《向量的线性运算》同步作业

6.1.5向量的线性运算(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．化简：3(2a＋b)＋2(4a＋2b)＝()A．7a＋4b B．14a＋4bC．7a＋14b D．14a＋7b答案D解析原式＝6a＋3b＋8a＋4b＝14a＋7b.故选D.2．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为()A．3 B．－3C．0 D．2答案A解析∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3.))∴x－y＝3.3.如图所示,向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3.设=p,=q,=r,则以下等式中成立的是 ()A.r=-p+q B.r=-p+2qC.r=p-q D.r=-q+2p答案C解析因为=+,=-3=3,所以=,所以=+=+(-).所以r=q+(r-p).所以r=-p+q.4.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D答案A解析=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2,所以,共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.5．以下选项中，a与b不一定共线的是()A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1B．a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2.答案C解析找出一个非零实数λ使得a＝λb即可判断a∥b.A项中a＝－eq\f(1,2)b；B项中a＝4b；D项中a＝－eq\f(3,2)b，故A，B，D三项中a∥b，而C项中a＝e1－2e2，b＝－2e1＋e2，所以C项a与b不一定共线，故选C.二、填空题6.如图正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,则=________(用向量,表示).

答案:-解析=+=+=-.答案:-7．已知A，B，C是三个不同的点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－3b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝3a－5b，则A，B，C三点________．(填写“共线”或“不共线”)答案：共线8.已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,能使a,b共线的是________.

①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;②存在相异实数λ,μ,使λa+μb=0;③xa+yb=0(实数x,y满足x+y=0);④已知在梯形ABCD中,=a,=b.【解析】①由已知条件得,10a-b=0,故满足条件;②显然满足条件;对于③,当x+y=0时,a,b不一定共线;④中,若AB∥CD,则a,b共线,若AD∥BC,则a,b不共线.答案:①②三、解答题9．设x，y是未知向量．(1)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－y＝a，,x－\f(1,2)y＝b.))解(1)原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，即8x＝－5a＋3b，∴x＝－eq\f(5,8)a＋eq\f(3,8)b.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－y＝a，①,x－\f(1,2)y＝b.②))－2×①＋②，得eq\f(3,2)y＝－2a＋b，∴y＝－eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b.代入②，得x＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)a＋\f(4,3)b，,y＝－\f(4,3)a＋\f(2,3)b.))10．设两个非零向量e1，e2不共线，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解：设存在k∈R，使得A，B，D三点共线．因为eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2.又因为A，B，D三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(DB,\s\up6(→))，所以2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝－λ，,k＝4λ，))所以k＝－8，所以存在k＝－8，使得A，B，D三点共线．[等级过关练]1.(2019怀化高一检测)已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满足++=,则点P与△ABC的关系为 ()A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的三等分点【解析】选D.因为=-,所以++=-,即2+=0,即=2,故=,所以点P是AC边的一个三等分点.2.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的 ()A.外心 B.内心C.重心 D.垂心【解析】选B.如图,为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0,+∞),所以λ的方向与+的方向相同.=+λ,所以点P在上移动.所以P的轨迹一定通过△ABC的内心.3．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中正确命题的序号为________．答案①②③④解析如图，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝b＋eq\f(1,2)(－b－a)＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0.4．设O是△ABC内部一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－3eq\o(OB,\s\up6(→))，则△AOB与△AOC的面积之比为________．答案1∶3解析如图，由平行四边形法则，知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，其中E为AC的中点．所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OE,\s\up6(→))＝－3eq\o(OB,\s\up6(→)).所以eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(OE,\s\up6(→))，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)|eq\o(OE,\s\up6(→))|.设点A到BD的距离为h，则S△AOB＝eq\f(1,2)|eq\o(OB,\s\up6(→))|·h，S△AOC＝2S△AOE＝|eq\o(OE,\s\up6(→))|·h.所以eq\f(S△AOB,S△AOC)＝eq\f(\f(1,2)|\o(OB,\s\up6(→))|·h,|\o(OE,\s\up6(→))|·h)＝eq\