FEM-01 绪论及弹性力学基础

有限元方法与应用

授课教师：蔡志勤郑勇刚

于申

彭海军叶宏飞张有为参考书目张昭，蔡志勤.《有限元方法与应用》，大连理工大学出版社，2011考核方式大作业（3000-5000字），满分：100分。

以小论文的格式，交电子版作业。 叶宏飞联系方式：yehf@联系地址：综合实验1号楼506作业提交Email：youxianyuan304@163.com2课堂纪律论文考核基本要求文件命名规则：学号+姓名+院(系)格式：pdf论文内容包含：

①题目；

②作者姓名+学号+手机号码+邮箱；

③摘要；

④正文；

⑤结论；

⑥参考文献（不少于6篇）；论文要求：

①独立完成、杜绝抄袭；

②3000-5000字；

③截取计算结果图片时需保留计算时间等信息；

④所取图片未带有时间、或者时间标识不准确、或者不清晰(有从网络上拷贝嫌疑)的论文成绩为F；

⑤提交论文后留意信箱和手机。3有限元方法的发展背景

每一种自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表达为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。这些方程通常称为控制方程。第一章绪论针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难。然而，要获得问题的解析的数学解却很困难。人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答。有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。

4工程和科学中典型问题

在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。把这类问题称为离散系统。离散系统：由有限个已经完全确定的元件组成的系统，如电阻及电阻网络，杆件及其组成的桁架，水管及其组成的水管网络。5

如左图所示平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成，可以解析获得内力。尽管简单离散系统是可解的，但是求解右图这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术。杆系结构6工程和科学中典型问题

第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统，或场问题。连续系统：可以被无限分割，其中的问题只有利用无穷小的数学观念才能定义，意味着由无限个单元组成。如一块受力平板，一个活塞，一根轴等。7工程和科学中典型问题

尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如图示V6引擎在工作中的温度分布。为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。8工程和科学中典型问题

工程问题的求解思路连续问题的一般描述—微分方程+边界条件9工程和科学中典型问题

数值计算方法分类

方法特点优缺点有限差分法离散求解域；差分代替微分；解代数方程组要求规则边界，几何形状复杂时精度低等效积分法（加权余量法或泛函变分法）整体场函数用近似函数代替；微分方程及定解条件的等效积分转化为某个泛函的变分，——求极值问题适合简单问题，复杂问题很难解决有限元法离散求解域；分片连续函数近似整体未知场函数；解线性方程组节点可任意配置，边界适应性好；适应任意支撑条件和载荷；计算精度与网格疏密和单元形态有关，精度可控10有限单元法有限差分法11数值计算方法比较

有限元方法（TheFiniteElementMethod,FEM）是处理连续介质问题的一种普遍方法，是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。离散化是有限元方法的基础。然而，这种思想自古有之。古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法：即采用内接多边形和外切多边形从两个不同的方向近似描述圆的周长或面积，当多边形的边数逐步增加时近似值将从这两个方向逼近真解。魏晋时期的数学家刘徽：割圆术12有限元法的基本思想和关键概念

有限元方法(FiniteElementMethod)：假想把连续系统分割成数目有限的单元，单元之间只有在数目有限的指定点（称为节点）处相互连接构成一个单元集合体来代替原来的连续系统。有限元法的基本思想和关键概念

离散化几何实体模型有限元模型13单元与节点:单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的

最小结构域。节点：单元与单元间的连接点。注意： 节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别。14有限元法的基本思想和关键概念

物理上的理解

如果合理地求出各小单元的力学特性，就可以求出单元组合体（离散结构）的力学特性，从而在给定的载荷和约束条件下求出各节点的位移，求出各单元的应力。由于单元可以有不同的大小、形状和类型，因此可以求解复杂的工程和科学问题。将连续体分割（离散）为有限个、且按一定方式相互联结在一起的小单元的组合体（单元之间在节点处铰接）。用该离散结构（单元组合体）近似代替原来的连续体。15有限元法的基本思想和关键概念

典型单元类型

单元类型单元图形节点数节点自由度杆单元22梁单元23平面三角形32平面四边形42轴对称问题32板壳单元43四面体单元43Turner&CloughArgyrisMeloshJones

Pian

冯康

BesselingZienkiewiczCheungBatheCook钱令希SAPANSYSALGORNASTRANADINA

MARC广义协调元无单元法自然单元法样条有限元有限元并行计算小波有限元自适应有限元

拓展了有限元方法

单元求解区域上插值

工程应用

工程实践中高性能计算60年代70~80年代90年代至今体系形成

方法拓展

商用软件

学科交叉

17有限元法的形成与发展

1943年在Courant的论文中首次尝试使用定义三角形域上的分片连续函数和最小位能原理相结合求解S.Venant扭转问题。其本人并没有发展这个方法。当时其数学基础尚未完全建立起来。1956年M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。一般认为这是工程学界上有限元法的开端。1960年，Clough在他的名为“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的论文中首次提出了有限元(finiteelement)这一术语。约开始于1968年，这一次属于数值分析家。数学家终于认识了有限元的基本原理，事实上它是逼近论、偏微分方程及其变分形式和泛函分析的巧妙结合。18有限元法的形成与发展

此后，一些应用/计算数学家、物理学家和工程师从2条分支研究FEM，形成了成熟的理论体系。即：1.FEM离散格式、误差估计理论、解的收敛性等研究(应用/计算数学)

研究的目的是建立完整的FEM理论体系，为工程应用奠定必备的理论基础。2.工程具体问题计算领域(计算物理/计算力学/工程学)

研究的目的是面向具体工程应用问题，主要是离散格式研究，通过考题(Benchmark)分析而不是理论分析验证解的收敛性，估计误差，为工程设计优化提供指导。InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation国内长期从事FEM研究的有钱令希、唐立民、钟万勰、石钟慈、程耿东、龙驭球等。主要从事FEM方法改进、应用和完善研究。19有限元法的形成与发展

星箭耦合模型火箭模型某型号动车车头和车身的有限元分析大型集装箱型船的装载分析汽车安全性设计中的应用

20有限元法的工程应用21有限元法的工程应用22有限元法的工程应用/disneysnow/StomakhinA,SchroederC,ChaiL,etal.Amaterialpointmethodforsnowsimulation.ACMTransactionsonGraphics,2013,32(4):102.

物质点法（MPM）为陈震教授及其合作者于1992年所提出，该方法可以更好地模拟在冲击、贯入和金属加工等问题中的局部化大变形以及冲击和接触现象。最近更是被进一步应用于电影特效动画的制作中，其中基于此方法完成的动画片《FROZEN》获得了2013年最佳动画片的“奥斯卡”奖。70年代初MARC公司推出了第一个商业非线性有限元程序MARC。1978年HKS公司，推出了Abaqus软件。1975年非线性求解器ADINA(AutomaticDynamicIncrementalNonlinearAnalysis)1977年MechanicalDynamicsInc.(MDI)公司发展机械系统仿真软件ADAMS，应用于机械系统运动学、动力学仿真分析。1988年，LSTC公司，发行和扩展DYNA程序商业化版本LS-DYNA。1996年，ANSYS与LSTC公司合作推出了ANSYS/LS-DYNA21世纪后ANSYS公司把其产品扩展为ANSYSMechanical系列，ANSYSCFD（FLUENT/CFX）系列，ANSYSANSOFT系列以及ANSYSWorkbench和EKM等。有限元软件的发展23编号软件名称开发单位编程语言(程序规模)1ANSYSSwansonAnalysisSystem(美国)FORTRAN77(150000行)2ADINAADINA工程公司(美国)FORTRAN(150000行)3MARCMARC公司(美国)FORTRAN4FOR66FOR77(100000行)4NASTRANNASA(美)主持，MSC公司(美)开发FORTRAN4Assembler(600000行)5ABAQUSHilbitt,Karlson,andSorensen公司(美)FORTRAN77(140000行)6FENRISNTH,SINTEF(挪威)FORTRAN77(160000行)7PAFECPAFEC公司(美)FORTRAN(400000行)8ASKA斯图加特大学静动力学研究所(西德)FORTRAN4(600000行)9EALEISE公司(美)ANSIFOR66Assembler(150000行)10SAMCEFL.T.A.S(比利时)FORTRAN4(300000行)11LARSTRAN80斯图加特大学静动力学研究所(西德)FORTRAN4FORTRAN77(200000行)12HAJIF系列航空部(中国)FORTRAN4(280000行)常用有限元软件24SoftwareIntegrationPlatformforEngineeringandScientificComputation//2526SiPESC软件简介SiPESC软件研发基金（运载学部网站主页）ANSYS的发展历史起步：1970年,在美国宾夕法尼亚洲的匹兹堡建立ANSYS公司；发展：最近版ANSYS5.7、6.1、7.0、8.0、8.2、9.0、10.0…….15.0、16.0；

ANSYS软件必须通过7000道标准考题测试才发行，ANSYS公司于1995年在设计分析类软件中第一个通过了ISO9001的质量体系认证。

ANSYS公司1996年在北京开设了第一个驻华办事机构，目前在上海、成都、广州也有办事处

典型用户：航空航天工业；铁路行业；汽车行业；船舶工业；建筑行业；电子工业；……27ANSYS软件介绍28ANSYS软件介绍…...ANSYS软件主要包括3个部分：前处理模块、分析计算模块和后处理模块。前处理模块它为用户提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元模型，软件提供了100种以上的单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。29ANSYS软件的组成及特点

a).实体建模

参数化建模；

体素库及布尔运算；

拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、导角等。

b).多种自动网格划分工具

自由/映射网格划分工具、智能网格划分、自适用网格划分；

复杂几何体Sweep映射网格生成；

边界层网格划分。

c).在几何模型或FE模型上加载

点载荷

分布载荷

体载荷

函数载荷

d).可扩展的标准梁截面形状库(2)分析计算模块

包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析、高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析的能力。(3)后处理模块

可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示（可看到结构内部）等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。ANSYS操作界面介绍状态栏ANSYS主菜单ANSYS工具栏标准工具栏ANSYS实用菜单ANSYS命令输入窗口ANSYS图标按钮30

大部分的通用有限元软件都包括：前处理、求解器、后处理三个有逻辑顺序的模块。在进行实际工程分析时，也该按照以上三个模块来进行。进入求解器进行求解（设定分析步骤，输出变量）前处理（建模、材料特性、单元选择及网格划分）进入后处理（变形图、等值线图，列表显示等后处理）31一般商业软件的操作流程本课程的主要内容

基础知识（弹性力学基础、变分原理等）

一维结构静力分析（杆梁单元及应用）

平面结构静力分析（常用平面单元、等参元）

空间结构静力分析（四面体、六面体）

结构动力学分析非线性有限元分析温度场有限元分析32有限元方法与应用

弹性力学基础材料力学回顾（杆系结构）应力状态分析强度理论组合变形压杆稳定能量法动载荷问题疲劳第2章有限元基础理论——材料力学基本内容

简单变形

轴向拉压剪切扭转弯曲内力应力变形静不定结构静定结构34Shear

弹性力学与材料力学的联系

——为何要有弹性力学？ 1、研究内容 2、研究对象 3、研究方法弹性力学概念

弹性力学亦称为弹性理论。主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而为工程结构或者构件的强度、刚度设计提供理论依据和计算方法。35研究内容的联系：材料力学：弹性变形体在外力作用下的平衡、运动等问题，及相应变形和应力弹性力学：弹性变形体在外力作用下的平衡、运动等问题，及相应变形和应力弹性力学与材料力学的联系基本没有区别36研究对象的联系：材料力学(研究变形体的第一门力学)：

仅为杆、梁、柱、轴等杆状变形构件弹性力学：

任意形状变形体弹性力学与材料力学的联系弹性力学研究对象更普遍37研究方法的联系：材料力学：

要作出一些关于构件变形状态或应力分布的假设，例如拉压、扭转、弯曲平面假设，数学推演简单,但解是近似的弹性力学：

研究是基于无限小单元体展开的，数学推演复杂，但分析方法严密，结论比较精确弹性力学与材料力学的联系弹性力学研究方法更严密，但也更复杂38工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限