《数据的直观表示》设计

5.1.3数据的直观表示【教学目标】1.了解柱形图、折线图、扇形图的定义．2．能够利用茎叶图解决实际问题．3．会列频数分布表，会画频率分布直方图．【教学重点】能够利用茎叶图解决实际问题．【教学难点】会画频率分布直方图【课时安排】1课时【教学过程】认知初探1．柱形图一般地，柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图中每一矩形都是等宽的．2．折线图一般地，如果数据是随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示．3．扇形图扇形图也称为饼图、饼形图，它可以形象的表示各部分数据在全部数据中所占的比例情况．扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比．4．茎叶图(1)定义将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶可以按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出(也可以没有大小顺序)．(2)茎叶图的优点与不足①优点：一是原始数据信息在图中能够保留，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．②不足：当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便．思考1：一般情况下，茎叶图中的“茎”“叶”分别指哪些数？[提示]“叶”是数据的最后一个数字，其前面的数字作为“茎”．5．作直方图步骤(1)找出最值，计算极差．(2)合理分组，确定区间．(3)整理数据．(4)作出有关图示．思考2：频率分布表与频率分布直方图各有什么特点？[提示]频率分布表反映具体数据在各个不同区间的取值频率，但不直观，数据的总体态势不明显．频率分布直方图能直观地表明数据分布的形状态势，但失去了原始数据．小试牛刀1．某学校为了解学生大课间体育活动情况，随机抽取本校100名学生进行调查．整理收集到的数据，绘制成如图的统计图．若该校共有800名学生，估计喜欢“踢毽子”的学生有()A．100人 B．200人C．300人 D．400人答案：B2.小红同学将自己5月份的各项消费情况制作成扇形统计图(如图)，从图中可看出()A．各项消费金额占消费总金额的百分比B．各项消费的金额C．消费的总金额D．各项消费金额的增减变化情况答案：A3.观察新生婴儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重在[2700，3000)内的频率为()A．0.001 B．0.01C．0.003 D．0.3解析：选D.频率＝eq\f(频率,组距)×组距，组距＝3000－2700＝300，eq\f(频率,组距)＝0.001，所以频率＝0.001×300＝0.3.4．如图是一个班的语文成绩的茎叶图(单位：分)，则优秀率(90分以上)是________，最低分是________．5156034467889735556798023357914%51[由茎叶图知，样本容量为25,90分以上的有1人，故优秀率为eq\f(1,25)＝4%，最低分为51分．]例题讲解柱形图、折线图、扇形图【例1】现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1500名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形统计图．解答下列问题：(1)图中D所在扇形的圆心角度数为________．(2)若2019年全市共有30000名九年级学生，请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名？(3)根据扇形统计图信息，你觉得中学生应该如何保护视力？[思路点拨](1)由扇形统计图中的数据求出D占的百分比，乘以360°即可得到结果；(2)由样本中视力在4.9以下的人数占的百分比，乘以30000即可得到结果；(3)根据扇形统计图中影响视力的因素，提出合理化建议即可．[解](1)根据题意得：360°×(1－40%－25%－20%)＝54°.(2)根据题意得：30000×eq\f(800,1500)＝16000(名)，则估计视力在4.9以下的学生约有16000名．(3)建议中学生应少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力．方法总结1．扇形统计图的特点(1)用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．(2)易于显示每组数据相对于总数的大小．2．条形统计图的特点(1)条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目．(2)易于比较数据之间的差别．3．折线统计图的特点(1)能清楚地反映事物的变化情况．(2)显示数据变化趋势．当堂练习1下图是志愿者老刘对各时间段的一个红绿灯周期内闯红灯的人数制作的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题．(1)估计这一天上午7：00～12：00在这个十字路口共有多少人闯红灯；(2)请你把条形统计图补充完整；(3)志愿者老刘统计，各时间段的一个红绿灯周期内闯红灯的人数占通过该十字路口人数的百分比依次是：15%，20%，12%，15%，25%.求这一天上午7：00～12：00这一时间段中，该十字路口平均每小时大约有多少人通过？解：(1)据题意可得40÷40%＝100，100×3600÷90＝4000.可以估计这一天上午7：00～12：00在这个十字路口共有4000人闯红灯．(2)7：00～8：00每个周期内人数：100×20%＝20，10：00～11：00每个周期内人数：100－20－15－10－40＝15，如图．(3)(20÷15%＋15÷20%＋10÷12%＋15÷15%＋40÷25%)×3600÷90÷5≈4413.该十字路口平均每小时大约有4413人通过．茎叶图例2为了快速了解某学校学生体重(单位：kg)的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示．估计这个学校学生体重的平均数和方差.【解析】将样本中的每一个数都减去50，可得－5，－1，－3，－1，－4，－4,1,8,9,10，这组数的平均数为eq\f(－5－1－3－1－4－4＋1＋8＋9＋10,10)＝1，方差为eq\f(62＋22＋42＋22＋52＋52＋02＋72＋82＋92,10)＝30.4.因此可估计这个学校学生体重平均数为51，方差为30.4.方法总结茎叶图中的三个关注点(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一．(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．(3)给定两组数的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．方法总结1．求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计．2．求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数．3．若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数．当堂练习2如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A．2，5 B．5，5C．5，8 D．8，8解析：选C.由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，所以x＝5.又乙组数据的平均数为eq\f(9＋15＋（10＋y）＋18＋24,5)＝16.8，所以y＝8，故选C.画出频率分布直方图的画法【例3】某省为了了解和掌握2019年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩，数据如下：(单位：分)135981021109912111096100103125971171131109210210910411210512487131971021231041041281091231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图和折线图；(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例．[思路点拨]先求极差．根据极差与数据个数确定组距、组数，然后按频率分布直方图的画法绘制图形．[解]100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80＝55.取组距为5，则组数为eq\f(55,5)＝11.(1)频率分布表如下：分组频数频率频率/组距[80,85)10.010.002[85,90)20.020.004[90,95)40.040.008[95,100)140.140.028[100,105)240.240.048[105,110)150.150.030[110,115)120.120.024[115,120)90.090.018[120,125)110.110.022[125,130)60.060.012[130,135]20.020.004合计1001.000.200注：表中加上“频率/组距”一列，这是为画频率分布直方图准备的，因为它是频率分布直方图的纵坐标．(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示：从频率分布表中可知，这100名考生的数学成绩在[100,120)分之间的频率为0.24＋0.15＋0.12＋0.09＝0.60，据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例为60%.(0.60＝60%)方法总结1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系(1)若eq\f(极差,组距)为整数，则eq\f(极差,组距)＝组数；(2)若eq\f(极差,组距)不为整数，则eq\f(极差,组距)的整数部分＋1＝组数．2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．当堂练习3有一个容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20)，17.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；(3)求样本数据不足0的频率．解析：(1)频率分布表如下：分组频数频率[－20，－15)70.035[－15，－10)110.055[－10，－5)150.075[－5,0)400.2[0,5)490.245[5,10)410.205[10,15)200.1[15,20]170.085合计2001.00(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示：(3)样本数据不足0的频率为：0．035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365. 频率分布直方图的应用【例4】为了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？【解】(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.又因为第二小组的频率＝eq\f(第二小组的频数,样本容量)，所以样本容量＝eq\f(第二小组的频数,第二小组的频率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.方法总结(1)频率分布直方图的性质：①因为小矩形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.③eq\f(频数,相应的频率)＝样本容量．(2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．当堂练习4某电子商务公司对10000名网络购物者2018年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0