陕西省安康市中考指导课件 第7讲 一元二次方程

数学第二章方程与不等式第7讲一元二次方程要点梳理

1．定义只含有

，并且未知数的最高次数是__，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．一个未知数2ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)要点梳理

2．解法首先考虑，；其次考虑，．3．公式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：

．直接开平方法因式分解法配方法公式法要点梳理

4．一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个

的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个

的实数根；(3)b2－4ac＜0⇔方程

实数根．不相等相等没有要点梳理

5．一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝

，x1x2＝

．转化思想一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是运用了“转化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程)，通过转化、归结为已解决的问题(一元一次方程)，也就是不断地把“未知”转化为“已知”．一个注意注意：(1)根的判别式“b2－4ac”只有在确认方程为一元二次方程时才能使用；(2)使用时，必须将一元二次方程转化为一般式ax2＋bx＋c＝0，以便确定a，b，c的值．一个防范正确理解“方程有实根”的含义．若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”“有两个实数根”等关键文字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”．一元二次方程的解法

【例1】解下列方程：(1)x2－2x＝0；解：(1)x2－2x＝0，x(x－2)＝0，∴x1＝0，x2＝2(2)(2014·徐州)x2＋4x－1＝0；(3)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2；(4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0；(5)(1997－x)2＋(x－1996)2＝1.解法一：(1997－x)2＋(x－1996)2－1＝0，(1997－x)2＋(x－1997)(x－1995)＝0，(x－1997)[(x－1997)＋(x－1995)]＝0，2(x－1997)(x－1996)＝0，x1＝1997，x2＝1996

解法二：因为(1997－x)2＋(x－1996)2＝[(1997－x)＋(x－1996)]2－2(1997－x)(x－1996)，所以原方程可化为1－2(1997－x)(x－1996)＝1，2(1997－x)(x－1996)＝0，x1＝1997，x2＝1996【点评】解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．1．用指定的方法解下列方程：(1)(2x－1)2＝9；(直接开平方法)(2)x2＋3x－4＝0；(配方法)(3)x2－2x－8＝0；(因式分解法)(4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0.(公式法)x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0，x1＝4，x2＝－2

一元二次方程根的判别式

【例3】

(2014·深圳)下列方程没有实数根的是()A．x2＋4x＝10B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0D．(x－2)(x－3)＝12C【点评】对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况的描述，必须借助根的判别式，Δ≥0方程有两个实数根，Δ＞0方程有两个不相等的实数根，Δ＝0方程有两个相等的实数根，Δ＜0方程没有实数根，反之亦然．3．(1)(2014·内江)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是(

)

A．k＞12

B．k≥12

C．k＞12且k≠1

D．k≥12且k≠1

C(2)(2014·十堰)已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.①若方程有实数根，求实数m的取值范围；②若方程两实数根分别为x1，x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值．解：①由题意有Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，整理得8m＋8≥0，解得m≥－1，∴实数m的取值范围是m≥－1②由两根关系，得x1＋x2＝－2(m＋1)，x1·x2＝m2－1，(x1－x2)2＝16－x1x2，(x1＋x2)2－3x1x2－16＝0，∴[－2(m＋1)]2－3(m2－1)－16＝0，∴m2＋8m－9＝0，解得m＝－9或m＝1.∵m≥－1，∴m＝1剖析(1)解方程3x(x＋2)＝5(x＋2)时，方程两边同时除以含x的代数式破坏了方程的同解性，遗失了一个根x＝－2；解方程9x2＋6x＋1＝9，在开平方时，由于只取了一个算术平方根，这样就把未知数的取值范围缩小了，遗失了一个根；解方程x2－2x＋1＝0时，解得的结果应写成x1＝x2＝1.(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判