第14讲一元一次不等式讲义 人教版七年级数学下册

PAGE16PAGE第14讲一元一次不等式知识导航1．一元一次不等式的相关概念及解法；2．含参数的一元一次不等式；3．一元一次不等式的实际应用；4．含绝对值的一元一次不等式．【板块一】一元一次不等式的相关概念及解法方法技巧 1．一元一次不等式是指含一个未知数，未知数的次数是1的不等式，判断是否为一元一次不等式需要先化简再判断．2．解一元一次不等式，是根据不等式的性质逐步将不等式化为a＜a或x＞a的形式．题型一元一次不等式的定义【例1】若不等式3（x－1）＜mx2＋nx－3是关于x的一元一次不等式，求m，n满足的条件．【练1】（2017年春·启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（）A．x2－9x≥x2＋7x－6 B．x＋1＝0 C．x＋y＞0 D．x2＋x＋9≥0题型二一元一次不等式的解法【例2】解不等式≥1，并把它的解集表示在数轴上．【例3】若不等式的最小整数解是方程2x－ax＝4的解，求a的值．【练3】解不等式，并写出它的非负整数解．题型四列不等式，求取值范围【例4】（2018·双桥区模拟）对于实数a，b，c表示运算：ab－c，如＝2×3－4＝6－4＝2．（1）列出算式并求值：（2）若的值大于1，请列出不等式，并解不等式；并判断（1）中①和②的值是不是此不等式的解．【练4】（2018春·蔡甸区期末）若代数式的值不小于代数式的值，则x的取值范围是＿＿＿＿．针对练习1．下列各式：①－x≥5；②y－3x＜0；③＋5＜0；④x2＋x≠3；⑤＋3≤3x；⑥2(x＋2)－x＜x－5，其中是一元一次不等式的有＿＿＿＿＿＿．（填序号）2．若是关于x的一元一次不等式，则m的值为＿＿＿＿．3．不等式2（5x＋3）＞x－3（1－2x）的最小整数解为＿＿＿＿．4．(2018春·蜀山区期末)不等式的所有自然数解的和等于＿＿＿＿．5．（2018春·宁都县期末）代数式x－1的值小于3的值，则x的取值范围是＿＿＿＿．6．解不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）2（5x－3）≤4x－3(1－3x)； （2）1＋＞5； （3）．7．(2018春·孟津县期中)若不等式5（x－2）＋8≤6(x－1)＋7的最小整数解是方程3x－ax＝－3的解，求的值．8．（2018春·九台区期末）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝(a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝．若 （1）求a，b的值； （2）解关于m的不等式：T（2m，3－4m）≤8．【板块二】含参数的一元一次不等式方法技巧1．解决含参数的一元一次不等式，抓住两条主线，将参数当作数看待或将参数当作主元看待．2．注意讨论参数的取值范围．题型一解含参数的一元一次不等式【例1】解关于x的不等式ax－2a＜2（x－2）．【练1】解关于x的不等式ax＋3＜x＋b．．题型二已知不等式的解集，求参数的取值范围【例2】若不等式（2k＋1）x＜2k＋1的解集是x＞1，求k的取值范围．【练2】当a＝＿＿＿时，关于x的不等式（1－a）x＞a－5的解集是x＜2．题型三已知不等式的解集，化简后求参数的取值范围【例3】（2017秋·双清区校级月考）已知一元一次不等式mx－3＞2x＋m．（1）若它的解集是x＜，求m的取值范围；（2）若它的解集是x＞，试问：这样的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由．【练3】若关于x的不等式m（x＋2）＞2m－1的解集是x＜，则关于x的不等式（m－1）x＞－1－m的解集是（） A．x＜ B．x＞ C．x＜ D．x＞题型四已知不等式的整数解，求参数的取值范围【例4】（2018春·淮安区期末）已知不等式2x－m≤0至少有5个正整数解，求m的取值范围．题型五已知不等式的解集，求相关不等式的解集【例5】若关于x的不等式（2a－b）x＋3a－4b＜0的解集是x＞，试求关于x的不等式（a－4b）x＋2a－3b＜0的解集．【练5】已知关于x的不等式（4a－3b）x＞2b－a的解集是x＜，则ax＞b的解集为＿＿＿＿．针对练习21．（2018春·大田县期中）若不等式（a－3）x＜3－a的解集在数轴上表示如图所示，则a的取值范围是＿＿＿＿．2．已知不等式3x＋a≤0的正整数解为1、2、3，则a的取值范围是＿＿＿＿．3．（2017·大庆）若实数3是不等式2x－a－2＜0的一个解，则a可取的最小正整数为（）A．2 B．3 C．4 D．54．解关于X的不等式a(x－b)≤b(x－a)．5．(2018春·新野县期中)已知x＝3是关于x的不等式3x－＞的一个解，求a的取值范围．6．设不等式(m＋n)x＋(2m－3n)＜0的解集为x＜－，求不等式(m－3n)x＋(n－2m)＞0的解．【板块三】实际问题与一元一次不等式(一)方法技巧1．常见的一些等量关系：①行程问题∶路程＝速度×时间；②工程问题:工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量；③利润问题∶商品利润＝商品售价－商品进价，利润率＝×100%；④增长率问题∶增长量＝原有量×增长率；⑤银行存贷款问题∶本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；⑥数字问题∶多位数的表示方法∶例如∶abcd＝a×103＋b×102＋c×10＋d．2．用不等式解决应用问题在设未知数时，表示不等关系的文字(如“至少”〉不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．题型一关系直接型【例1】蓝天运输公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的汽车可供调用．已知A型汽车每辆最多可装该物资20吨，B型汽车每辆最多可装该物资15吨．在每辆车不超载的条件下，要把这300吨物资一次性装运完．问∶在巳确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？【练1】(2018春•秦都区期中)某小区为了绿化环境，计划购进甲、乙两种花卉共31株，甲种花卉每株20元，乙种花卉每株5元，若购买甲、乙两种花卉总费用不超过350元，问至少需要购买乙种花卉多少株？题型二阅读理解型【例2】(2018•上城区一模)为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，水价分为三个阶梯，价格表如下表所示：某市自来水销售价格表类别月用水量(立方米)供水价格(元/立方米)污水处理费(元/立方米)居民生活用水阶梯一0〜18(含18)1.901.00阶梯二18〜25(含25)1.85阶梯三25以上70(注：居民生活用水水价＝供水价格十污水处理费)(1)当居民月用水量在18立方米及以下时，水价是元/立方米．(2)4月份小明家用水量为20立方米，应付水费为：18×(1.90＋1.00)＋2×(2.85＋1.00)＝5.90(元)，预计6月份小明家的用水量将达到30立方米，请计算小明家6月份的水费．(3)为了节省开支，小明家决定每月用水的费用不超过家庭收人的1%，已知小明家的平均月收入为7530元，请你为小明家每月用水量提出建议．【练2】用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表∶甲种原料乙种原料维生素C含量(单位/千克)600100原料价格(元/千克)84现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为xkg，则x应满足的不等式为()A．600x＋100(10－x)≥4200B．8x＋4(100－x)≤4200C．600x＋100(10－x)≤4200D．8x＋4(100－x)≥4200针对练习31．(2018春包河区期中)某商家出售某种商品，标价为360元，比进价高出80%，为了吸引顾客，又进行降价处理，若要使售后利润率不低于20%(利润率＝×100%)，则最多可降价()A．80元B．160元C．100元D．120元2．(2018春南江县期末)南江县出租车收费标准为:起步价3元(即行驶距离小于或等于3千米时都需要付费3元)，超过3千米以后每千米加收1.5元(不足1千米按1千米计)．在南江县，冉丽一次乘出租车出行时付费9元，那么冉丽所乘路程最多是()千米．A．6B．7C．8D．93．(2018春黄岛区期末)三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有()A．6组B．5组C．4组D．3组4．(2018春道里区期末)去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365天)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加天．5．(2018春磴口县期末)蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表，老王用600元批发青菜和西兰花共200斤，老王昨天青菜和西兰花各进了多少斤？青菜西兰花进价(元/斤)2.63.4售价(元/斤)3.64.6(2)今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200斤，但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，青菜每斤售价至少为多少元？6．下面是工厂各部门提供的信息：人事部：明年生产工人不多于800人，每人每年工时按2400工时计算；市场部∶预测明年的产品销售是10000〜12000件；技术部∶该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件；供应部∶今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这些部件60000个．请判定：①工厂明年的生产量至多应为多少件?②为了减少积压，至多可裁减多少工人用于开发其他新产品？【板块四】实际问题与一元一次不等式(二)方法技巧常用不等号读作常见的表示不等关系的数学术语或词语“＞”大于正数、超出、超过、多余“＜”小于负数、不足、少于、低于“≥”大于等于(不小于)非负数、至少、不少于、最低“≤”小于等于(不大于)非正数、至多、不超过、限速、最高“≠”不等于题型一与方程(组)结合【例1】(2018赤峰)小明同学三次到某超市购买益A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：类别次数购买A商品数量(件)购买B商品数量(件)消费金额(元)第一次45320第二次26300第三次57258解答下列问题：(1)第次购买有折扣；(2)求A、B两种商品的原价；(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；(4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在(3)中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．针对练习31．(2018春•包河区期中)某商家出售某种商品，标价为360元，比进价高出80%，为了吸引顾客，又进行降价处理，若要使售后利润率不低于20%(利润率＝×100%)，则最多可降价()A．80元B．160元C．100元D．120元2．(2018春•南江县期末)南江县出租车收费标准为∶起步价3元(即行驶距离小于或等于3千米时都需要付费3元，超过3千米以后每千米加收1.5元(不足1千米按1千米计〉．在南江县，冉丽一次乘出租车出行时付费9元，那么冉丽所乘路程最多是()千米．A．6B．7C．8D．93．(2018春•黄岛区期末)三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有()A．6组B．5组C．4组D．3组4．（2018春•道里区期末)去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数（365天)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加天．5．（2018春•磴口县期末)蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表，老王用600元批发青菜和西兰花共200斤，老王昨天青菜和西兰花各进了多少斤？青菜西兰花进价(元/斤)1.63.4售价(元/斤)3.64.6(2)今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200斤，但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，青菜每斤售价至少为多少元？6．下面是工厂各部门提供的信息：人事部：明年生产工人不多于800人，每人每年工时按2400工时计算；市场部：预测明年的产品销售是10000〜12000件；技术部：该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件；供应部：今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这些部件60000个.请判定：①工厂明年的生产量至多应为多少件？②为了减少积压，至多可裁减多少工人用于开发其他新产品？【板块四】实际问题与一元一次不等式(二)方法技巧常用不等号读作常见的表示不等关系的数学术语或词语“＞”大于正数、超出、超过、多余“＜”小于负数、不足、少于、低于“≥”大于等于(不小于)非负数、至少、不少于、最低“≤”小于等于(不大于)非正数、至多、不超过、限速、最高“≠”不等于题型一与方程(组)结合【例1】(2018赤峰)小明同学三次到某超市购买益A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：类别次数购买A商品数量(件)购买B商品数量(件)消费金额(元)第一次45320第二次26300第三次57258解答下列问题：(1)第次购买有折扣；(2)求A、B两种商品的原价；(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；(4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在(3)中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．【练2】(2018•太原三模)2018年4月22日是第49个世界地球日，今年的主题为“珍惜自然资源呵护美丽国土——讲好我们的地球故事”.在地球日活动周中，同学们开展了丰富多彩的学习活动，某小组搜集到的数据显示，山西省总面积为15.66万平方公里，其中土石山区面积约5.59万平方公里，其余部分为丘陵与平原，丘陵面积比平原面积的2倍还多0.8万平方公里．(1)求山西省的丘陵面积与平原面积；(2)活动周期间，两位家长计划带领若干学生去参观山西地质博物馆，他们联系了两家旅行社，报价均为每人30元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：家长免费，学生都按九折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．若只考虑收费，这两位家长应该选择哪家旅行社更合算？针对练习41．(2018•山西)2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8︰11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm．2．(2018春•洪山区期末)已知购买60件八商品和30件B商品共需1080元；购买50件A商品和20件B商品共需880元．若某商店需购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，且商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，则购买A商品的件数最多为件．3．(2018•南通)小明购买A、B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：次数购买数量(件)购买总费用(元)AB第一次2155第二次1365根据以上信息解答下列问题(1)求A、B两种商品的单价；(2)若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．4．响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的1倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000元/台．(1)至少购进乙种电冰箱多少台？(2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？【练1】(2018•昆明)水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费(现行居民生活用水水价＝基本水价＋污水处理费)；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元．(注：污水处理的立方数＝实际生活用水的立方数)(1)求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？(2)如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？题型二方案选择型【例2】某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表：5载客量(人/辆)4530租金(元/辆)400280红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：(1)用含工的式子填写下表：车辆数(辆)载客量租金(元)x45x400x85－x(2)若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；(3)在(2)的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．【板块五】绝对值不等式方法技巧1