《分层随机抽样》设计

《分层随机抽样》教学设计【教学目标】1.通过实例，理解分层随机抽样的特点和适用范围．2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．3.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值．【教学重点】理解分层随机抽样的特点和适用范围掌握各层样本量比例分配的方法【教学难点】掌握各层样本量比例分配的方法【课时安排】1课时【教学过程】认知初探1．分层随机抽样的相关概念(1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．2．样本平均数的计算公式在分层随机抽样中，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，则样本的平均数eq\x\to(ω)＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－)).【思考1】哪种情况下适合选用分层随机抽样？提示:在个体之间差异较大的情形下,只要选取的分层变量合适,使得各层间差异明显、层内差异不大,分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样.思考2：简单随机抽样和分层随机抽样有什么区别和联系？[提示]区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样则首先将总体分成几层，在各层中按比例分配抽取样本．联系：(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样．小试牛刀1．某校高三年级有男生1000人，女生800人．为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取50人，从女生中任意抽取40人进行调查，这种抽样方法是()A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数法D．分层随机抽样法D解析：样本由差异较大的几部分组成，每层样本量与层的大小比例相等，即为分层随机抽样法．2.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为()A．30B．25C．20D．15C[样本中松树苗为4000×eq\f(150,30000)＝4000×eq\f(1,200)＝20(棵)．]3．为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求()A．每层不等可能抽样B．每层抽取的个体数相等C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝neq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)个个体．(其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体的容量)D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制C解析：A不正确．B中由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B也不正确．C中对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C正确．D不正确．4．在某校高一年级的800名学生中，男生有360名，女生有440名．现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取样本量为80的样本，计算出男生样本的平均数为171cm，女生样本的平均数为160cm，则总样本的平均数为________．解析：因为分配比例为，所以男生应抽360×＝36(名)，女生应抽440×＝44(名)．则总样本平均数为eq\x\to(w)＝×170＋×160＝(cm)．例题讲解对分层随机抽样概念的理解[例1]⑴下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是()A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D．在某地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行()A．每层等可能抽样B．每层可以不等可能抽样C．所有层按同一抽样比等可能抽样D．所有层抽取的个体数量相同⑴B⑵C[解析]⑴B中总体个体差异较大，适合用分层随机抽样．A、C和D中总体个体差异不大，不适合用分层随机抽样．保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．方法总结分层随机抽样的前提和遵循的两条原则(1)前提：分层随机抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间差异较大，而层内个体间差异较小．(2)遵循的两条原则①按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，即遵循不重复、不遗漏的原则；②在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，即各层中遵循等概率抽样的原则．当堂练习1下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是()A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本C．从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量B[A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．]分层随机抽样的应用[例2]一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．[解]因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层随机抽样的方法．具体过程如下：第一步，将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．第二步，按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人，40人，100人，40人，60人．第三步，按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．第四步，将300人合到一起，即得到一个样本．方法总结分层随机抽样的步骤当堂练习2某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．[解]抽样过程如下：第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为eq\f(20,160)＝eq\f(1,8).第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×eq\f(1,8)＝2(人)；从教师中抽取112×eq\f(1,8)＝14(人)；从后勤人员中抽取32×eq\f(1,8)＝4(人)．第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人．第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．分层随机抽样中的计算问题[探究问题]在分层随机抽样中，N为总体容量，n为样本容量，如何确定各层的个体数？[提示]每层抽取的个体的个数为ni＝Ni×eq\f(n,N)，其中Ni为第i(i＝1,2，…，k)层的个体数，eq\f(n,N)为抽样比．例3（1）某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工的人数为.（2）某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑abc剪纸xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的eq\f(3,5)，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取人.⑴18⑵6【解析】⑴设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×eq\f(32,160)＝18.（2）法一：因为“泥塑”社团的人数占总人数的eq\f(3,5)，故“剪纸”社团的人数占总人数的eq\f(2,5)，所以“剪纸”社团的人数为800×eq\f(2,5)＝320；因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，法二：因为“泥塑”社团的人数占总人数的eq\f(3,5)，故“剪纸”社团的人数占总人数的eq\f(2,5)，所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×eq\f(2,5)＝20.又“剪纸”社团中高二年级人数比例为eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×eq\f(3,10)＝6.方法总结分层随机抽样中有关计算的方法（1）抽样比＝eq\f(该层样本量n,总样本量N)＝eq\f(该层抽取的个体数,该层的个体数).（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比.对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解.当堂练习3某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据样本量比例分配的分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别ABC产品数量(件)1300样本容量130由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本量比C产品的样本量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．800[解析]设总样本量为x，则eq\f(x,3000)＝eq\f(130,1300)，∴x＝300.∴A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170，∴y＝80.∴C产品的数量为eq\f(3000,300)×80＝800.分层抽样的综合应用[例4]某地区有居民600户，其中普通家庭450户、高收入家庭150户．为了调查该地区居民奶制品月消费支出，决定采用分层随机抽样的方法，按普通家庭、高收入家庭进行分层，得到普通家庭、高收入家庭的奶制品平均月消费支出分别为40元和90元．(1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为60，那么在普通家庭、高收入家庭中分别抽取了多少户？在这种情况下，请估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出．(2)如果从普通家庭、高收入家庭中抽取的样本量分别为30和30，那么在这种情况下，抽取的这60户居民奶制品的平均月消费支出是多少？用这60户居民奶制品的平均月消费支出估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出合理吗？如果不合理，那该怎样估计更合理？[解析](1)设在普通家庭、高收入家庭中分别抽取了m，n户，则eq\f(m,450)＝eq\f(n,150)＝eq\f(60,600)，解得m＝45，n＝15.样本平均数eq\x\to(w)＝eq\f(45,60)×40＋eq\f(15,60)×90＝(元)．在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数eq\x\to(w)估计总体平均数eq\x\to(W)，即在普通家庭、高收入家庭中分别抽取了45户、15户，估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出为元．(2)抽取的这60户居民奶制品的平均月消费支出是eq\f(30,60)×40＋eq\f(30,60)×90＝65(元)，因为在该地区居民中，普通家庭户数是高收入家庭户数的3倍，而抽取的普通家庭的样本量与高收入家庭的样本量相等，所以用这60户居民奶制品的平均月消费支出估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出不合理．应该用抽取的普通家庭奶制品的平均月消费支出40元估计该地区全体普通家庭的平均月消费支出，用抽取的高收入家庭的平均月消费支出90元估计该地区全体高收入家庭的平均月消费支出，得到该地区全体居民奶制品的平均月消费支出为eq\f(450,600)×40＋eq\f(150,600)×90＝(元)．这样估计较合理．方法总结在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为eq\f(mx＋ny,m＋n).当堂练习4在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值.解：合在一起后的样本均值为eq\f(10×5＋8×6,10＋8)＝eq\f(50＋48,18)＝eq\f(49,