指数函数及其性质常见题型

——习题课题型一：与指数相关的复合函数的定义域和值域1、含指数函数的复合函数的定义域〔1〕由于指数函数yaxa0,且a1的定义域是R，所以函数yafx的定义域与fx的定义域相同.〔2〕对于函数yfaxa0,且a1的定义域，重点是找出tax的值域哪些局部yft的定义域中.2、含指数函数的复合函数的定义域〔1〕在求形如yafxa0,且a1的函数值域时，先求得fx的值域〔即tfx中t的范围〕，再根据yat的单一性列出指数不等式，得出at的范围，即yafx的值域.〔2〕在求形如yfaxa0,且a1的函数值域时，易知ax0〔或根据yfax对x限定的更为具体的范围列指数不等式，得出ax的详细范围〕，然后再t0,上，求yft的值域即可.【例】求以下函数的定义域和值域.1〔1〕y0.4x1；〔2〕y35x1；〔3〕y1ax.题型二：利用指数函数的单一性解指数不等式解题步骤：〔1〕利用指数函数的单一性解不等式，首先要将不等式两头都凑成底数相同的指数式.〔2〕afxagxfxgx,a11fxgx,0a3x1【例】〔1〕解不等式12；〔2〕ax23x1ax6a0,a1，求x的取值范围.2题型三：指数函数的最值问题解题思路：指数函数在定义域R上是单一函数，因此在R的某一闭区间子集上也是单一函数，因此在区间的两个端点处分别取到最大值和最小值

.需要注意的是，当底数未知时，要对底数分情况议论

.【例】函数

fx

ax

a

0,a

1

在1,2

上的最大值比最小值大

a，求

a的值.2题型四：与指数函数相关的单一性1、研究形如yafxa0,且a1的函数的单一性时，有如下结论：〔1〕当a1时，函数yafx的单一性与fx的单一性相同；〔2〕当0a1时，函数yafx的单一性与fx的单一性相反.2、研究形如yaxa0,且a1的函数的单一性时，有如下结论：〔1〕当a1时，函数yax的单一性与yt的单一性相同；〔2〕当0a1时，函数yax的单一性与yt的单一性相反.注意：做此类题时，一定要考虑复合函数的定义域.2【例】1.a0,且a1，议论fxax3x2的单一性.2.求以下函数的单一区间.〔1〕yax22x3；〔2〕y110.2x题型五：指数函数与函数奇偶性的综合应用虽然指数函数不拥有奇偶性，但一些指数型函数可能拥有奇偶性，对于此类问题可利用定义进行判断或证明.【例】1.函数fx1a为奇函数，那么a的值为.3x1函数函数

fxa1xR是奇函数，那么实数a的值为.12xfx11a0,a1，判断函数fx的奇偶性.12ax题型六：图像变换的应用1、平移变换：假定yax的图像，〔1〕把yax的图像向左平移b个单位，那么获得yaxb的图像；〔2〕把yax的图像向右平移b个单位，那么获得yaxb的图像；〔3〕把yax的图像向上平移b个单位，可获得yaxb的图像；〔4〕把yax的图像向下平移b个单位，那么获得yaxb的图像.2、对称变换：假定yax的图像，〔1〕函数yax的图像与yax的图像对于y轴对称；〔2〕函数yax的图像与yax的图像对于x轴对称；〔3〕函数yax的图像与yax的图像对于坐标原点对称.【例】1.画出以下函数的图象，并说明它们是由函数y2x的图像经过怎样的变换获得的.①y2x1；②y2x1；③y2x；④y2x1；⑤y2x；⑥y2x2.函数yxa与yaxa0,且