结构动力计算

第10章结构的动力计算

§10-2单自由度体系的自由振动§10-3单自由度体系的强迫振动§10-4阻尼对振动的影响§10-5多自由度体系的自由振动§10-6多自由度体系的强迫振动§10-7小结

§10-1动力计算的特点和动力自由度学习内容

结构动力计算概念，动力计算自由度，建立体系的运动方程；单自由度体系的自由振动（频率、周期和振幅的计算）；单自由度体系在简谐荷载作用下的的强迫振动（动内力、动位移计算）；阻尼对振动的影响；有限自由度体系的自由振动（频率、振型及振型正交性）；有限自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动（动内力、动位移计算）；频率、振型的近似计算方法。人类为了生产、生活的需要，需要采用天然或人工材料建造各种各样的建筑物和构筑物（结构）。这些建筑物在使用过程中要受到各种外界作用（荷载）。在这些作用下，结构会产生内力、变形等（反应）。为了节省造价、保证安全、提高寿命并有效地实现使用功能，需要控制结构的反应，这就需要研究结构、作用、反应的关系。结构动力学是研究结构、动荷载、结构反应三者关系的学科。都江堰震害图片（“都江之春”框架结构住宅楼）：

砼柱破坏，梁端无明显破坏工业厂房交叉斜撑，保全了排架柱。一、结构动力计算的特点1.结构动力学的主要特征考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。

达朗伯原理动静法2.结构动力计算的原理和方法§10.1动力计算的特点和动力自由度

静力荷载是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。

动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。1、数学处理复杂。2、动力问题必须建立与时间有关的一系列解答，静力问题具有单一解。3、结构动力响应还与结构的刚度分布、质量分布、能量耗散等有关。动力计算与静力计算的区别：动荷载确定不确定风荷载地震荷载其他无法确定变化规律的荷载周期非周期简谐荷载非简谐荷载冲击荷载突加荷载其他确定规律的动荷载结构振动分析随机振动分析二、动荷载及其分类偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ惯性力:P=mθ2e,其竖向分量和水平分量均为简谐荷载.θtP(t)tPt简谐荷载（harmonicload）一般周期荷载(periodicload)1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。3）随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）

P(t)t随机荷载(randomload)PttrP突加荷载(Suddenlyappliedconstantload)P(t)ttrP爆炸荷载三、结构动力学的任务(1)提供任意给定结构在任意动荷载作用下进行响应分析的方法；(2)确定结构固有动力特性及结构固有动力特性、动荷载和结构响应三者间的相互关系，即结构在动荷载作用下的响应规律；(3)为结构动力可靠性设计和健康诊断提供依据。四、动力计算的内容

动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素：(1）确定动力荷载；(2）确定结构的动力特性；计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。本课程的内容—基于杆系结构的动力学基础研究的问题自由振动强迫振动计算内容确定结构的动力特征计算结构的动力反应与其它课程之间的关系结构动力学以结构力学和数学为基础。结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。五、动力计算中体系的自由度确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的个数称为体系的振动自由度。1）集中质量法(methodoflumpedmess)mm>>m梁m+αm梁II2Im+αm柱厂房排架水平振动时的计算简图单自由度体系(singledegree-of-freedomsystem)三个自由度体系水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块θ(t)v(t)u(t)三个自由度三个自由度2）广义坐标法(generalizedcoordinate)3)有限元法（finiteelement）l

（2）与几何组成分析中的自由度不同。

M=mlml有关自由度的几点说明：

（1）基本未知量数目与自由度数目是一致的。

（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布的质量集中为几个质点研究（“广义位移法”、“有限单元法”）。

（4）并非一个质量集中点一个自由度（5）结构的自由度与是否超静定无关。（6）可用加链杆的方法确定自由度。

（6）可用加链杆的方法确定自由度。2个自由度1个自由度2个自由度EIEIEIEIEI质点体系自由度的几种情况自由度为1a梁式杆（不计轴变）EIEIy1y1y2自由度为2EI=∞y1自由度为1y1y2自由度为2自由度与质体的数目无关b弹簧支撑自由度为2y1y2EIEI弹簧和桁架杆不影响体系的自由度自由度为2EIEIc考虑轴变的桁架杆EIEIEAy1y21)平面上的一个质点W=22)W=2弹性支座不减少动力自由度3)计轴变时W=2不计轴变时W=1为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。4)W=15)W=2自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。6)W=27)W=1W=18)平面上的一个刚体W=39)弹性地面上的平面刚体W=310)W=211)12)W=13§10.2单自由度体系的自由振动

自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。静平衡位置m获得初位移ym获得初速度1振动方程的建立刚度法

体系在惯性力作用下处于动态平衡。柔度法

质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。2振动方程的解振动微分方程改写为初始条件通解动位移为由y0引起的由v0引起的总位移将动位移表达式改写成单项式——初始相位角

——振幅（amplitudeofvibration）3结构的自振周期和圆频率※※

（naturalperiodandnaturalcircularfrequency）周期频率圆频率完成一次振动需要的时间单位时间内完成振动的次数2π个单位时间内完成振动的次数ya计算公式的几种形式自振周期的特性（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关。（2）自振周期与质量的平方根成正比；自振周期与刚度的平方根成反比。（3）两个外形相似的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致,是结构动力特性的重要数量标志。4、简谐自由振动的特性动位移加速度时，其幅值分别为：惯性力例1

求图示简支梁的自振周期和圆频率解对于竖向振动，柔度系数为例2

求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期解（1）水平振动当杆顶作用水平力W时，杆顶的水平位移为（2）竖向振动当杆顶作用竖向力W时，杆顶的竖向位移为例3、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δP=13l/165l/32P=1l/2据此可得：ω1׃ω2׃ω3=1׃1.512

׃

211l/32l/3ml/2lm1例例1θ例4、求图示结构的自振圆频率。解法1：求

kθ=1/hMBA=kh=MBCklhmI→∞EIBAC1h解法2：求

δ例5、求图示结构的自振频率。lEImk1k11k11k解：求

k例6.求图示体系的自振频率和自振周期。

解：柔度系数自振频率

自振周期例7．图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计,求其自振频率。

解：自振频率

求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。EIEIEI1=∞mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3例单自由度结构体系运动方程的一般形式：

mk水平运动模型mk竖向运动模型mkm§10-3单自由度体系的强迫振动（不计阻尼）强迫振动——结构在动力荷载作用下的振动，也叫受迫振动。一.强迫振动的运动微分方程运动方程或式中结构的自振频率式（10－11)为单自由度体系强迫振动的运动方程。单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示:y(t)mP(t)P(t)mymkyP(t)..kmEIlP(t)P

——荷载幅值——荷载频率运动方程二、简谐荷载作用下的受迫振动1.运动方程的建立及求解荷载幅值作为静荷载所引起的最大静位移运动方程的解为：按荷载频率振动按自振频率振动二阶线性非齐次常微分方程通解：mEIlP(t)P

——荷载幅值——荷载频率运动方程先求方程特解：

代入方程,可得二、简谐荷载作用下的受迫振动1.运动方程的建立及求解齐次解：通解为：荷载幅值作为静荷载所引起的最大静位移积分常数由初始条件确定，设在t=0时的初位移和初速度均为零，则得运动方程的解为：（10－12）式（10-12）中第一项为动荷载引起的振动;第二项为初始条件引起的自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为过渡阶段。后来只按荷载频率进行的振动阶段为振动的平稳阶段，称为纯受迫振动或稳态振动。按荷载频率振动按自振频率振动2.稳态振动分析稳态振动阶段运动方程的解：最大动位移：动力系数：(magnificationfactor)当动荷载与惯性力共线时,还有（1）动位移的讨论当时，即动位移与干扰力指向一致；当时，即动位移与干扰力指向相反。1）干扰力产生的动力作用不明显，因此可当作静荷载处理。当时，为增函数。极限情况，即或，则。意味着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。

2）共振为避开共振，可改变干扰力频率或改变结构的自振频率,使或。随θ/ω的增大而增大。非齐次特解代入方程，得故分母为零失效令非齐次特解补充：共振时动力位移会突然增大吗?非齐次通解零初始条件★共振时，位移是随时间逐渐增大。时间越短，位移越小；对于转速高的机器，在启动或停车的过程中，应迅速通过共振区。★利用共振振幅突出大的特点，不断改变机器的转速，可以测定自振频率。故★三者同时达到最大值。★为负数时，位移和惯性力与动荷载方向相反。★惯性力与位移总是同向。动荷载、动位移、惯性力三者的关系体系处于静止状态3）为减函数通过改变频比可增加或减小振幅。若要使振幅降低,应采取何种措施?应使频率比减小，增加结构的自振频率，增大刚度，减小质量；（刚性方案）（2）降低振幅的措施－频率比应使频率比增大，减小结构的自振频率，减小刚度，增大质量。（柔性方案）

3.动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算计算步骤：（1）计算动力系数；（2）计算动荷载幅值作为静荷载作用时引起的位移和内力；（3）将位移和内力分别乘以动力系数得动位移幅值和动内力幅值。例.求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移。解：Ql/2l/2重力引起的弯矩重力引起的位移l/4最大动位移最大动弯矩跨中最大弯矩跨中最大位移例有一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m.解：1）求自振频率和荷载频率

2）求动力系数β175.6MPaI22b3570cm4357039.739.71.3552.3/57.4=0.91325149.2例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsinθt2m解：1)求ω2)求β3)求ydmaxMdmax在挑梁上有一电动机，扰力的幅值为P=4.9kg，转数为n=1200转/分，质量为m=123kg。梁截面转动惯量为I=78cm4，弹性模量为E=2.1×106kg/cm2，长为l=1m。试求梁端最大动位移和动弯矩图。1m解（1）自振圆频率（2）频率比（3）静位移和动力系数（4）梁端最大动位移（5）固定端最大动弯矩★动内力是动荷载和惯性力共同作用下产生的.惯性力幅值动荷载幅值静弯矩图动弯矩幅值图最大位移和最大内力的计算振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和；振幅为动位移的幅值（最大动位移）；最大内力为最大动内力与静内力之和。最大动位移和最大动内力要考虑动力系数的影响；动位移和动内力有正负号的变化，在与静位移和内力叠加时应予以注意。

ty钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线

振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。10-4阻尼(damping)对振动的影响自由振动衰减与构件固有频率的关系忽略阻尼影响时所得结果能不能反映实际结构的振动规律。大体上忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。考虑阻尼的振动模型ykykmP(t)P(t)y动平衡方程：1、有阻尼的自由振动(阻尼比dampingratio）)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety设解为：特征方程为：(characteristicequation)1)ξ<1（低阻尼）情况.........cae-ξωttyty低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线①阻尼对自振频率的影响.②阻尼对振幅的影响.振幅ae-ξωt随时间衰减。ae-ξωttyty低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线①阻尼对自振频率的影响.当ξ<0.2,则0.96<ωr/ω<1在工程结构问题中0.01<ξ<0.1可近似取.②阻尼对振幅的影响.振幅ae-ξωt随时间衰减.相邻两个振幅的比振幅按等比级数递减.称为振幅的对数递减率.(logarithmicdecrement)

设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:经过一个周期后,相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:2)ξ=1（临界阻尼）情况)1(2-±-=xxwl=-wltyy0θ0这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。工程中常用此方法测定阻尼确定体系阻尼比的一种方法体系的阻尼比可以通过测试体系运动的衰减规律得到：阻尼体系动力反应：体系从任一时刻经几个周期后的振幅比为：取对数后：（3-21）阻尼比：体系阻尼的测试：2）计算阻尼比：1）实测体系经过个周期后的位移幅值比：3）计算阻尼系数：钢筋混凝土和砌体结构：x=0.02~0.05;钢结构：x=0.002~0.02;拱坝：x=0.03~0.05;重力坝：x=0.05~0.1;土坝、堆石坝：x=0.1~0.2常用结构的阻尼比临界阻尼常数cr是ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）(criticaldampingcoefficient)阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。3)ξ>1强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。1=cr2、有阻尼的强迫振动（简谐荷载P(t)=Fsinθt）+{Asinθt+Bcosθt}齐次解加特解得到通解：自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变.结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。y=Asinθt+Bcosθt=yPsin(θt－α)振幅:yp...（2）简谐荷载P(t)=Fsinθt设特解为：y=Asinθt+Bcosθt代入（17-34）得：+{Asinθt+Bcosθt}齐次解加特解得到通解：自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变.结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。y=Asinθt+Bcosθt=yPsin(θt－α)振幅:yp，最大静力位移yst=F/k=F/mω2...β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0几点讨论：①随ξ增大β曲线渐趋平缓，特别是在θ/ω=1附近β的峰值下降的最为显著。②当θ接近ω时，β增加的很快，ξ对β的数值影响也很大。

xb21=共振时③βmax并不发生在共振θ/ω=1时，而发生在，

β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0几点讨论：①随ξ增大β曲线渐趋平缓，特别是在θ/ω=1附近β的峰值下降的最为显著。②当θ接近ω时，β增加的

xb21=共振时很快，ξ对β的数值影响也很大。在0.75<θ/ω<1.25(共振区)内，阻尼大大地减小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时的动力反应,阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对β的影响较小，可按无阻尼计算。③βmax并不发生在共振θ/ω=1时，而发生在，④由y=yPsin(θt－α)可见，只要有阻尼位移总滞后荷载

P=Fsinθt一个相位角α，但因ξ很小，可近似地认为：当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主要由

S平衡，(即P与S反向)，S与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载处理。当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，S、R相对说来较小，动荷主要由FI平衡，FI与y同向，y与P反向；位移y、弹性力S，惯性力FI，阻尼力R分别为：...tqsinx21mFw2tFqsin-=kmwx22-=tymPqwqxsin2)-=tymFPI90）qqsin(2-=tkySPq),90sin(--=o当θ=ω时,α→90°由此可见：共振时（θ=ω），S与FI刚好互相平衡，βyst有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现位移为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力来平衡动荷载，才出现位移为无限大的现象。k=mω2=mθ2...tycycRPqq90cos(--=-=o.=－P(t)⑤强迫振动时的能量转换振动荷载Fsinθt在振动一个周期所输入的能量.在时间段dt内在一个周期内.在时间段dt内在一个周期内.粘滞阻尼力－cy

在振动一个周期所消耗的能量....当体系有阻尼时,振动过程中总有能量的损耗,为使振动不衰减,就必须经常补充以能量.当稳态振动时,UR=UP⑥弹性动内力幅值的计算一般方法:由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。惯性力与位移同时达到幅值。荷载与位移无阻尼时同时达到幅值。有阻尼时位移总滞后荷载一个相位角α。比例算法:无阻尼单自由度体系且荷载作用在振动质点上(动荷载与惯性力共线)时，产生振幅yd的外力P为:这意味着，在位移达到幅值时，可用βF代替惯性力和荷载的共同作用（有无阻尼均如此）。βF产生的动内力和动位移是F产生的静内力和静位移β倍。注意：位移达幅值时，速度为零，故阻尼力为零，计算时不必考虑阻尼力。EI=∞m例题：图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m9.8kN，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。解：==wxk2=wxmc2=wwxm22例题图示刚架，柱的抗弯刚度EI=4.5×106N·m2，不计质量；横梁为刚性，质量m=5000kg。为测得该结构的阻尼系数，先用千斤顶使横梁产生25mm的侧移，然后突然放开，使刚架产生自由振动。经过5个周期后，测得横梁侧移的幅值为7.12mm，试计算结构的等效粘滞阻尼系数。解：钢筋混凝土和砌体结构，钢结构。各种坝体的。例题试求例题中图示刚架的自振频率，并与有阻尼自振频率比较。解：工程中取是有足够精度的。例题解在横梁处加F=98kN的水平力，横梁发生侧移y0=0.5cm。突然释放。测得周期Tr=1.5s，一个周期后，横梁的侧移为y1=0.4cm。试求：质体的质量、对数衰减率、阻尼比。例题解已知:机器的转速为n=800转/分,扰力幅值F=3T,地基刚度k=134000T/m,机器和基础的重量为Q=156T,阻尼比为0.2.试求：质体的振幅。例图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数为cz=0.6N/cm3=0.6×103kN/m3，基础底面积A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时(1)自振频率；(2)机器运转产生P0sinθt，P0=20kN，转速为400r/min。求振幅及地基最大压力。(3)如考虑阻尼，阻尼比ξ=0.15，求振幅及地基最大压力。WP0sinθt解:(1)让振动质量产生向下单位位移需施加的力为：

k=czA=0.6×103×20

=12×103kN/m解:(2)求荷载频率求动力系数竖向振动振幅地基最大压力解(3)：求动力系数竖向振动振幅地基最大压力例题：单层建筑结构计算简图做振动试验。在横梁处加一水平力FP=98kN，门架发生侧向位移A0=0.5厘米，然后突然释放，结构开始自由振动。测得周期Td=0.5秒，5周后测得振幅A5=0.164厘米。求阻尼系数c,并确定几周后振幅小于0.05厘米。

FP(1)由于阻尼对周期影响很小，所以

(2)设经过na周，振幅将降到0.05厘米以下，由

例.对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm，振动一周T=1.4s后，回摆1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。k2k2W=mg解：由(2)自振频率(3)阻尼特性假设(1)大梁的重量,(4)6周后的振幅刚性横梁处加一水平力P=9.8kN，测得侧移y0=0.5cm，然后突然卸载使结构物发生水平自由振动。此时测得周期T=1.5sec及一个周期后刚架的侧移为y1=0.4cm，试求刚架振动时参与振动的质量m、阻尼比和阻尼系数c。例1Pym解：Pym工程中的结构有些可简化为单自由度体系分析单层工业厂房水塔有些不能作为单自由度体系分析，需简化为多自由度体系进行分析多层房屋、高层建筑不等高厂房排架和块式基础§10-5多自由度体系的自由振动

按建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各有其适用范围。多自由度体系自由振动的问题，主要是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。1、刚度法：（建立力的平衡方程）两个自由度的体系y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2质点动平衡方程:即:设:............结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型.y1(t)y2(t)r2r1乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点需施加的力(称为刚度系数).振型计算公式频率计算公式频率方程....振型方程与ω2相应的第二振型：因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求与ω1相应的第一振型：

ω2的两个根均为实根；矩阵[k]为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主子式全部大于零。故矩阵[k]为正定矩阵。k11k22-k12k21>0ω2的两个根均为正根；与ω2相应的第二振型：求与ω1相应的第一振型：多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。几点注意：①ρ1ρ2必具有相反的符号。②多自由度体系自振频率的个数=其自由度数，自振频率由特征方程求出。③每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。④自振频率和主振型是体系本身的固有特性。一般解：

在这种特定的初始条件下出现的振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。<0>0例m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2k21k111解：求刚度系数：k11=k1+k2,k21=－k2,k22k121k22=k2,k12=－k21)当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w()()kmkmk02222=---ww

代入频率方程：+1)当m1=m2=m,k11=2k，k12=－ｋmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w求振型：12k12111mkw--2111YY=ω1→第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型12k12211mkw--2212YY=ω2→第二主振型：Y22=－0.618Y12=1第二主振型

2)当m1=nm2,k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=－k2求频率：求振型：如n=90时当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。（鞭梢效应）第一振型：第二振型：特征方程：+++例试求图示体系的频率和振型1k21k116i/l6i/l12i/l12i/l6i/l6i/l1k22k126i/l6i/l3i/l3i/lEI1=∞m1EI1=∞m2ii2i2ill解(1)求刚度系数(2)求频率解得将ω=ω1代入振型方程,得第一振型将ω=ω2代入振型方程,得第二振型(3)求振型3.36513.36510.19810.1981例求图所示两层刚架的自振频率和振型。已知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽略不计，横梁的质量m1=m2=5000kg，每层的高度5m。解：两个自由度体系，设m1的位移为y1，m2的位移为y21.28091第二主振型10.7808第一主振型2、柔度法y1(t)y2(t)建立振动微分方程：（建立位移协调方程）

m1、m2的位移y1(t)、

y2(t)应等于体系在当时惯性力作用下所产生的静力位移。................柔度法建立的振动微分方程δ11δ21P1=1δ12δ22P2=1频率方程振型方程：其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全为零。求得频率：频率方程和自振频率：设各质点按相同频率和初相角作简谐振动Y1，Y2是质点位移幅值........振动微分方程体系频率的数目总等于其自由度数目主振型(normalmodeshape)频率方程振型方程：其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全为零。不能有振型方程求出Y1，Y2的解，只能求出它们的比值。第一主振型

第二主振型

频率的数目总等于其自由度数目主振型是体系由此主振型惯性力幅值所引起的静力位移。Y11Y21Y12Y22例求简支梁的自振频率和主振型。l/3l/3l/3解：1）求柔度系数P=1P=1求得频率：求得主振型：mm例求简支梁的自振频率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解：如果结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是对称就是反对称。故可取半边结构计算：1对称情况：l/91反对称情况：例求图a所示体系的自振频率及主振型。梁EI=常数。解：将原结构化成正对称和反对称半结构分别计算（图b、c）。，

当ω=ω1时，振型为正对称，则当ω=ω2时，振型为反对称，则

例：求图示体系对称振动情况下的频率。mmmEIEIEI3m3m3m3mm/2m1210.5110.8750.2511332111Yij为正时表示质量mi的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。0.5a例试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）计算频率1a1（2）振型10.277第一振型13.61第二振型例

试求结构的自振频率和振型.1l/41l/2图图m1=mm2=2ml/2l/2l/2EI=常数解(1)求柔度系数(2)求频率(3)求振型第一振型第二振型10.30511.639例求图示体系的频率、振型解:令例求图示体系的频率、振型解:令例求图示体系的频率、振型解:令y1yiynri动平衡方程：riy1yiynri应满足刚度方程kij是结构的刚度系数，使点j产生单位位移（其它点位移为零）时在点i所需施加的力。....多自由度体系......或：设解为：{y}={Y}sin(ωt+α)得振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝得频率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝0可求出ｎ个频率与ωｉ相应的主振型向量由([K]－ω2ｉ

[M]){Y（ｉ）}=｛0｝不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。............例：质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。求自振频率k11=4k/3解：1）求刚度系数：m2mmkk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5

刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]：11展开得：2η3－42η2＋225η－225＝0解得：η1=1.293，η2=6.680，η3=13.0272）求频率：代入频率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝03）求主振型：振型方程：（[K]－ω2[M]）{Y}＝0的后两式：（令Y3i=1）（a）10.5690.16311.2270.92413.3422.76

Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：由刚度法振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝前乘[K]－1=[δ]后得：([I]－ω2[δ]

[M]){Y}=｛0｝令λ=1/ω2([δ]

[M]－λ[I]){Y}=｛0｝得频率方程：┃[δ]

[M]－λ[I]┃=0其展开式:是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求出频率ωi将λi代入([δ]

[M]－λi[I]){Y(i)}=｛0｝可求出n个主振型.可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。例：质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。δ=1/kδ11=δ解：1）求柔度系数：m2mmk

柔度矩阵[δ]和质量矩阵[M]：P=1δ21δ31P=1δ32=4δδ22=4δP=1δ13=δδ23=4δδ33=9δδ12=δ展开得:解之:ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151三个频率为：3）求主振型：（令Y3i=1）将λ1代入振型方程：（[δ][M]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：

2）求频率：解得：同理可得第二、第三振型例试求结构的自振频率和振型.EI=常数mml/4l/4l/4l/4m13l/161l/4图图13l/16图解(1)求柔度系数(2)求频率(3)求振型令每个振型的第一个元素为1，得11.4141第三振型(正对称)第二振型(反对称)11第一振型(正对称)11.4141几点说明：1)按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，且与位移比值相同。2)发生按振型的自由振动是有条件的.4)N自由度体系有N个频率和N个振型频率方程解频率方程得,从小到大排列依次称作第一频率,第二频率...第一频率称作基本频率,其它为高阶频率.将频率代入振型方程得N个振型N个振型是线性无关的.3)振型与频率是体系本身固有的属性,与外界因素无关.多自由度体系自由振动的计算步骤：建立体系自身的质量矩阵M：

根据频率方程计算结构的各阶自振频率i

计算体系自身的刚度矩阵K或柔度矩阵δ

：

计算结构的主振型向量Yi1、柔度法（忽略阻尼）

tPqsintPqsiny1y2....P（2）动位移的解答及讨论§10-7两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动（1）建立振动微分方程各简谐荷载频率相同,相位相同，否则用其他方法设纯强迫振动解答为：n各自由度体系，存在n个可能的共振点设纯强迫振动解答为：代入：（3）动内力幅值的计算....荷载、位移、惯性力同频、同相、同时达到最大。位移达到最大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构，用静力法求出内力，即为动内力幅值。或用叠加公式求：由Y1，Y2值可求得位移和惯性力。惯性力的幅值为：代入位移幅值方程可得求惯性力幅值的方程（直接求惯性力幅值）tPqsinl/4l/4l/2mmP1=1P2=1例：图示简支梁EI=常数,θ=0.75ω1求动位移幅值和动弯矩幅值。解：1)求柔度系数P2)作MP图，求Δ1PΔ2PP1=1P2=1P5)计算动内力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd图1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd图6)比较动力系数因此，多自由度体系没有统一的动力系数。例已知图a刚架受简谐荷载作用，θ=0.6ω,绘出动力弯矩图Md，并求柱顶最大位移

ymax。解：利用对称性取半边结构如图所示。柱顶位移

，代入方程，得惯性力：

（注意：质量应减半）由于

，代入上式，则方程变为

只考虑稳态振动，设方程的特解

代入方程解得，

所以M图如图所示。2、刚度法y1(t)y2(t)在平稳阶段,各质点也作简谐振动:Y1=D1/D0Y2=D2/D0求得位移幅值Y1、Y2,计算惯性力幅值I1=m1θ2Y1I2=m2θ2Y2。将惯性力幅值连同荷载幅值加在体系上，按静力计算方法求得动内力幅值。

....P1(t)P2(t)若则★n个自由度体系有n个共振区频率方程（1）共振问题在两个自由度的振动中，当外界干扰力的频率等于体系的任意一阶自振频率时，都会出现共振，即体系存在两个共振点。求图示刚架楼面处的侧移幅值，惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值。hPsinθtmEI=∞mEI=∞EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求刚度系数2)求位移幅值3)求惯性力幅值0.10.075位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA例：m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数：k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0两个质点的位移动力系数不同。当趋于无穷大。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。也有例外情况。kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力yst1=yst2=P/k层间剪力:Qst1=P动荷载产生的位移幅值和内力幅值θ2mY2θ2mY1由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。层间动剪力:例：m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2m1k1m2k2这说明在图a结构上，适当加以m2、k2系统可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。吸振原理表明：

为减少单自由度主体结构的振动，可适当地附加质量－弹簧子系统，只要合理设计就可以消除主体结构的振动。该原理已被应用于工程的调频质量阻尼系统和调频液体阻尼系统等结构控制技术中。第七节多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动吸振器设计步骤（1）根据m2的许可振幅，选定k2。（2）根据m2=k2/2,确定m2的值。★在结构上附加子系统，可以消除主结构的振动例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm)Psinθt解：1）频率比在共振区之内应设置吸振器。2）k2m2l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如图示对称结构在对称荷载作用下。与ω2相应的振型是12k2211mkw--2212YY==－1当θ=ω2，D0=0，也有：不会趋于无穷大，不发生共振，共振区只有一个。

对称体系在对称荷载作用下时，只有当荷载频率与对称主振型的自振频率相等时才发生共振；当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时不会发生共振。同理可知：对称体系在反对称荷载作用下时，只有当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时才发生共振。

对于n个自由度体系强迫振动方程Pn(t)Pi(t)P1(t)y1yiyn如果荷载时简谐荷载则在平稳阶段,各质点作简谐振动.振幅方程:如系数矩阵的行列式可解得振幅{Y}如系数矩阵的行列式D0=0(θ=ωi)解得振幅{Y}=无穷大对于具有n个自由度的体系,在n种情况下都可能出现共振.........例:质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。F(t)=100sin20.96t解：1、求刚度系数：

刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]：m2=270tm1=315tm3=180tk1=245MN/mk2=196MN/mk2=98MN/mF(t)负号表示干扰力向右达到幅值时，位移向左达到幅值.2、各层柱的剪力幅值1003、各层柱的剪力幅值各楼层的惯性力幅值：负号表示干扰力向右达到幅值时，位移向左达到幅值.89.18726.04519.751Q3=－89.187kNQ2=－89.187－26.045+100=－15.232kNQ1=－89.187－26.045－19.751+100=－34.983kN另外,剪力也可又侧移刚度来求:kN/mm惯性力与位移同时达到幅值。荷载与位移无阻尼时同时达到幅值。由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。

静力荷载是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。

动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。若荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚微——按静荷载考虑；若荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚大——按动荷载考虑.小结动荷载确定不确定风荷载地震荷载其他无法确定变化规律的荷载周期非周期简谐荷载非简谐荷载冲击荷载突加荷载其他确定规律的动荷载结构振动分析随机振动分析(1)动力自由度数是确定质量空间位置的独立坐标（参数）个数，它和结构超静定次数或独立位移个数没有关系。列运动方程时的刚度系数和柔度系数和解超静定问题时的对应系数之间也没有关系。(2)直接平衡法有两种建立方程的方法：刚度法和柔度法。但都是根据达朗伯尔原理和所采用的阻尼假设在体系上加惯性力和阻尼力。刚度法是考虑质量各自由度方向的平衡；柔度法是建立各自由度方向位移的协调条件。(3)集中质量多自由度体系的质量矩阵是对角矩阵，其元素为各自由度方向的总质量。刚度矩阵元素为“仅j自由度发生单位位移时，i自由度方向所需施加的（附加）约束反力”，根据反力互等定理刚度矩阵是对称的。动力计算中体系的自由度确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的个数称为体系的振动自由度。（1）基本未知量数目与自由度数目是一致的。前者强调独立位移数目，后者强调独立坐标数目。（2）自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。（3）结构的自由度与是否超静定无关。（4）可用加链杆的方法确定自由度。（5）弹簧和桁架杆不影响体系的自由度。(4)单自由度体系的频率、周期的计算公式；振幅、相位的算式和各种力的平衡关系；简谐荷载下纯受迫振动的动力放大系数与频率比、阻尼比间的关系等等。这些基本概念必须深刻理解、熟练掌握。(5)由于阻尼比一般很小，它对频率、周期的影响一般可忽略。(6)在共振区，阻尼的作用是不可忽略的。从能量角度看，阻尼使能量耗散，当不希望有能量耗散时应减少阻尼，而当希望尽可能使输入结构的能量减少时，应增大阻尼。单自由度体系的自由振动

自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。刚度法

体系在惯性力作用下处于动态平衡。振动方程柔度法

质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。结构的自振周期和圆频率※※

（naturalperiodandnaturalcircularfrequency）周期频率圆频率完成一次振动需要的时间单位时间内完成振动的次数2π个单位时间内完成振动的次数几个定义ya计算公式的几种形式单自由度体系的强迫振动（不计阻尼）强迫振动——结构在动力荷载作用下的振动，也叫受迫振动。运动方程或荷载幅值作为静荷载所引起的最大静位移最大动位移：动力系数：1）干扰力产生的动力作用不明显，因此可当作静荷载处理。当时，为增函数。2）共振为避开共振，可改变干扰力频率或改变结构的自振频率,使或。随θ/ω的增大而增大。体系处于静止状态3）为减函数应使频率比减小，增加结构的自振频率，增大刚度，减小质量；（刚性方案）（2）降低振幅的措施－频率比应使频率比增大，减小结构的自振频率，减小刚度，增大质量。（柔性方案）

有阻尼的自由振动(阻尼比dampingratio）)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety设解为：特征方程为：(characteristicequation)1)ξ<1（低阻尼）情况...2)ξ=1（临界阻尼）情况)1(2-±-=xxwl=-wl3)ξ>1强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。有阻尼的强迫振动（间谐荷载）（低阻尼体系，ξ<1）振幅:yp，最大静力位移yst=F/k=F/mω2...β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0几点讨论：①随ξ增大β曲线渐趋平缓，特别是在θ/ω=1附近β的峰值下降的最为显著。②当θ接近ω时，β增加的

xb21=共振时很快，ξ对β的数值影响也很大。在0.75<θ/ω<1.25(共振区)内，阻尼大大地减小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时的动力反映,阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对β的影响较小，可按无阻尼计算。③βmax并不发生在共振θ/ω=1时，而发生在，④由y=yPsin(θt－α)可见，只要有阻尼位移总滞后荷载

P=Fsinθt一个相位角α，但因ξ很小，可近似地认为：当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主要由

S平衡，(即P与S反向)，S与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载处理。当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，S、R相对说来较小，动荷主要由FI平衡，FI与y同向，y与P反向；位移y、弹性力S，惯性力FI，阻尼力R分别为：...（3-21）阻尼比：体系阻尼的测试：2）计算阻尼比：1）实测体系经过个周期后的位移幅值比：3）计算阻尼系数：（7）两个自由度体系自由振动主要问题是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。（8）两个(多个)自由度体系自振频率个数与自由度的个数相等。自振频率可由特征方程求出。（9）每个自振频率有自己相应的主振型.主振型就是两个自由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式。（10）两个自由度体系的自振频率和主振型是体系本身的固有性质。自振频率只与体系本身的刚度系数及其质量的分布情形有关，而与外部荷载无关。振型计算公式频率计算公式频率方程....振型方程与ω2相应的第二振型：因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求与ω1相应的第一振型：

频率方程振型方程求得频率：体系频率的数目总等于其自由度数目第一主振型

第二主振型

n各自由度体系，存在n个可能的共振点两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动Y1=D1/D0Y2=D2/D0....求得位移幅值Y1、Y2,计算惯性力幅值I1=m1θ2Y1I2=m2θ2Y2。将惯性力幅值连同荷载幅值加在体系上，按静力计算方法求得动内力幅值。

(11)不管运动方程用那种方法建立，多自由度体系自由振动最终归结为求解频率和振型方程，从数学上说属矩阵特征值问题。(12)多自由度体系的自振频率取决于结构的刚度矩阵（或柔度矩阵）和质量矩阵，频率方程为：

......或：设解为：{y}={Y}sin(ωt+α)得振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝得频率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝0可求出ｎ个频率与ωｉ相应的主振型向量由([K]－ω2ｉ

[M]){Y（ｉ）}=｛0｝不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。............利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：由刚度法振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝前乘[K]－1=[δ]后得：([I]－ω2[δ]

[M]){Y}=｛0｝令λ=1/ω2([δ]

[M]－λ[I]){Y}=｛0｝得频率方程：┃[δ]

[M]－λ[I]┃=0其展开式:是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求出频率ωi将λi代入([δ]

[M]－λi[I]){Y(i)}=｛0｝可求出n个主振型.可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。一般地同理★振型