第03章5自动控制理论

劳斯稳定判据设系统的特征方程式为将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表劳斯稳定判据表中用同样的方法，求取表中其余行的系数，一直到第n+1行排完为止。劳斯稳定判据劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变换，去判别特征方程式的根在s平面上的具体分布，其结论是：2）如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在s平面的右半平面上的个数，相应的系统是不稳定的。1）如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根在s平面的左半平面，相应的系统是稳定的。控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差，是控制精度（准确度）的一种度量，是控制系统的稳态性能指标。在实际系统中，引起稳态误差的因素是多种多样的。1、系统的稳态性2、系统的动态性5个指标稳态误差控制系统的稳态误差1、“稳态”是什么概念？2、稳态误差是怎样定义的？3、稳态误差有几种？4、定义在输入端和定义在输出端两种计算稳态误差方法有何区别？5、在两个输入下怎样计算稳态误差？6、系统根据什么分为0型、I型、II型？控制系统的稳态误差影响系统稳态误差的因素很多，如系统的结构、系统的参数以及输入量的形式等。必须指出的是，这里所说的稳态误差并不考虑由于元件的不灵敏区、零点漂移、老化等原因所造成的永久性的误差。在稳态条件下，期望输出cr(t)与实际输出c(t)之差定义为反馈系统稳态误差。控制系统的稳态误差：给定输入下的误差—给定误差 扰动输入下的误差—扰动误差控制系统的稳态误差稳态误差的定义G(s)H(s)E(s)B(s)R(s)C(s)控制系统框图图所示的这样结构的系统，其输入量和输出量通常为不同的物理量，因而系统的误差不能直接用它们的差值来表示。用输入量与反馈量的差值来定义系统的误差，即这样定义的误差，在实际中是可以量测的。如果需要把上述定义的误差折算为输出量纲来表示，那只要把它除以H(s)，即如果系统稳定，且其稳态误差的终值存在，则该值可用终值定理求得，即（3-27）（3-28）上式表明，系统的稳态误差不仅与其开环传递函数有关，而且也与输入信号的形式和大小有关，即系统的结构和参数的不同，输入信号的形式和大小的差异，都会引起系统稳态误差的变化。控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差说明：1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望值与实际值之差，这种方法定义的误差在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只具有数学意义。2）偏差是从系统的输入端来定义的，它是系统输入信号与主反馈信号之差，这种方法定义的误差，在实际系统中是可以测量的，因而具有一定的物理意义。3）对单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。控制系统的稳态误差系统型别设系统的开环传函为称为零型系统称为I型系统称为II型系统系统的型别以来划分优点：1．可以根据已知的输入信号形式，迅速判 断是否存在稳态误差及稳态误差的大小。2．系统阶数m,n的大小与系统型别无关，且不影响稳态误差的数值。控制系统的稳态误差利用终值定理计算应用终值定理的条件是sE(s)在s左半平面及虚轴上解析，或者说sE(s)的极点位于左半平面（包括坐标原点）。控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差位置（阶跃）误差系数终值定理：斜坡（速度）误差系数抛物线（加速度）误差系数控制系统的稳态误差求系统的给定输入下的稳态误差可以先求稳态误差系数0型系统，阶跃输入时，误差系数=K系统开环传递函数中不含积分环节三种典型输入下有三个误差系数的计算公式，而三个误差系数对应于“0”“I”“II”型系统又分别有三种情况。0型系统，阶跃输入时，输出始终不会等于输入，存在稳态误差。1、0型系统阶跃信号输入2、I型系统I型系统，阶跃输入时误差系数无穷大I型系统，阶跃输入时没有稳态误差输出最终等于输入系统开环传递函数中含一个积分环节控制系统的稳态误差3、II型系统II型系统，阶跃输入时误差系数无穷大II型系统，阶跃输入时没有稳态误差,输出最终等于输入系统开环传递函数中含两个积分环节控制系统的稳态误差斜坡信号输入令静态速度误差系数

令控制系统的稳态误差加速度信号输入令静态加速度误差系数

令控制系统的稳态误差表3-1静态误差系数与系统类型的关系

误差系数系统类型静态位置误差系数静态速度误差系数静态加速度误差系数0型系统K00Ⅰ型系统K0Ⅱ型系统K控制系统的稳态误差扰动作用下的稳态误差R(s)E(s)C(s)D(s)图3-2闭环控制系统考虑图3-2所示的系统，图中R(S)为系统的参考输入，D(s)为系统的扰动作用。为了计算扰动D(S)引起的系统的稳态误差，设R(s)=0，且令由D(s)引起的系统的输入和稳态误差分别为和。由图得根据终值定理求得在扰动作用下的稳态误差为小结1)时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调整时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。2)二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼比取值适当(如＝0.7左右)，则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因而在控制工程中常把二阶系统设计为欠阻尼。

3)分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调整时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。小结4)稳定是系统能正常工作的首要条件。线性定常系统的稳定性是系统的一种固有特性，它仅取决于系统的结构和参数。与外施信号的形式和大小无关。不用求根而能直接列别系统稳定性的方法，称为稳定判据。稳定判据只回答持征方程式的根在平面上的分布情况,而不能确定根的具体数值。5)稳态误差是系统控制精度的度量,也是系统的一个重要性能指标。系统的稳态误差既与其结构和参数有关，也与控制信号的形式、大小和作用点有关。6)系统的稳态精度与动态性能在对系统的类型和开环增益的要求上是相矛盾的。解决这一矛盾的力法，除了在系统中设置校正装置外，还可用前馈补偿的力法来提高系统的稳态精度。例题分析例题3－1图3－39所示的一阶系统，在阶跃输入时，系统为什么一定有稳态误差存在，试解释之。例题分析所以系统的稳态误差为。解令阶跃输入，假设系统的输出c(t)能等，则。这显然与上述的假设相矛盾。为了使这种类型的系统在阶跃输入时能正常地工作,从控制原理上来说，系统非有稳态误差不可。正是由于的存在，才有放大器的输出和在作用下的系统输出c(t)。如在稳态时，，则，它们都是由所产生的，例题分析例题3－2已知一阶系统的方框图如图3－40所示。设r(t)=t，求单位斜坡输出响应。例题分析解系统的传递函数为则其输出用部分分式展开上式，得取拉氏反变换由此可见，在稳态时、该0型系统输出量的变化率c(t)=1/2，它小于输入信号的变化率。这是由于0型系统的结构所致，从而使得具有这种结构的系统不能跟踪斜坡输入。

例题分析例题3－3已知图3—41a所示系统的单位阶跃响应曲线如图3－4lb示之，试求参数和a的值。例题分析

解因为该系统的闭环传递函数为对应的稳态输出为据此求得

由图3－41b得由上式求得＝0.6例题分析由上式得根据解得。把式子改写为二阶系统的标准形式，即表3-2稳态误差与系统的类型、输入信号间的关系稳态误差输入信号

系统类型阶跃输入斜坡输入等加速度输入0型系统

Ⅰ型系统0

Ⅱ型系统00

例题分析例题3－4一单位反馈控制系统．若要求：①跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2；②设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为。求满足上述要求的开环传递函数。因为即与相应的闭环传递函数为解根据①和②的要求，可知该系统是I型三阶系统，因而令其开环传递函数为例题分析由上式得求解联立方程组，得到，所求的开环传递函数为例题分析例题3－5己知一单位反馈控制系统如图3－42所示。试回答(1)

时．闭环系统是否稳定?(2)

时。闭环系统稳定的条件是什么？例题分析解(1)闭环的特征方程为由于表中第一列的系数全为正值，因而闭环特征方程式的根全部位于的左半平面，闭环系统是稳定的。排劳斯表例题分析(2)当开环传递函数为则其闭环特征方程变为例题分析排劳斯表

例题分析欲使系统稳定，表中第一列的