第15掌 结构稳定计算

第15章《结构的稳定计算》§15-1两类稳定问题概述一．概念稳定平衡状态结构原来处于某个平衡状态,由于受到轻微干扰而偏离其原来位置，当干扰消失后，结构能够回到原来位置。稳定平衡状态返回不稳定平衡状态结构原来处于某个平衡状态,由于受到轻微干扰而偏离其原来位置，当干扰消失后，结构不能够回到原来位置。不稳定平衡状态中性平衡状态结构由稳定平衡到不稳定平衡过渡的中间状态。中性平衡状态返回失稳随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态,这时原始平衡状态丧失其稳定性简称为失稳。基本形式有两种：分支点失稳极值点失稳返回压杆的完善体系(理想体系）杆件轴线是理想的直线(没有初曲率），荷载是理想的中心受压荷载(没有偏心)压杆的非完善体系具有初曲率或承受偏心荷载的压杆返回Δ完善体系ΔABCDD’Ⅰ(稳定)Ⅰ(不稳定)Ⅱ(大挠度理论)Ⅱ(小挠度理论)0B点:分支点OB段:稳定平衡BC段:不稳定平衡二．两类失稳１．分支点失稳：返回lEIFP---临界荷载稳定平衡随遇平衡不稳定平衡FPFP不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去稳定性称为失稳(屈曲).两种平衡状态:轴心受压和弯曲、压缩。---第一类稳定问题完善体系Δ非完善体系ΔΔAB(极值点)C大挠度理论小挠度理论0B点:极值点OB段:稳定平衡BC段:不稳定平衡2．极值点失稳：返回ΔfΔACBDEF发生跳跃现象:AB段为稳定平衡，BCD为不稳定平衡若无控制机构，实际曲线为ABFG段，B点机构发生跳跃3扁拱式结构失稳：返回稳定分析的自由度在稳定计算中,一个体系产生弹性变形时,确定其变形状态所需的独立几何参数的数目,称为稳定自由度。FP1个自由度FPFP2个自由度无限自由度§15-2两类稳定问题计算简例稳定自由度——确定体系变形状态所需要的独立几何参数的数目一．单自由度完善体系的分支点失稳

kAB图（a）kABB’图（b）返回§15-2两类稳定问题计算简例１．大挠度理论

：图（b）列平衡方程：代入上式解θA0CⅠ(稳定)Ⅰ(不稳定)Ⅱ(不稳定)返回§15-2两类稳定问题计算简例解为:θA0CⅠ(稳定)Ⅰ(不稳定)Ⅱ(随遇平衡)2．小挠度理论

：返回二单自由度非完善体系的极质点失稳kAB图（c）kABB’图（d）1．大挠度理论

：解为:2．小挠度理论

：§14-2两类稳定问题计算简例返回§15-2两类稳定问题计算简例结构的失稳存在两种基本形式。一般说来，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳。分支点失稳形式的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉点处出现平衡形式的二重性。极值点失稳形式的特征是虽然只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点。结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确的结论，但从实用的观点看，小挠度理论也有其优点，特别上分支点失稳问题中通常也能得出临界荷载的正确值。三.几点认识返回一个自由度体系小挠度、小位移情况下：FPl1抗转弹簧A----稳定方程（特征方程）---临界荷载§15-3,15-4有限及无限自由度体系的稳定—静力法N个自由度体系（以2个自由度体系为例）----稳定方程---临界荷载lAFPlB---失稳形式FP11.6182.3无限自由度体系FPl挠曲线近似微分方程为FRFPFR或令通解为由边界条件得稳定方程FPlFRFPFR得稳定方程经试算FPlFP1FPllFPlFPFPk具有弹性支座压杆的静力法练习:简化成具有弹簧支座的压杆FPlAyyxFRFPFR挠曲线近似微分方程为令例:试写出图示体系丧失稳定时的特征方程解：通解为边界条件稳定方程这是一个关于A、B、的齐次代数方程要寻找它们的非零解必有其系数行列式为零。稳定方程解此方程可得最小正根lEIFP若若FPllEIFP若若FPlFPlFP例:求图示刚的临界荷载.正对称失稳反对称失稳正对称失稳时1例:求图示刚的临界荷载.正对称失稳反对称失稳反对称失稳时01原结构的临界荷载为:第15章例题yθPcrBxkΔΔAEI考虑在小变形情况下，取sinθ=θ、cosθ=1，上式改写为弹簧的支反力临界荷载：

(14-24)例试求图示结构的临界荷载。pyxxpM(x)yR=0l-xpMB第15章例试求图示结构的临界荷载。l-xyxxM(x)ypppMB第15章例试求图示结构的临界荷载。yxxpM(x)yppxRc第15章例试求图示结构的稳定方程及临界荷载。yxxpM(x)yppxRc第15章4.1势能原理(2)外力势能(1)应变能弯曲应变能FP拉压应变能FPFP剪切应变能外力从变形状态退回到无位移原始状态中所作的功.y(x)q(x)(3)结构势能§15-3，15-5能量法结构势能例:求图示桁架在平衡状态下的结构势能.EA=常数.FP1llA解:杆件轴力杆件伸长量A点竖向位移外力势能应变能结构势能FP1llA杆件轴力杆件伸长量A点竖向位移外力势能应变能(4)势能驻值原理设A点发生任意竖向位移是的函数.杆件伸长量杆件轴力应变能外力势能结构势能(4)势能驻值原理设A点发生任意竖向位移是的函数.杆件伸长量杆件轴力应变能外力势能结构势能在弹性结构的一切可能位移中，真实位移使结构势能取驻值。满足结构位移边界条件的位移

对于稳定平衡状态,真实位移使结构势能取极小值.4.2能量法确定临界荷载举例例一:求图示结构的临界荷载.FPlkyFP解:应变能外力势能结构势能由势能驻值原理得临界荷载例二:求图示结构的临界荷载.解:应变能外力势能结构势能lFPlFP14.3瑞利里兹法FPlFP应变能外力势能体系势能设将无限自由度化为有限自由度.结构势能则为的多元函数,求其极值即可求出临界荷载.弯曲应变能外力势能体系势能由势能驻值条件即得令写成矩阵形式简写成稳定方程lEIFP例:求图示体系的临界荷载.解:1.设精确解:例:求图示体系的临界荷载.lEIFP解:2.设精确解:误差:+21.6%3.设杆中作用集中荷载所引起的位移作为失稳时的位移.l/2l/2FQ令误差:+1.3%作业:习题15-3,15-2,15-6,15-715-8,15-13剪力对临界力的影响EIGAlFP设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为和同时考虑弯矩和剪力对变形的影响时的挠曲微分方程的建立:二者共同影响产生的挠度为近似的曲率为弯矩引起的曲率为截面形状系数矩形截面为1.2圆形截面为1.11挠曲微分方程为EIGAlFP挠曲微分方程为对于图示两端铰支的等截面杆,有令方程的通解边界条件EIGAlFP对于图示两端铰支的等截面杆,有令方程的通解边界条件稳定方程EIGAlFP稳定方程不计剪变的欧拉临界力修正系数欧拉临界应力对于三号钢,比例极限为200MPa.若取结论:实体杆件中,剪力对临界荷载的影响很小,可略去不计.不计剪力对临界荷载的影响所得到的临界荷载是大还是小?15-8.组合压杆的稳定缀条式缀板式肢杆缀条缀板组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的小,节间数目较多时可用上节推出的实体压杆的临界荷载计算公式作近似计算.一.缀条式组合压杆z不计肢杆轴变.---水平缀条截面积.---斜杆截面积.zI的计算:I为两根肢杆的截面对z轴的惯性矩.设一根肢杆的截面积为A,对自身形心轴的惯性矩为I1z若略去横杆影响,两侧都有缀条,则上式为若写成欧拉问题基本形式若写成欧拉问题基本形式若用r

代表两肢杆截面对整个截面形心轴z的回转半径,即并且,一般为,故可取并引入长细比若采用换算长细比,则有若用r

代表两肢杆截面对整个截面形心轴z的回转半径,即并且,一般为,故可取并引入长细比若采用换算长细比,则有上式既是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式.abcd双肢缀板柱

假定:缀板与肢件刚接，组成一多层刚架；弯曲变形的反弯点位于各节间的中点；只考虑剪力作用下的弯曲变形。 取隔离体如下：l1aI1Ibaxx11l1aa1-21-21-21-2l1-2l1-2l1-aT=θ1γ1γ1△1△2abcdef分肢弯曲变形引起的