大学物理：第 22 章 量子力学基础

第22章量子力学基础22.1实物粒子的波动性22.2波函数及统计解释22.3不确定性关系第22章量子力学基础22.4薛定谔方程22.6薛定谔方程的应用22.5力学量算符的本征值问题22.7氢原子量子理论§22.8电子的自旋泡利不相容原理光具有波粒二象性，那么实物粒子是否也应具有波粒二象性？或实物粒子具有波动性吗？一、德布罗意物质波假设德布罗意（L.V.deBroglie1892-1986，法国）从光具有波粒二象性出发，认为实物粒子也应具有波动性。1924年11月在巴黎大学提交的博士论文中提出：22.1

实物粒子的波动性“我们因而倾向于假定，任何运动物体都伴随着一个波动，而且不可能把物体的运动跟波的传播拆开。”这种波既不是机械波也不是电磁波，称为物质波或德布罗意波。具有能量E和动量p的实物粒子所联系的波的频率和波长有关系：在答辩会上有人问：“这种波怎样用实验来证实呢？”德布罗意答：“可以从电子在晶体上散射这样的实验中检查到这样的波。”虽然后来的实验验证由戴维孙和革末完成了，但当时纯粹是理论推测。朗之万把德布罗意的文章寄给爱因斯坦，爱因斯坦说：“揭开了自然界巨大帷幕的一角”“瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚呢”尽管此假说的有待实验检验，但爱因斯坦还是推荐德布罗意取得了博士学位。[例22-1]估算:

m=1g，v=1cm/s的实物粒子的波长粒子对应的波长太小，波动性无法表现出来！对于电子，m=9.110-31

kg，设加速电压为U相当于晶格常数量级，通过类似于晶体对X射线的衍射，可以实现晶体对电子的衍射。[例22-2]德布罗意把物质波假设用于氢原子认为：如果电子在经典的圆轨道上运动，它对应于一个环形驻波，满足——玻尔量子化条件德布罗意用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的轨道量子化条件。二、物质波的实验验证贝耳电话公司实验室的戴维逊和革末研究电子在镍单晶上的衍射（1927）。电子枪1.戴维逊—革末实验（C．J．Davisson，1881－1958；L．H．Germer，1895－1971）实验装置示意图假如电子具有波动性，应满足布喇格公式

此时电表中应出现最大的电流。探测器Id若固定角，改变加速电压，会多次出现电流极大若固定角，改变加速电压，会多次出现电流极大I实验结果:2.G.P.汤姆逊实验1927年英国物理学家G.P.汤姆逊做了电子通过金多晶薄膜的衍射实验1929年德布洛意获诺贝尔物理奖。1937年戴维逊与G.P.汤姆逊获诺贝尔物理奖。3.约恩逊实验1961年C.Jönsson运用铜箔中形成的2-5条细缝得到了电子的多缝干涉图样。1930年艾斯特曼(Estermann)、斯特恩(Stern)、和他们的同事们证实了普通原子具有波动性。后来实验又验证了质子、中子等实物粒子都具有波动性。4.其它实验三、微观粒子波动性的应用1933年，德国的E.Ruska和Knoll等人研制成功第一台电子显微镜。1982年，IBM的G.Binnig和H.Rohrer研制成功第一台隧道扫描显微镜（STM）。鲁斯卡：电子物理领域的基础研究工作，设计出世界上第一台电子显微镜，1986诺贝尔物理学奖1986诺贝尔物理学奖宾尼：设计出扫描式隧道效应显微镜1986诺贝尔物理学奖罗雷尔：设计出扫描式隧道效应显微镜END22.2波函数及统计解释一、波函数既然粒子具有波动性，应该有描述波动性的函数——波函数。奥地利物理学家薛定谔（E．Schrödinger）1925年提出用波函数Ψ(r,t)描述粒子运动状态。按德布罗意假设：能量E、动量p的“自由粒子”沿x方向运动对应的物质波应为“单色平面波”：——0为待定常数或由关系数可将波函数改写为若粒子为三维自由运动，波函数可表示为波函数的物理意义是什么？粒子的什么性质在波动？二、波函数的统计解释对应粒子波动性的波函数做为一个重要的新概念登上量子力学舞台后，其本身的物理意义却模糊不清，使许多物理学家感到迷惑不解而大伤脑筋。爱因斯坦为了解释光粒子（光量子或光子）和波的二象性，把光波的强度解释为光子出现的几率密度。玻恩(M．Born，1882－1970)在这个观念的启发下，马上将其推广到Ψ函数上：|Ψ|2必须是电子（或其它粒子）的几率密度”

。1954年，玻恩获诺贝尔物理奖。（

,t）的物理意义在于：波函数的模的平方（波的强度）代表时刻t、在空间点处，单位体积元中微观粒子出现的概率。不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义。有意义的是对单个粒子，给出粒子的概率分布密度；对N个粒子，给出粒子数的分布密度。在时刻t、空间

点处，体积元dV

中发现微观粒子的概率为：对N

粒子系，在体积元dV中发现的粒子数为说明：1.让入射电子几乎一个一个地通过单缝随着电子数增大，逐渐形成衍射图样——衍射图样来源于“单个电子”所具有的波动性——统计规律。底片上出现一个一个的点子，开始时点子无规则分布——说明电子具有“粒子性”，但不满足经典的决定论。一个电子重复许多次相同实验表现出的统计结果。[例22-2]用几率波说明弱电子流单缝衍射数百个电子少数几个电子数万个电子德布洛意波（物质波）也称为概率波。

2.如何理解微观粒子的波粒二象性（1）粒子性指它与物质相互作用的“整体性”。但不是经典的粒子，因为微观粒子没有确定的轨道。(2)波动性“弥散性”、“可叠加性”、“干涉”、“衍射”。不是经典的波，并不对应某真实物理量的波动。(3)在一些情况下，实物粒子突出显示出其粒子特性；而在另一些情况下，则突出显示出波动特性—即波粒二象性。“波动性”与“粒子性”的联系——玻恩统计解释。3.关于量子力学的争论以玻耳为首，包括海森堡、狄拉克、玻恩的哥本哈根学派：宇宙中事物偶然性是根本的，必然性是偶然性的平均表现。以爱因斯坦为首，包括薛定谔、德布罗意学派：自然规律根本上是决定论的。“上帝肯定不是用掷骰子来决定电子应如何运动的！”

“Goddoesnotplaydice”Einstein:不相信单个电子的运动是不确定的，可以设计更精确的实验仪器解决。Bohr:所有粒子的不确定性是原则的、本性的。Einstein:我不相信上帝会玩骰子（色子）。Bohr:不要指挥上帝去做什么。Einstein-Bohr争论（1927-1955）Einstein:按照电子的衍射，某一电子落在何处与前一个电子落在何处有关，这是不可能的。Bohr:不是前后电子之间相互影响，而是单个电子的运动具有不确定性。在1927年Solvey会议上：三、波函数应满足的条件1.自然条件：单值、有限和连续2.归一化条件粒子出现在dV体积内的几率为：粒子在空间各点的概率总和应为l，END22.3不确定性关系按照经典波动理论，约束在空间某区域内的波不可能是单色的——不可能具有唯一的波长。这一结论对物质波同样正确：被束缚在某区域的粒子不可能具有确定的动量，即粒子的坐标和动量不能同时取确定值，存在一个不确定关系。海森堡（W.Heisenberg）在1927年发表了著名的位置—动量不确定关系以电子的单缝衍射为例说明。电子的单缝衍射“中央亮纹”半角宽度满足：一、位置—动量不确定关系如果把单缝看成对电子坐标的测量仪器，x—相当于对电子坐标测量的不确定度。x单缝存在使电子在x方向的动量分量出现不确定性不限制电子坐标时，动量可以取确定值。对坐标x测量得越精确（x越小），动量不确定性px

就越大(衍射越厉害)。电子的坐标和动量不能同时确定。严格的不确定性关系应该是：[例22-2]氦氖激光器发光波长，谱线宽度，求即相干长度，谱线展宽导致光子动量的不确定解：当这种光子沿x方向传播时，它的x坐标的不确定就是即相干长度，也就是波列长度将上例激光光子位置-动量不确定性关系二、能量和时间的不确定关系同样可得粒子处于某状态的能量和时间的不确定性关系变为可以解释为什么原子谱线自然宽度谱线宽度：与实验测量结果吻合！原子基态寿命无穷长，基态有确定的能量值。[例22-3]原子在激发态的寿命为10-8

s，由不确定关系不确定性关系限定了使用经典语言的范围和度不确定性的物理根源是粒子的波动性。说明：不确定性与测量没有关系，是微观粒子波—粒二象性的体现。[例22-4]氢原子中的电子的轨道运动速度为106m/s，速度的不确定度：，v~v但威尔逊云室可看到一条白亮的粒子径迹～10-4cm，由此可得：p>>p，波动性不是很明显，轨道概念仍适用。可见波动性十分明显，不能用轨道概念描述!

但END按照经典波动理论，波动的物理量满足如下形式的波动方程：22.4薛定谔方程V为波速物质波的波动方程是什么？德布洛意关于电子波动性的假设传到苏黎士后，德拜(P.Debye，TheNobelPrizeinChemistry1936)说，“一个没有波动方程的波动理论太肤浅了！”。当时年轻的薛定谔在场。在一周后聚会时薛定谔说：“我找到了一个波动方程！”。——量子力学中的基本动力学方程。一、薛定谔方程的建立自由粒子波函数对波函数微分得—能量算符——动量算符——自由粒子的薛定谔方程由和把自由粒子运动算符推广到非自由粒子运动，粒子所处的势场为U(x,t)，粒子的能量薛定谔方程变为——这就是含时薛定谔方程称为哈密顿算符，则令推广到三维势场U(

r,t)中令薛定谔方程形式不变哈密顿算符变为薛定谔方程不是推导出来的，而是依据实验事实和基本假定“建立”的，是否正确则由实验结果检验。薛定谔方程——描述非相对论实物粒子在势场中的状态随时间的变化，反映了微观粒子的运动规律。说明：薛定谔（Schrödinger1887-1961）1933年薛定谔获诺贝尔物理奖。奥地利物理学家，提出量子力学最基本的方程。二、定态薛定谔方程若微观粒子处在稳定的势场中，则势能函数U与时间无关，称这类问题为定态问题。自由运动粒子

例如：氢原子中的电子此时，哈密顿算符与时间无关，薛定谔方程可用分离变量法求解：波函数

可以分离为空间坐标函数和时间函数的乘积。设可得只含变量t

和只含变量r

的两个方程：1.方程（1）是关于变量为t的微分方程，解为：—时间振动因子2.方程（2）是关于变量为x、y、z的微分方程：—称为定态薛定谔方程，又称为能量算符的本征方程其解Φ(x,y,z)与粒子所处的外力场U和边界条件有关。3.波函数是以上两部分的乘积——粒子出现在空间的几率与时间无关—定态粒子出现在空间的几率：可见，定态问题最后归结为求解定态薛定谔方程。END22.5力学量算符的本征值问题一、力学量的算符表示在量子力学中，系统的任何力学量均对应一算符，力学量所能取的值是其相应算符的本征值。例如：

动量算符这是量子力学的又一基本假设对一维运动

坐标算符（就是它自己）动能算符：能量算符:角动量算符:二、算符的本征值问题利用定态薛定谔方程求解能量和定态波函数实际上是一个能量算符的本征值问题。E

：称为能量算符的本征值。——能量算符的本征值方程为了使波函数单值、连续、有限，能量的取值受到了限制。：称为能量算符的本征函数（本征态）对于处在束缚态势场中的粒子能量只能取一系列的分立值：E1，E2，….，En，….同理，通过求解动量算符、角动量算符…的本征方程可得到相应算符的本征函数和本征值。END22.6

薛定谔方程的应用确定粒子的哈密顿量；在全空间写出粒子的能量本征方程；利用波函数的自然条件确定确定能量本征值和波函数。步骤：处理的问题：势阱中的粒子——粒子被束缚在某势场中；势垒对粒子的散射——自由粒子入射到某势场中。一、一维无限深势阱中的粒子金属中的电子由于金属表面势能（势垒）的束缚被限制在一个有限的空间范围内运动。称为一维无限深方势阱。-e-e-e-e-e-e-e如果金属表面势垒很高，可以将金属表面看为一刚性盒子。如果只考虑一维运动，就是一维刚性盒子。势能函数为：V=0∞∞V(x)x无限深方势阱在势阱内，定态薛定谔方程令得解为：待定常数C

和δ解由波函数的自然条件确定。V=0∞∞V(x)x无限深方势阱波函数在阱壁上的连续条件、本征能量该方程的解只能是：在势阱外，定态薛定谔方程由式（3）可得由式（4）可得思考：为什么n不取零和负整数？粒子的能量：其中能量取分立值（能级），能量是量子化的。n=132能量间隔为：能级增大,能级间隔递增阱变宽,能级间隔下降大质量粒子的能级间隔小L很大或m很大，能级几乎连续最低能量(零点能)—波动性说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波。势阱中粒子的动量和波长定态波函数为归一化常数C和定态波函数粒子在阱内的波函数为波函数为频率相同、波长相同、传播方向相反的两单色平面波的叠加——形成驻波。可知：阱宽为驻波半波长的整数倍。由关系粒子在势阱中的几率分布：哈密顿量定态薛定谔方程二、一维谐振子（抛物线势阱）晶体中原子围绕平衡位置作小振动时可近似认为是谐振动，势函数为：或利用级数展开法解该微分方程。波函数满足的自然条件进一步限制了能量E的取值。主要结论如下：

1.谐振子能量能量间隔均匀：

能量E是量子化的最低能量(零点能)不为零与Planck假设不同！E0E1E2E3U(x)E0x

2.谐振子波函数Hn是厄密（Hermite）多项式，最高阶是

[例22-4]U(x)E0xΦ2(x)

E0经典粒子位置几率分布能量为E0经典粒子沿阱壁只能爬E0高度，这时粒子的动能为零，然后被阱壁反弹回去。U(x)E0xΦ2(x)

E0黑色虚线为经典粒子位置的几率分布量子粒子位置几率分布能量为E0量子粒子沿阱壁爬的高度可以大于E0（红色虚线），或说能量为E0的粒子可以穿入阱壁内部。（用经典理论无法解释）量子粒子位置几率分布与经典粒子分布有明显的区别n=1Φ2(x)xn=0Φ(x)xn=0Φ2(x)xn=1Φ(x)x谐振子几个波函数和位置几率密度Φ2(x)xn=9n=9xΦ(x)n=2量子概率分布经典概率分布(图示虚线）能量量子化能量取连续值当n∞时——玻尔对应原理Φ2(x)xn=2三、一维散射问题粒子以确定能量E从远处入射到某给定势场中，确定粒子的波函数和位置分布。思考：粒子的能量呢？1.矩形台阶势垒实际金属中的电子在表面处遇到的势是有限高的：E<U0U(x)xU=U0U=0o按照经典力学：当E>U0时，粒子可以进入x>0区；当E<U0时，粒子不可能进入x>0区，在垒壁处粒子被反弹回x<0区。量子力学结果如何？E>U0E<U0U(x)xU=U0U=0o薛定谔方程

波函数当x→∞，由波函数Φ2有限D=0

波函数各部分的含义：在两个区域的波函数分别为：U(x)xU=U0o入射波反射波衰减波量子理论：粒子可以透入势垒，进入U>E（总能量）区域。经典理论：因为粒子的动能不可能小于零，所以粒子不能进入U>E（总能量）区域。2.隧道效应（势垒贯穿）自由粒子处遇到的势是有限高和有限宽的势垒：E<U0xU=U0U=00a透射波（只有向右传播的波）利用薛定谔方程可以求得波函数：入射波+反射波指数衰减波其中待定常数B、C、D、F由下列边界条件确定：xU=U0U=00a透射系数T：粒子穿透势垒的概率xU=U0U=0Oa可以证明：Φ(x)

可见：m、a、(U0–E)越小，则穿透率T越大。向墙壁上扔一球，按经典力学该球被墙壁反弹回来；例如：电子

a=2×10-10

m,(U0-E)=1

eV→T≈0.51但按量子力学小球有可能进入墙壁中（当m很大时，T可能很小）1.STM原理利用探针在样品表面扫描时，样品表面和针尖之间间距有间隙，形成了电子的势垒，间隙越小势垒宽度越窄，隧道电流I越大。三、扫描隧穿显微镜（STM）扫描隧穿显微镜(ScanningTunnelingMicroscope)是可以观测原子的超高倍显微镜。扫描隧道显微镜示意图通过测量电路中的电流，反推出距离S，绘出样品表面形貌图（立体图）隧道电流I样品和针尖间距离S的关系S—样品和针尖间的距离U—加在样品和针尖间的微小电压A—常数—平均势垒高度扫描探针显微镜

包含类型：隧道扫描、磁力扫描、横向力扫描、力调制扫描、相检测扫描、静电力扫描超高真空扫描探针显微镜05090307010(nm)硅晶体表面的STM扫描图象2.STM扫描图象CarbonMonoxideonPlatinum(111)CirclesonCirclesStadiumCorral镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的扫描隧道显微镜照片。48个Fe原子形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波：罗赫尔：1986年度的诺贝尔物理奖宾尼：1986年度的诺贝尔物理奖鲁斯卡：1932年电子显微镜的发明者END22.7氢原子量子理论氢原子中的电子在中心力场中运动采用球坐标系一、角动量算符的本征值问题其中L2为电子绕核的轨道角动量平方算符Lz的为轨道角动量在z分量：通过求解L2和Lz的本征方程得到本征函数和本征值如下(过程略)：其中为球谐函数,例如：角动量L的取值是量子化的（量子力学很自然地给出角动量的量子化），最小值可取零（与玻尔假设不同）1.主要结论

和

有共同的本征函数

Yl,m(θ,)

的本征值为角动量的大小：l=0,1,2…称为角量子数可的本征值取角动量在空间的取向也是量子化的。m=-l,-l+1,…l-1,l

称为磁量子数对于一定的角量子数l,磁量子数m可取(2l+1)个值，角动量在空间z方向的取向只有(2l+1)种可能。2.角动量空间量子化的经典矢量模型该矢量在Lz轴上的投影在到之间。但对矢量的具体方位不能限制，可以在半顶角α的圆锥面上的任意方位（其中）,若Lz取定值，则完全不确定。0-2Lz=2-Lz将角动量想象为一长度为的经典矢量LzLz=2注：以上矢量模型完全是为了使角动量空间取向量子化的描述更形象，是一种辅助方法。量子理论中由于测不准关系的限制，电子绕原子核的角动量方向在任何时刻均是不确定的。3.Zeeman效应证明角动量空间取向的量子化氢原子从第一激发态（l=1）跃迁到基态（l=0）时，发射光谱只有一条谱线。但在外磁场中发现，该条谱线分裂为三条。B=0时光谱线l=1l=0对应对应B≠0时光谱线l=1l=0电子的轨道角动量对应于轨道磁矩在外磁场中电子的轨道磁矩具有的附加磁能为：称光谱这种分裂现象为塞曼效应。解释：由于电子轨道角动量空间取向的量子化，氢原子的能级在外加磁场出现了分裂现象，进一步导致谱线的分裂。1902诺贝尔物理学奖得主塞曼塞曼效应的发现和研究二、氢原子的能量和电子的几率密度定态薛定格方程为可以用分离变量法得电子的波函数可表示为（此处略）：u(r)称为径向波函数为球谐函数电子的能量本征值对角量子数的限制n=1,2,3…，1.主要结论：n称为主量子数例如：基态n=1,l=0;

第一激发态n=2,l=0、1第二激发态n=3,l=0、1、2径向波函数

Rnl(r)=unl(r)/r……其中a0=ε0h2/πme2为玻耳半径2.电子的几率密度分布和电子云在空间点（r,,）处,小体积元dV中电子出现的概率为：一般是与r、、有关电子径向几率分布考虑电子在r～r+dr球壳的几率(由于球谐函数是归一的)电子沿径向的几率分布是连续的——不同于经典的轨道概念。在基态，电子在r=a0处出现的几率最大，与经典轨道对应。a0电子角向几率分布电子在基态和激发态时的角向几率分布(其中基态时是球对称分布的)。l=0,1,2,3,…分别对应s,p,d,f,…轨道。规定：END§22.8电子的自旋泡利不相容原理一、电子的自旋（spin）无磁场有磁场1.斯特恩－盖拉赫实验（1921）实验结果：银原子束穿过非均匀磁场后分裂为两束。s1s2P基态银原子射线NS非均匀磁场但按电磁学知，一磁偶极子在非均匀磁场中，除了受力矩的作用，还受力的作用，且有但实验结果说明银原子有磁矩，而且沿外磁场方向有两个分量（银原子分裂为两束）。实验出现了新的矛盾：实验用的银原子大部分处在基态（l=0），无磁矩，银原子不应该受到磁力的偏转。其中