第10章 结构动力计算基础

基本要求：熟练掌握单自由度体系自由振动的计算(微分方程的建立、求解、自振周期和自振频率的计算）；了解单自由度体系强迫振动的计算；了解两个自由度体系自由振动的计算。教学内容：﹡动力计算的特点和动力自由度

﹡单自由度体系的自由振动

﹡单自由度体系的强迫振动

﹡两个自由度体系的自由振动

第10章

结构动力计算基础1.动力荷载与静力荷载静力荷载是指大小、方向和作用位置不随时间变化或变化很小的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力较小因而可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力较大因而不能忽略，由它所引起的内力和变形都是坐标和时间的函数。§10.1

动力计算的特点和动力自由度一、动力荷载的概念及分类区别：静力荷载只与作用位置有关，而动力荷载的变化是坐标和时间的函数。

（1）周期荷载——随时间作周期性变化2.动力荷载的分类确定性非确定性（随机荷载）周期荷载非周期荷载P(t)t简谐荷载（按正余弦规律变化）Pt一般周期荷载简谐荷载：最简单的周期荷载，随时间按正弦或余弦规律变化。如机器转动时转子做匀速转动时就会产生这种荷载。非简谐荷载：按其它规律周期性变化的荷载。如平稳情况下波浪对堤坝的动水压力；轮船螺旋桨产生的推力等。突加荷载：突然施加在结构上并保持不变的荷载，如施工中吊起重物的卷扬机突然开动时施加于钢丝绳上的荷载。冲击荷载：短时间内剧增或剧减P(t)ttrPtrP(t)tPP(t)tP突加荷载（2）非周期荷载冲击荷载：在很短时间内，荷载值急剧增大或减小，如各种爆炸荷载、打桩机的锤头对桩柱的冲击等。（3）随机荷载——荷载有很大的随意性，任一时刻的数值无法确定，如地震荷载、风荷载、海浪对堤岸、码头的冲击等。1.地震作用下建筑结构的震动；二、常见的动力问题2.风荷载作用下大型桥梁、高层结构的振动；3.机器转动产生的不平衡力引起的大型机器基础的振动；4.车辆运行中由于路面不平顺引起的车辆振动及车辆引起的路面振动；5.爆炸荷载作用下防护工事的冲击动力反应；6.海洋工程结构在波浪、冰凌、台风等动力荷载作用下的反应等等，量大而面广。三、结构动力计算的特点1.结构动力学的主要特征由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。

达朗伯原理：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的所有的主动力、约束反力与虚加在质点上的惯性力在形式上构成一平衡力系（即主动力、约束反力和质点的惯性力的矢量和等于零）。动静法：根据达朗伯原理，动力计算问题可以转化为静力平衡问题来求解，这种方法称为动静法。2.结构动力计算的原理和方法静力计算静力平衡方程荷载、约束力、内力、位移是不随时间变化的常量动力计算动力平衡方程荷载、约束力、内力、位移是随时间变化的函数引进惯性力（达朗伯原理）瞬时的静力平衡问题3.静力计算与动力计算的区别动力平衡的特点：与静力平衡不同，动力平衡只是形式上的平衡，是在引进惯性力条件下的平衡。（1）在所考虑的力系中要包括惯性力；（2）所谓的平衡是瞬间的平衡，荷载、内力、位移、速度、加速度等都是时间的函数。惯性力：当质点受力作用而改变其原来的运动状态时，由于质点的惯性产生对外界反抗的反作用力称为质点的惯性力。惯性力的方向与加速度方向相反，大小等于质点的质量与加速度的乘积。注意：质点的惯性力并不是质点本身受到的力，而是质点作用于施力物体上的力。m运动方程施力物体惯性力m形式上的平衡方程，实质上的运动方程。由牛顿第二定律可得牛顿第二定律：质点受外力作用时，将产生运动加速度，加速度的方向与外力合力方向一致，其大小与合力的大小成正比，与质点的质量成反比。即在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都随时间变化，它除与动力荷载的变化规律有关外，还与结构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动力荷载下的反应，故称之为结构的动力特性。4．动力反应的特点5．结构动力计算的目的

研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。

1940年美国西海岸华盛顿州建成了一座当时位居世界第三的Tacoma大桥，大桥中央跨距为853米，为悬索桥结构，设计可以抗60米/秒的大风，但不幸的是大桥刚建成四个月就在19米/秒的小风吹拂下整体塌毁。其根本原因在于风旋涡脱落的频率与悬索桥板的固有频率一致，从而产生了强烈的共振。因此尽管桥塌毁的这天风并不是很大，但却吹垮了整座大桥。强迫振动：结构在动荷载作用下产生的振动。研究结构的强迫振动，可得到结构的动力反应。四、自由振动和强迫振动自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。五、动力计算中体系的自由度1.动力自由度的定义确定体系运动过程中任一时刻全部质量位置所需的独立几何参数数目，称为体系的动力自由度。动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗伯原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。2.动力自由度简化方法严格意义上讲，实际结构都是具有分布质量的弹性体，是无限自由度体系。实际结构动力自由度简化方法有：应用中存在的问题：（1）计算复杂，有时甚至无法求解；

（2）从工程角度没有必要。故，为计算方便，实际结构通常简化为有限自由度体系。集中质量法广义坐标法有限单元法根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多自由度体系和无限自由度体系。将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中到若干几何点上，使结构只在这些点上有质量，除这些点之外物体是无质量的。从而把一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。（1）集中质量法本章主要讨论集中质量法。

（2）广义坐标法---广义坐标---满足位移边界条件的形状函数

（3）有限元法综合了集中质量法和广义坐标法的特点,将实际结构离散为有限个单元的集合，以结点位移作为广义坐标，将无限自由度问题化为有限自由度问题。广义坐标个数即为自由度个数结点位移个数即为自由度个数m>>m梁my(t)1个质点1个自由度厂房排架水平振动时的计算简图EIEI2EImy(t)1个质点1个自由度2个质点2个自由度1个质点2个自由度说明：自由度数目与质点数目不一定相等。总结：动力计算中的自由度数目与结构中质点的数目和结构的几何组成无关。y(x,t)x无限自由度体系y1y23.自由度的确定1)平面上的一个质点W=22)

W=2弹性支座不减少动力自由度3)

计轴变时W=2不计轴变时W=1为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。4)

W=15)

W=2W=1自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。6)W=28)平面上的一个刚体W=39)弹性地面上的平面刚体W=3W=210)

7)

θW=111)

13)

W=13自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系;自由度无限多的体系为无限自由度体系。W=312)

y1y2y3结论：

①结构动力自由度数目与质点的个数无关②结构动力自由度数目与超静定次数无关考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多少？思考：

自由振动的概念：体系在振动过程中没有动荷载的作用。自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰，由初位移或初速度引起。1）很多实际的动力问题都可按单自由度体系进行动力分析或进行初步估算。hy(t)§10.2单自由度体系的自由振动（不计阻尼）

单自由度体系的自由振动分析的必要性：2）单自由度体系自由振动的分析是单自由度体系受迫振动和多自由度振动分析的基础。要掌握单自由度体系的动力反应的规律，必须首先建立其运动方程。下面介绍建立在达朗伯原理基础上的“动静法”。

分析自由振动的目的：确定结构的动力特性（自振频率、自振周期）。一、自由振动微分方程的建立单自由度体系的自由振动及相应的弹簧-质量模型如图示。以静平衡位置为坐标原点，在t时刻，质量m的位移为y(t)。1.刚度法建立平衡方程：（以质点为研究对象）取质量m为隔离体，作用在隔离体上的力：惯性力与加速度方向相反。动平衡方程：弹性力-ky(t)与位移方向相反；（10-1）y(t)mk(a)my(t)mky(t)(b)(c)2.柔度法建立位移方程：（以结构整体为研究对象）质量m在t

时刻的位移y(t)是由此时作用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：

(a)单自由度体系：

(b)式（10－1）或（a）称为单自由度体系自由振动运动方程（微分方程）。y(t)mk=mk×将（b）代入（a）整理后，即为（10-1）式。对单自由度体系来说：上式可用功的互等定理加以证明：mkmk根据功的互等定理，有：二、自由振动微分方程的解单自由度体系自由振动微分方程写为：

（10－2）式中：

其通解为：

当初始条件二阶齐次线性常微分方程式（10－3）还可写成：（10－4）式中：（10－5）不计阻尼时，单自由度体系的自由振动是由初位移和初速度引起的简谐振动。方程的解：（10－3）三、结构的自振周期和自振频率

由式（10－4）：y(t)是周期函数－自振周期（固有周期）－自振频率（固有频率）1.结构自振周期和自振频率的各种等价计算公式

理解这些公式各符号的含义，由其中一个公式便可得到其他公式。自振频率和周期的计算方法：(1)利用计算公式(2)利用机械能守恒（能量法）2.结构自振周期T（或自振频率ω）的性质

（1）自振周期只与结构的质量和刚度有关，与外部干扰因素无关，它是结构本身固有的特性；干扰力的大小只能影响振幅。（2）自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比，改变结构的质量或刚度可改变其自振周期。（3）自振周期是结构动力性能的一个很重要的数量标志。不管实际结构是否相同，若自振周期相同，结构的动力反应也相同。3.简谐自由振动的特性

位移：

加速度：

惯性力：

位移与惯性力作同频同步振动。1mEIla—位移幅值（最大值）maω2—惯性力最大值4.算例

例1.求图示体系的自振频率和自振周期。解：图示结构体系虽有两个质量，但它们沿同一直线（水平方向）运动，故仍为单自由度体系。如图（b）示，作图柔度系数自振频率

自振周期例2．图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计,求其自振频率。解：不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。作图，求出刚度系数自振频率

例3．求图示体系的自振频率。

解：（1）求各质点处的惯性力幅值，作体系的受力图

设该体系转动时，转角的幅值为。当位移达到幅值时，质量2m

和m上的惯性力也同时达到幅值。（2）在幅值处列出动平衡方程，求体系自振频率由此求得

惯性力：

在质点2m处最大惯性力：

在质点m处最大惯性力：

例4.求图示体系的自振频率和周期.解:mlmmlllkk1.能量法2.列幅值方程A例5.求图示体系的自振频率和周期。mEIlEIl=1=1ll/2l解:例6.质点重W，求体系的频率和周期.解:EIkl1k§10.3单自由度体系的强迫振动（不计阻尼）强迫振动——结构在动力荷载作用下的振动，也叫受迫振动。一.强迫振动的运动微分方程mEIlP(t)运动方程或（10－11）式中结构的自振频率式（10－11)为单自由度体系强迫振动的运动方程。单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示:二阶线性非齐次常微分方程通解：mEIlP(t)P

——荷载幅值——荷载频率运动方程先求方程特解：

代入方程,可得二、简谐荷载作用下的受迫振动1.运动方程的建立及求解齐次解：通解为：荷载幅值作为静荷载所引起的最大静位移积分常数由初始条件确定，设在t=0时的初位移和初速度均为零，则得运动方程的解为：（10－12）式（10-12）中第一项为动荷载引起的振动;第二项为初始条件引起的自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为过渡阶段。后来只按荷载频率进行的振动阶段为振动的平稳阶段，称为纯受迫振动或稳态振动。2.稳态振动分析稳态振动阶段运动方程的解：最大动位移：动力系数：（10－13）（1）动位移的讨论动力系数是频率比的函数,它反映了干扰力与动位移之间的关系。

当时，即动位移与干扰力指向一致；当时，即动位移与干扰力指向相反。1）

干扰力产生的动力作用不明显，因此可当作静荷载处理。当时，为增函数。极限情况，即或，则。意味着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。

2）共振为避开共振，可改变干扰力频率或改变结构的自振频率,使或。体系处于静止状态3）为减函数通过改变频比可增加或减小振幅。若要使振幅降低,应采取何种措施?应使频率比减小，增加结构的自振频率，增大刚度，减小质量；（2）降低振幅的措施：

－频率比应使频率比增大，减小结构的自振频率，减小刚度，增大质量。3.动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算（1）计算动力系数；（2）计算动荷载幅值作为静荷载作用时引起的位移和内力；（3）将位移和内力分别乘以动力系数得动位移幅值和动内力幅值。计算步骤：例1.求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知mEIEIlPl/4解：

Pl/3动弯矩幅值图例2.求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移。解：

Ql/2l/2重力引起的弯矩重力引起的位移l/4最大动位移最大动弯矩跨中最大弯矩跨中最大位移4.动荷载不作用于质点时的计算m=1=1令P运动方程稳态解（2）列幅值方程求最大动内力（动内力幅值）同频同步变化仍是位移动力系数是内力动力系数吗?（1）求振幅——最大动位移（动位移幅值A）根据稳态振动的振幅，算出惯性力。然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可求得动内力幅值。——最大静位移解:例1.求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知mEIl/2l/2PP=1=1P动弯矩幅值图解:例2.求图示体系右端的质点振幅。mlmkllAPo(a)(b)(c)例3.求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知解：(1)计算动力系数

(2)简支梁的振幅(d)l/4(e)3l/16(3)作动弯矩的幅值图。(f)l/4(d)l/4(e)3l/16采用冲量方法首先讨论瞬时冲量的动力反应，在此基础上讨论一般动力荷载下的动力反应。1.瞬时冲量的动力反应假定冲击荷载作用之前体系的初位移及初速度均为零。由于荷载作用时间极短，可以认为在冲击荷载作用完毕的瞬间，体系的位移仍为零。但冲击荷载有冲量，可以使处于静止状态的质点获得速度而引起自由振动。

思考：体系在冲击荷载作用下获得的是位移还是速度？

三、一般动力荷载作用下结构的动力反应根据动量定律，质点在瞬时冲量F·Δt作用下的动量变化为:由于v0=0，

所以有原来初位移、初速度为零的体系,在冲击荷载作用后的瞬间,变成了初位移为零,初速度为的自由振动问题。由(10-14)得若冲击荷载不是在t＝0，而是在t=τ时作用，则上式中的t应改为(t-τ)。由式(10-14)可得在t=τ

时作用瞬时冲量S引起的动力反应：(10-14)2.一般动力荷载F(t)的动力反应把整个加载过程看成是由一系列瞬时冲量所组成的。在时刻t=τ

作用的荷载为F(t)，此荷载在微分时段dτ内产生的冲量为dS=F(t)·dτ

。根据式(10-14)，此微分冲量引起的动力反应为：对加载过程中产生的微分反应进行叠加，得出总反应如下：——称为杜哈梅(Duhamel)积分。

(10-15)§14-5

单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动

（1）基本思路：视为一系列瞬时冲量连续作用下响应的总和Δttτt't't0t瞬时冲量tP(t)tτ(Duhamel积分)初始位移y0和初始速度v0不为零t时刻τ的微分冲量对t瞬时(t>τ)引起的动力反应：微分冲量（2）一般动荷载的动力反应杜哈梅积分初始位移y0和初始速度v0为零（1）突加荷载P(t)tPoysty(t)ωt0π2π3π质点围绕静力平衡位置作简谐振动ystyst举例说明：动力系数：3.几种常见动力荷载下的动力反应（2）短时荷载

P(t)tPou

1）方法一：阶段Ⅰ

(0﹤t﹤u)同突加荷载：直接采用

Duhamel

积分阶段Ⅱ

(t>u)：P(t)tPou阶段Ⅱ

(t>u)：体系以作自由振动。

2）方法二：利用突加荷载结论，分段讨论。阶段Ⅰ

(0﹤t﹤u)同突加荷载：

3）方法三：由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)tPu1)当0<ｔ<u2)当ｔ>uP(t)tPuy(t)ωt0π2π3π讨论主要针对u展开ystT/21）当u>T/2，最大动位移发生在阶段Ⅰ2）当0<u<T/2，最大动位移发生在阶段Ⅱβ1/611/22动力系数反应谱β(T,u)最大动反应的求解：（3）线性渐增荷载P(t)tP0tr对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间tr的长短有很大的关系。P(t)tP0tr01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0β动力系数反应谱β(T，tr)讨论：β与tr的关系例.

有一重物Q=2kN从20cm高处落到梁的中点，求梁的最大弯矩。已知梁的自重为W=20kN，I=36×104cm4,E=34×102kN/cm2。20cmQ3m3mW’解：结构在瞬时冲量作用下的动方程：重物与地面接触时的速度为：冲量为：1）求冲量：结构的最大位移：其中：2）求频率：等效静荷载：将梁的重量一半作用在梁的中间，一半作用在梁的两边。跨中最大弯矩：跨中最大位移：20cmQ3m3mW’（1）因结构特征必须简化为多自由度体系多层房屋、不等高排架等（2）为满足计算精度的要求烟囱、高耸建筑物等

基本方法刚度法：柔度法：按结构的位移协调条件建立运动方程按质量的力平衡条件建立运动方程§10.5双自由度体系的自由振动（不计阻尼）

一、刚度法(以质点为研究对象）(a)m1m2y1(t)y2(t)(b)根据达郎伯原理，可列出方程：（a）(c)12y1(t)y2(t)1.建立自由振动微分方程是质点受到的弹力,与位移方向相反。12y1(t)y2(t)=121×+121×由上图，可列出方程：（b）把（b）代入（a），可列出自由振动微分方程：（10-38）微分方程：设解为：（1）（2）把（1）式、（2）式代入微分方程：可求得：2.求自振频率频率方程或（特征方程）：齐次线性方程组：自振频率：非零解较小的第一频率（基频），为第二频率。（10-39）（10-40）（10-41）则，用刚度系数表示的主振型为：两个质点的位移随时间变化的频率相同，二者比值保持不变，即结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型。3.主振型第一振型或基本振型第二振型（1）结论(1)在多自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。(2)多自由度体系自振频率不止一个，其个数与体系自由度的个数相等。自振频率可由特征方程求出。(3)每个自振频率有自己相应的主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式。(4)与单自由度体系相同，多自由度体系的自振频率和主振型也是体系本身的固有性质。二、柔度法(以结构整体为研究对象）(a)m1m2y1(t)y2(t)(b)12=×+(c)12×根据叠加原理，可列出方程如下：（10-44）1.建立自由振动微分方程微分方程：设解为：（1）（2）把（1）式、（2）式代入微分方程：可求得：2.求自振频率齐次线性方程组：（10-45）即：主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。12Y1Y2式（10-45）还可写成下式来表达：频率方程或（特征方程）：齐次线性方程组：非零解（10-46）令频率方程：则自振圆频率为：较小的第一频率（基频），为第二频率。（10-47）则用柔度系数表示的主振型为：3.主振型第一振型第二振型（1）（10-48a）（10-48b）三、主振型的正交性m1m2运动方程：按振动时：位移与加速度同时达到最大，因此可以看作是最大惯性力产生的静位移。1.作自由振动时，体系上承受的是惯性力2.功的互等定理1212在梁上先作用P1,再作用P2,整个过程中体系做的功为：在梁上先作用P2,再作用P1,整个过程中体系做的功为：

1号力在2号力引起的位移上做的功功的互等定理2号力在1号力引起的位移上做的功3.主振型的正交性用功的互等定理来证明：第一主振型第二主振型功的互等定理整理得：第一正交关系虚功1虚功2Y1(1)Y2(1)m1m2m1m2Y1(2)Y2(2)如何解释正交性？利用第一正交关系1)同乘虚功1＝02)同乘虚功2＝0这表明体系在振动过程中，各主振型的能量不会转移到其他主振型上，也不会引起其他主振型的振动。因此，各主振型能单独存在而不相互干扰。例1.设图示刚架横梁刚度为无限大，质量集中在横梁上，且m1=m2=m,试求刚架水平振动时的自振动