方向厚度为1。取垂直于斜截面的n轴和平行于斜截面的t轴为参考坐标轴。设斜面面积为dA，则有因为，以上两式可以简化为：

正应力：拉“+”，压“-”。切应力：顺时针“+”，逆时针“-”。夹角：外法线逆时针转为“+”，顺时针转“-”。

公式（6－1）与（6－2）称为应力转换公式，可由求得任意截面上的和。2.应力圆将式改写成将上面两式两边分别平方再相加得应力圆圆心：半径：标准圆方程：A1A2O应力圆方程：对比得

对于一个单元体，已知且则按以下步骤求应力圆：（1）在坐标系内，按选定比例尺，量取得，点。（2）连接和两点，其连线与轴交于C点。以C点为圆心，为半径画圆就是所求应力圆。A1A2O

单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。单元体上任意A，B两截面的外法线之间的夹角为，则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间圆弧段所对应的圆心角必为。因此，只要由单元体的X平面和Y平面上已知应力作出应力圆，就可以很容易地从应力圆确定任一截面上的应力。A1A2O3.主应力与主平面观察应力圆，可见轴与应力圆交于两点，这两点正应力为最大、最小值，而切应力为零。

主平面：切应力等于零的平面。

主应力：主平面上的正应力。A1A2Os在通过某点的各个平面上，最大，最小正应力所在平面是主平面。最大最小正应力为主应力。由于，表明两个主平面是相互垂直的，两个主应力也是相互垂直的。此外，单元体上没有应力作用的平面也是主平面，它与另外两个主平面也互相垂直。三个主平面上的主应力通常用表示，并按代数值大小排列，即A1A2OsA1A2Os还可以注意最大最小切应力所在的平面相互垂直并与主平面成45角。从图可见xyx1212A1A2Os还可以看到例：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a和b所示，梁的尺寸见图c。试通过应力圆求截面C上a点处的主应力。解：首先作出梁的剪力和弯矩图如图d和e所示：

(a)

B5m10mA250kNC(b)fza(c)

12015270159(d)FS图M图(e)

M(kN·m)80x200kN50kNFSx由此可得C截面处的弯矩和截面左侧的剪力为：

又因为横截面的惯性矩和计算a点切应力所需的静矩为：且：由此可得C截面上a点处正应力和切应力分别为：

该点的应力状态如图f所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图g所示。ty(f)tyytxsxxtxsxsx=122.7MPatx=64.6MPaty=-64.6MPas/MPat/MPaOA1A2CD1(122.7,64.6)D2(0,-64.6)s3smax2a0(g)由应力圆可得a点处的主应力为：且：则1主平面的方位角0为：显然，3主平面应垂直与1主平面，如下图所示。s3s1tytyytxsxxtxsx如图所示的三个单元体是否处于平面应力状态？(a)(b)(c)思考题6-1参考答案：单向应力状态单向应力状态平面应力状态(a)(b)(c)思考题6-2

根据图示应力圆是否可知，对于图示的单元体，（1）垂直于xy平面的截面上之最大切应力其值为

，作用在自

作用截面逆时针旋转45º的面上；（2）该截面上还有正应力，其值为。A1A2Osxyx12求图示应力状态下单元体的与纸面垂直的任意截面上的应力。思考题10-3平面应力状态的应力圆123123=0132=0231=0平面应力状态3=-1=2=0单向拉伸应力状态1=2=03=-纯剪应力状态2=3=01=s单向压缩应力状态(1)一点处应力随截面方位的改变而变化：

4.小结：(2)切应力极值：A1A2Os(3)正应力极值：(4)主平面·主应力·主方向：A1A2Os例题：求纯剪切应力状态的主应力及主方向。1=2=03=-问题：在基本变形中，杆件内哪些点为上述应力状态？依上述结果可以确定三个主应力的顺序吗？常见的二向应力状态§11-3三向应力状态的应力圆123=0132=0231=0平面应力状态如果一单元体中，主应力均不为0，则单元体处于空间应力状态，即三向应力状态。平面应力圆表达了与主应力为零的面相垂直的截面上应力的情况。事实上即使那个面上的主应力不为零，而按平面应力状态绘出的应力圆，仍然表示平行于该主应力的截面上应力的情况。

132132132132

O可以证明，代表不平行于任一主应力的任意斜截面上应力的点必定落在三个以主应力作出的应力圆之间。13213三向应力状态下的最大切应力O§11-4平面应力状态下的胡克定律各向同性材料在平面应力状态下，当变形微小时，正应变只与该点处的正应力相关，而与切应力无关。在线弹性且变形微小时，可将任意的平面应力状态看作两个单向应力状态和一个纯剪切应力状态的叠加。000从而即得平面应力状态下的胡克定律：xxy例已知|ea|+|eb|=40010，E=200GPa,=0.25，D=120mm,d=80mm，求T。TT13545aabb解：==纯剪应力状态===TT13545aabb==TT13545aabb§11-5强度理论及其应用1321<[]1强度极限可以通过试验来测定。应力组合无限多种，强度极限无法通过试验来测定。复杂应力状态简单应力状态

人们根据材料破坏的现象，形成了如下共识：⑴材料受外力作用发生破坏时，不论破坏的表象如何复杂，其破坏形式只有几种类型。⑵同一种类型的破坏是由某一个共同的力学因素引起的。⑶当某一共同力学因素达到材料的极限值，该材料就会发生某型破坏。⑷可以通过简单拉伸试验来确定这个因素的极限值，从而建立复杂应力状态下的强度条件。(1)脆性破坏：没有明显的塑性变形，这时的断裂面是最大拉应力所在面。例如铸铁在室温、静载下受单向拉伸或扭转。1.材料的两种基本破坏形式：强度理论——认为材料某一类型的破坏是由某种力学因素引起的假说。(2)塑性屈服：有明显的塑性变形，这时材料是沿最大剪应力所在面发生相对错动而破坏的。例如低碳钢在室温、静载下受单向拉（压）及铸铁受压缩。2.四个基本的强度理论(1)关于脆性断裂的强度理论(a)最大拉应力理论破坏条件：1=jx强度条件：1［］适用范围:(Ⅰ)脆性材料在单向拉伸和纯剪应力状态下发生的破坏

(Ⅱ)铸铁在双向受拉和一拉一压的平面应力状态下TT断裂线σmin适用范围：（Ⅰ）石料等脆性材料在单向压缩状态下发生的破坏。（Ⅱ）铸铁一拉一压的平面应力状态下偏于安全。(b)最大伸长线应变理论破坏条件：1=jx

，强度条件：强度条件：1-3［］适用范围：塑性破坏，拉压屈服极限相同的塑性材料。（2）关于塑性屈服的强度理论（c）最大切应力理论破坏条件：max=jx

，强度条件：适用范围：塑性破坏，拉压屈服极限相同的塑性材料。（d）形状改变比能理论破坏条件：ud

=udjx即3.强度理论的应用（1）按第三强度理论：（2）按第四强度理论：对图示平面应力状态，试证明。由第三强度理论，有：例：利用第三或第四强度理论求纯剪应力状态下屈服应力s和拉压屈服应力s之间的关系。t

当=s时材料发生屈服，因此有：解：图示纯剪应力状态的主应力为：而当材料拉压屈服时有：由此可得：利用第四强度理论，有：即，

纯剪：单拉：由此可得：60例试全面校核图a、b、c所示焊接工字梁的强度，梁的自重不计。已知：梁的横截面对于中性轴的惯性矩为Iz=88×106mm4；半个横截面对于中性轴的静矩为S*z,max