幺正变换例题

幺正变换例题在开始幺正变换前，还是先把狄拉克符号的内容扩充一下。“单位算符”用右矢的写法，态叠加原理可以写作：（波函数按某一完备基展开）|\psi\rangle=\sum_na_n|Q_n\rangle那么\langleQ_m|\psi\rangle=\sum_na_n\langleQ_m|Q_n\rangle=\sum_na_n\delta_{mn}=a_m将上式代入|\psi\rangle=\sum_n|Q_n\ranglea_n即可得到|\psi\rangle=\sum_n|Q_n\rangle\langleQ_n|\psi\rangle观察这个式子的形式，不难发现\sum_n|Q_n\rangle\langleQ_n|=1。投影算符我们来观察一下算符|Q_n\rangle\langleQ_n|的形式。当它作用于一个波函数\psi的时候，我们发现得到的是|Q_n\rangle\langleQ_n|\psi\rangle，而\langleQ_n|\psi\rangle表示一个常数，它的值是波函数\psi在|Q_n\rangle上的投影大小；因此，|Q_n\rangle\langleQ_n|\psi\rangle，或者说\langleQ_n|\psi\rangle\cdot|Q_n\rangle表示的正是波函数|\psi\rangle在|Q_n\rangle上投影的波函数。作为对比，，向量\overrightarrow{OA}=(x_a,y_a)在x轴上的投影向量为\overrightarrow{OB}=(x_a,0)，此时基底向量是一组(在2维平面内)正交归一的，即(1,0)、(0,1)。再次作为对比，以图中［1］的函数为例，灰色线条的函数可以由正弦和余弦的线性组合a_{\cos}*\cos(x)+a_{\sin}*sin(x)(这里叠加系数分别为3和4)来构成［2］，因此，将该函数投影到余弦函数就得到了3，也就是说余弦部分为3\cos(x)。而基底也是正交的，即\int_0A{2\pi}\sin(x)\cos(x)dx=0。因此我们如果把函数y=3\cos(x)+4\sin(x)按照三角函数表象展开，其展开系数就分别为3和4，它的余弦分量为3\cos(x)，而正弦分量为4\sin(x)。而投影算符的作用效果，比如正弦投影算符，正是将函数从y=3\cos(x)+4\sin(x)中提取正弦分量4\sin(x)(而不是提取投影系数4)。如果我们把“三角函数表象”下的这个函数写为向量形式|\psi\rangle=\left(\begin{array}{}3\\4\end{array}\right)，那么投影算符就等价于两个矩阵：\hatQ_{\cos}=|Q_{\cos}\rangle\langleQ_{\cos}|=\left(\begin{array}{}1&0\\0&0\end{array}\right)\hatQ_{\sin}=|Q_{\sin}\rangle\langleQ_{\sin}|=\left(\begin{array}{}0&0\\0&1\end{array}\right)从而有\hatQ_{cos}|\psi\rangle=\left(\begin{array}{}1&0\\0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{}3\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{}3\\0\end{array}\right)它表示的是3\cdot\cos(x)的分量。当然，投影算符的矩阵形式如此简单的原因，是因为在自身表象中(算符对应的矩阵是三角函数表象的表达式，而投影算符的作用又是将波函数投影到三角函数表象中的基底)，在其他表象中会有其他较为复杂的写法。思考：|Q_{\cos}\rangle对应的向量应该如何写？它的形式和表象有何种关系？幺正矩阵和幺正变换幺正矩阵是一个(带有一定性质的)矩阵，而幺正变换是指幺正矩阵本身对应的变换。这部分内容本应该在《线性代数》中的相似变换附近的章节提及到，但据我所知其实很多本科院校都没有学。(不会就我们没学吧，不会吧不会吧不会吧)前面我们学了厄密算符和厄米矩阵满足AA\dagger=A那么幺正矩阵满足的就是AA'daggerA=AAA\dagger=l,注意区分二者的区别。下面来看例子。考虑两套基矢|\psi_A\rangle和|\phi_B\rangle，它们都是正交归一的；将前者的基矢按后者的表象展开：|\psi_A\rangle=\left(\sum_a|\phi_a\rangle\langle\phi_a|\right)|\psi_A\rangle=\sum_a|\phi_a\rangle\langle\phi_a|\psi_A\rangle=\sum_a|\phi_a\rangleS_{aA}其中S_{aA}=\langle\phi_A|\psi_a\rangle可看做\psi_A表象下\phi_B的叠加系数矩阵。上式左边和右边又可以写作：\left(\begin{array}{}\psi_1\\\psi_2\\...\\\psi_A\\...\end{array}\right)=\left(\begin{array}{}S_{11}&S_{21}&...&S_{A1}&...\\S_{12}&S_{22}&...&S_{A2}&...\\...&...&...&...&...\\S_{1a}&S_{2a}&...&S_{Aa}&...\\...&...&...&...&...\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{}\phi_1\\\phi_2\\...\\\phi_a\\...\end{array}\right)同理，我们反过来展开\langle\psi_B|可以计算得出：\langle\psi_BI=\sum_bS_{BbF\dagger\langle\phi_bl其中注意\langlep|q\rangle=\space(\space\langleqlp\rangle\space)A\dagger，从上式可以得至H：\begin{array}{}\delta_{AB}&=\langle\psi_B|\psi_A\rangle\\&=\sum_b\sum_aS_{Bb}A\dagger\langle\phi_b|\phi_a\rangleS_{aA}\\&=\sum_{a,b}S_{Bb}A\daggerS_{aA}\delta_{ab}\\&=\sum_aS_{Ba}idaggerS_{aA}\\&=(SidaggerS)_{BA}\end{array}因此矩阵SidaggerS的第B列第A行的元素等于\delta_{AB}，所以这个矩阵就是一个单位矩阵。换而言之，SA\daggerS=1,同理可证明SSA\dagger=1o所以，把一个表象下的基矢变换到另一个表象下的基矢是一个幺正变换。我们从上面还可以推导得出：SA\dagger=SA{-1}，即幺正变换和逆变换所对应的矩阵是互为厄米共轭的，幺正矩阵的性质和厄米矩阵的性质不一样的地方。(厄米矩阵是和它自己本身互为厄米共轭)、如何求幺正矩阵？如果我们知道变换前和变换后的两组基矢，那么很容易可以得到：S_{kb}=\langle\psi_k|\phi_b\rangle如果是知道(某一组基底波函数l\phi_l\rangle,l\phi_2\rangle,...中的每一个，都按照另一组基底l\psi_l\rangle,l\psi_2\rangle,...进行展开的)系数，我们可以按照如下规律收集这些系数即可组成该幺正矩阵：|\phi_b\rangle=\sum_kS_{kb}|\psi_k\rangle=S_{lb}|\psi_l\rangle+S_{2b}|\psi_2\rangle+..那么S=\left（\begin{array}{}S