浙江省名校新高考研究联盟(Z20)2023届高三第一次联考数学试题(解析版)

浙江省名校新高考研究联盟（Z20）2023届高三第一次联考数学试题一：选择题。1.已知集合，，则A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合,再由交集的定义求解即可.【详解】集合，，．故选C．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.设复数满足为虚数单位，则A.B.iC.D.1【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.【详解】由，得．故选B．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.设函数，则的值为A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】由分段函数，先求=ln2，然后根据判断范围再由分段函数另一段求出值【详解】，=ln2，ln2，即=【点睛】本题主要考察分段函数求函数值，这类题目，需要判断自变量所在范围，然后带入相应的解析式解答即可4.已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若，，，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】D【解析】【分析】利用与相交或平行判断；根据与相交、平行或判断；根据或判断；由面面垂直的判定定理得．【详解】由，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，得：若，，，，则与相交或平行，故错误；若，，则与相交、平行或，故错误；若，，则或，故错误；若，，，则由面面垂直的判定定理得，故正确．故选D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.5.已知实数满足约束条件，则的最大值为A.1B.4C.2D.【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出实数满足约束条件对应的平面区域如图阴影部分由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大由解得．代入目标函数得．即目标函数的最大值为4．故选B．【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6.已知双曲线：，则“”是“双曲线的焦点在轴上”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合总表示焦点在轴上判断即可．【详解】双曲线的焦点在轴上或，或，或推不出，“”是“双曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件．故选A．【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.函数的图象可能是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法,由是奇函数排除；排除；排除；从而可得结果.【详解】因为，可得是奇函数排除；当时，，点在轴的上方，排除；当时，，排除；故选A．【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.8.已知，是椭圆与的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且满足，，则该椭圆的离心率是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由，，利用椭圆的定义，求得，，，可得，，由二倍角公式列方程可得结果.【详解】由题意可得：，，可得，，，，，，,可得，可得．故选B．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用以及椭圆的离心，属于难题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．9.已知实数，满足，，则的最小值是A.10B.9C.D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求得，则，展开后再利用基本不等式可求得的最小值．【详解】，，，，当且仅当时，取等号．则，当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10.已知三棱锥的所有棱长为是底面内部一个动点包括边界，且到三个侧面，，的距离，，成单调递增的等差数列，记与，，所成的角分别为，，，则下列正确的是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用公式将问题转化为：比较与，，夹角的大小，然后判断到，，的距离，在中确定所在区域，利用数形结合可以解决．【详解】依题意知正四面体的顶点在底面的射影是正三角形的中心，则，，其中，表示直线、的夹角，，，其中，表示直线、的夹角，，，其中，表示直线的夹角，由于是公共的，因此题意即比较与，，夹角的大小，设到，，的距离为，，

则，其中是正四面体相邻两个面所成角，所以，，成单调递增的等差数列，然后在中解决问题由于，结合角平分线性质可知在如图阴影区域不包括边界从图中可以看出，、所成角小于所成角，所以，故选D．【点睛】本题考查了异面直线及其所成角，以及公式的应用，考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题．若直线与其在平面内的射影所成的角为，平面内任意直线与、成的角为，则.二：填空题。11.已知随机变量的分布如表所示，则______，______．1Pm【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用分布列中概率之和为1求解，利用期望公式求解期望，再利用方差公式求解方差即可．【详解】由随机变量的分布可得，可得，所以．．故答案为：；．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差等基础知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键．12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______，表面积为______【答案】(1).24(2).60【解析】【分析】由三视图还原几何体，可知原几何体为直三棱柱，底面为直角三角形，从而根据三视图中数据，结合棱柱的体积与表面积公式可求几何体的体积和表面积．【详解】由三视图还原几何体如图：该几何体为直三棱柱，底面为直角三角形，则其体积为．表面积为．故答案为：24；60．【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定几何体的形状.13.若的展开式中，的系数为6，则______，常数项的值为______．【答案】(1).1(2).15【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，在二项展开式的通项公式中，令的指数等于0，即可求得展开式中的常数项.【详解】的展开式的通项公式为，令，求得，可得的系数为，．令，求得，可得常数项的值为，故答案为：1；15．【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.在中，角所对的边分别为，，，且外接圆半径为，则______，若，则的面积为______．【答案】(1).3(2).【解析】【分析】由已知利用正弦定理可求的值，进而根据余弦定理可求的值，由三角形面积公式即可得结果．【详解】，且外接圆半径为，由正弦定理，可得，，由余弦定理，可得：，解得：，．故答案为：3，．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.15.沿着一条笔直的公路有9根电线杆，现要移除2根，且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留，则不同的移除方法有______种【答案】21【解析】【分析】把6根电线杆放好，7个空选择两个放入需要移除的电线杆，这样这两根需要移除的电线杆中间至少有一根，然后再把余下一根放到这两根中间去，问题得以解决．【详解】把6根电线杆放好，7个空，选择两个放入需要移除的电线杆，这样这两根需要移除的电线杆中间至少有一根，然后再把余下一根放到这两根中间去，所以有种方法，故答案为21．【点睛】本题考查了排列组合在实际生活中的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题．16.已知向量，满足，，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】设为向量，的夹角，将平方化为，结合可得，由此得到，从而可得结果.【详解】，，又，，，又，设为向量，的夹角，，又，，，，故答案为【点睛】本题考查了向量的数量积的运算及三角函数的有界性，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.17.设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】由题意可得在的最大值为，，，中之一，可得四个不等式，相加，再由绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值．【详解】去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，，，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【点睛】本题考查函数的最值求法、绝对值不等式的性质，以及转化思想的应用，属于难题．转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将函数最值问题转化为绝对值不等式问题.三：解答题。18.已知函数Ⅰ求的最小正周期及单调递增区间；Ⅱ求在区间上的最大值．【答案】Ⅰ最小正周期，单调递增区间为，；Ⅱ.【解析】【分析】Ⅰ利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简，由周期公式计算得的最小正周期，由，可解得函数的单调增区间；Ⅱ由的范围求出的范围，进一步求出的范围，从而可得结果．【详解】Ⅰ．的最小正周期，令，，得，，的单调递增区间为，；Ⅱ时，，，所以的最大值为2，在区间上的最大值为3．【点睛】本题考查正弦函数的周期性及单调性，考查了正弦函数的值域，属于基础题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；19.如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．Ⅰ证明：平面平面；Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．【答案】Ⅰ见证明；（2）(Ⅱ).【解析】【分析】Ⅰ连结，交于点，推导出，平面，由此能证明平面平面；Ⅱ过作平面的垂线，垂足为，则即为直线与平面所成角，设为，设，由，求出，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】Ⅰ连结AC，BD，交于点O，则由∽，得，，，平面ABCD，平面ABCD，又平面QBD，平面平面ABCD．Ⅱ过D作平面PBC的垂线，垂足为H，则即为直线QD与平面PBC所成角，设为，设，，，即，解得，，直线QD与平面PBC所成角的正弦值．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题．求线面角的方法：1、传统法：根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、向量法：对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.20.已知数列的前项和为，且满足（且）Ⅰ当，时，求数列的前项和：Ⅱ若是等比数列，证明：．【答案】Ⅰ;Ⅱ证明见解析.【解析】【分析】Ⅰ当，时，，运用分组求和方法，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和；Ⅱ可得，时，，运用等比数列的通项公式，可得，的值，进而得到，利用裂项相消法求和，结合放缩法即可得证．【详解】Ⅰ当，时，，前n项和；Ⅱ可得，时，，由是等比数列，可得，且，即，，，则，则，．【点睛】本题考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查等差数列与等比数列的求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.21.已知抛物线的焦点为，点，且．Ⅰ求抛物线方程；Ⅱ设是抛物线上的两点，当为的垂心时，求直线的方程．【答案】.【解析】【分析】Ⅰ由两点间距离公式列式，求得即可；Ⅱ根据垂心性质得AB的