山科大材料力学复习9章后

二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力压杆的长细比压杆的柔度计算压杆的临界应力的欧拉公式§13-3压杆的临界应力及临界应力总图一、压杆的临界应力二、欧拉公式的适用范围经验公式在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉公式也只有在满足胡克定律时才能适用：欧拉公式的适用范围：满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则所以，只有压杆的长细比λ≥100时，才能应用欧拉公式计算其临界压力。当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适用。直线公式式中a、b是与材料性质有关的系数。在工程上，一般采用经验公式。在我国的设计手册和规范中给出的是直线公式和抛物线公式。下面考虑经验公式的适用范围：经验公式的适用范围对于塑性材料：对于λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问题经验公式中，抛物线公式的表达式为式中 也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中查到。三、临界应力总图小柔度杆中柔度杆大柔度杆CL13TU20§13-4压杆的稳定性计算稳定性条件：式中 ------压杆所受最大工作载荷 ------压杆的临界压力 ------压杆的规定稳定安全系数稳定性条件也可以表示成：式中 为压杆实际的工作稳定安全系数。例：非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比实际＿＿＿＿＿＿；横截面上的正应力有可能＿＿＿＿＿＿＿＿＿。大，危险超过比例极限例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则(A)P1=P2(B)P1<P2(C)P1>P2 (D)不能断定P1和P2的关系CL13TU10例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿。例：三种不同截面形状的细长压杆如图所示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主惯性轴转动。正方形等边角钢槽钢CL13TU12例：五根直径都为d的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。求图(a)、(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。CL13TU15 例：图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为细长压杆。确定使载荷P为最大值时的θ角（设0<θ<π/2）。②①CL13TU16②①②①

第十章动载荷(Dynamicloading)§10-1概述§10-2动静法的应用§10-3构件受冲击时的应力和变形§10-4冲击韧性2/1/20231、静荷载（Staticload）

§10-1概述2、动荷载（Dynamicload）一、基本概念

载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部件加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷。例:起重机以等速度吊起重物，重物对吊索的作用为静载。起重机以加速度吊起重物，重物对吊索的作用为动载。

旋转的飞轮、气锤的锤杆工作时、打桩均为动荷载作用。

载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产生惯性力），此类载荷为动载荷。二、动响应（Dynamicresponse）

构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移等）,称为动响应（dynamicresponse）.三、动荷因数（Dynamic

factor）

四、动荷载的分类1.惯性力（Inertiaforce）2.冲击荷载（Impactload）3.振动问题（Vibrationproblem）4.交变应力（Alternatestress）动荷因数Kd=动响应静响应实验表明：在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超过比例极限,在动载荷下胡克定律仍成立且E静=E动.

达朗伯原理（D’Alembert’sPrinciple）:处于不平衡状态的物体,存在惯性力,惯性力的方向与加速度方向相反,惯性力的数值等于加速度与质量的乘积.只要在物体上加上惯性力,就可以把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理,这就是动静法

（Methodofkinetostatic）.§10-2动静法的应用

惯性力（Inertiaforce）:大小等于质点的质量m与加速度a的乘积,方向与a的方向相反,即F=-ma在冲击过程中,运动中的物体称为冲击物

（impactingbody）阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物

（impactedbody）

§10-3构件受冲击时的应力和变形

一个运动的物体（冲击物）以一定的速度，撞击另一个静止的物体（被冲击构件），静止的物体在瞬间使运动物体停止运动，这种现象叫做冲击。冲击时,冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化,其加速度a很难测出,无法计算惯性力,故无法使用动静法.在实用计算中,一般采用能量法.即在若干假设的基础上,根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变形进行偏于安全的简化计算.机械能守恒定律T,V是冲击物在冲击过程中所减少的动能和势能.Vεd是被冲击物所增加的应变能.一、自由落体冲击问题（Impactproblemaboutthefreefallingbody）几点假设：1.冲击物视为刚体,不考虑其变形；2.被冲击物的质量远小于冲击物的质量,可忽略不计；3.冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动；4.不考虑冲击时热能的损失,即认为只有系统动能与势能的转化。冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，其加速度a很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用计算中，一般采用能量法。CL14TU6现考虑重为Q的重物从距弹簧顶端为h处自由下落，在计算时作如下假设:1.冲击物视为刚体，不考虑其变形;2.被冲击物的质量远小于冲击物的质量，可忽略不计;3.冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动;4.不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系统动能与位能的转化。CL14TU6重物Q从高度为h处自由落下，冲击到弹簧顶面上，然后随弹簧一起向下运动。当重物Q的速度逐渐降低到零时，弹簧的变形达到最大值Δd，与之相应的冲击载荷即为Pd。根据能量守恒定律可知，冲击物所减少的动能T和位能V，应全部转换为弹簧的变形能Ud,即（1）当载荷突然全部加到被冲击物上,即h=0时由此可见,突加载荷的动荷因数是2,这时所引起的荷应力和变形的2倍.讨论Ph（2）若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为v,则Ph（3）若已知冲击物自高度h处以初速度下落,则例题6：图示矩形截面梁，抗弯刚度为EI，一重为F的重物从距梁顶面h处自由落下，冲击到梁的跨中截面上。求：梁受冲击时的最大应力和最大挠度。FABCHL/2L/2AL/2L/2BFC解（1）动荷系数（2）最大应力（3）最大挠度bZhYZdstddWFLKK41maxmax==ssFABChL/2L/2AL/2L/2BFCA、B支座换成刚度为C的弹簧例题7已知：d1=0.3m,l=6m,P=5kN,E1=10GPa,求两种情况的动应力。（1）H=1m自由下落；（2）H=1m,橡皮垫d2=0.15m,h=20mm,E2=8MPa.HPPhld1d1d2解：（1）

=0.0425mm(2)加橡皮垫d2=0.15m,h=20mm,E2=8MPa.

=0.75mm,Kd=52.3HPPhld1d1d2二、水平冲击杆件的变形能冲击物的动能损失能量转换关系对于线弹性体动载荷系数lG静载荷G作用下的位移杆内的最大静应力杆内的最大动应力四、提高构件抵抗冲击能力的措施

工程上常利用冲击进行锻造、冲压、打桩以及粉碎等，这时就需要尽量降低冲击应力，以提高构件抗冲击的能力。

冲击应力的大小取决于Kd的值，静位移Dst越大，动荷系数Kd越小，（因为静位移Dst增大，表示构件柔软，因而能更多地吸收冲击时的能量，从而降低冲击载荷和冲击应力，提高构件抗冲击的能力）。增大静位移Dst的具体措施如：以上这些弹性元件不仅起了缓冲作用，而且能吸收一部分冲击动能，从而明显降低冲击动应力。

另外，把刚性支座改为弹性支座能提高系统的静位移值，不失为一种提高构件的抗冲击能力的良好措施。值得注意的是，在提高静位移、减小Kd的同时，应避免提高静应力。

对于等截面受冲拉（压）或扭转杆件，其冲击应力与构件的体积有关。增大构件的体积，可提高构件的抗冲击能力。对于变截面受冲杆件，上述增加体积降低冲击应力的方法并不适用。

在汽车车粱与轮轴之间安装叠板弹簧；火车车窗玻璃与窗框之间、机器零件之间装有橡皮垫圈；以大块玻璃为墙的新型建筑物，把玻璃嵌在弹性约束之中等等。例：等截面刚架的抗弯刚度为EI，抗弯截面系数为W，重物Q自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。CL14TU12§11–1

交变应力与疲劳失效一、交变应力（Alternatingstress)

构件内一点处的应力随时间作周期性变化,这种应力称为交变应力.AFtsＯ二、产生的原因例题1一简支梁在梁中间部分固接一电动机,由于电动机的重力作用产生静弯曲变形,当电动机工作时,由于转子的偏心而引起离心惯性力.由于离心惯性力的垂直分量随时间作周期性的变化,梁产生交变应力.1.载荷做周期性变化2.载荷不变,构件点的位置随时间做周期性的变化静平衡位置ωttstmaxmin例题2火车轮轴上的力来自车箱.大小、方向基本不变.即弯矩基本不变.FF横截面上A点到中性轴的距离却是随时间t变化的.假设轴以匀角速度

转动.tzAA点的弯曲正应力为随时间t

按正弦曲线变化t12341O三、疲劳破坏材料在交变应力作用下的破坏习惯上称为疲劳破坏（fatiguefailure）（1）交变应力的破坏应力值一般低于静载荷作用下的强度极限值,有时甚至低于材料的屈服极限.

（2）无论是脆性还是塑性材料,交变应力作用下均表现为脆性断裂,无明显塑性变形.（3）断口表面可明显区分为光滑区与粗糙区两部分.1.疲劳破坏的特点一个应力循环一、基本参数应力每重复变化一次,称为一个应力循环（stresscycle）Ot在拉,压或弯曲交变应力下在扭转交变应力下maxmin最小应力和最大应力的比值称为循环特征（cyclesymbol）.用r表示.1.应力循环(Stresscycle)2.循环特征3.应力幅O一个应力循环tmaxminaa4.平均应力最大应力和最小应力代数和的一半,称为交变应力的平均应力（meanstress）.用sm表示.最大应力和最小应力的差值的的二分之一,称为交变应力的应力幅（stressamplitude）用sa表示二、交变应力的分类1.对称循环在交变应力下若最大应力与最小应力等值而反号.Omaxmint

min=-max或min=-maxr=-1时的交变应力,称为对称循环（symmetricalreversedcycle）交变应力.（1）若非对称循环交变应力中的最小应力等于零（

min=0）r=0的交变应力,称为脉动循环

（fluctuatingcycle）交变应力

时的交变应力,称为非对称循环（unsymmetricalreversedcycle）交变应力.Omaxmin=0t2.非对称循环（2）r>0为同号应力循环;r<0为异号应力循环.（3）构件在静应力下,各点处的应力保持恒定，即max=min

.若将静应力视作交变应力的一种特例,则其循环特征Omaxmin=0t§11-4影响构件持久极限的因素一、构件外形的影响

若构件上有螺纹、键槽、键肩等,其持久极限要比同样尺寸的光滑试件有所降低.其影响程度用有效应力集中因数表示.和都大于1二、构件尺寸的影响光滑大试件的持久极限光滑小试件的持久极限大试件的持久极限比小试件的持久极限要低尺寸对持久极限的影响程度,用尺寸因数表示三、构件表面质量的影响若构件表面经过淬火,氮化,渗碳等强化处理,其持久极限也就得到提高.表面质量对持久极限的影响用表面状态因数β表示其他加工情况的构件的持久极限表面磨光的试件的持久极限实际构件表面的加工质量对持久极限也有影响,这是因为不同的加工精度在表面上造成的刀痕将呈现不同程度的应力集中综合考虑上述三种影响因素,构件在对称循环下的持久极限b为表面状态因数为有效应力集中因数为尺寸因数为表面磨光的光滑小试件的持久极限如果循环应力为切应力,将上述公式中的正应力换为切应力即可.

对称循环下,r=-1.上述各系数均可查表而得.

§11–5对称循环下构件的疲劳强度计算一、对称循环的疲劳许用应力二、对称循环的疲劳强度条件同理

§11–6持久极限曲线107Nsmaxr＝0.25r＝0r＝-1与测定对称循环特征持久极限s-1的方法相类似,在给定的循环特征r下进行疲劳试验,求得相应的S－N曲线.利用S－N曲线便可确定不同r值的持久极限sr循环特征相同的所有应力循环都在同一射线上.离原点越远,纵横坐标之和越大,应力循环的smax也越大只要smax不超过同一r下的持久极限sr,就不会出现疲劳失效所以在每一条由原点出发的射线上,都有一个由持久极限sr确定的临界点（如OP上的P’）.将这些点联成曲线即为持久极限曲线sasmOsasmPP’ACsbBsasmOsasmPP’由于需要较多的试验资料才能得到持久极限曲线,所以通常采用简化的持久极限曲线最常用的简化方法是由对称循环,脉动循环和静载荷,取得A,C,B三点用折线ACB代替原来的曲线折线AC部分的倾角为γ,斜率为直线AC上的点都与持久极限sr相对应,将这些点的坐标记为srm和sra于是AC的方程可写为§11–8弯扭组合交变应力的强度计算弯扭组合对称循环下的强度条件其中是单一弯曲对称循环下的安全因数是单一扭转对称循环下的安全因数

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1概述§13-2杆件变形能的计算§13-3互等定理§13-4单位荷载法莫尔定理§13-6卡氏定理§13-5计算莫尔积分的图乘法§13-7虚功原理§13-1概述外力功：弹性体在外力作用下发生变形，于是外力的作用点将沿外力的作用方向产生位移（相应位移）。外力在相应位移上所作的功称为外力功。变形能：在外力作功的同时，弹性体因变形而具有了作功的能力，即弹性体因变形而储存了能量。这种能量称为变形能。外力功和变形能的关系：若外力从零平缓地增加到最终值，则变形中的弹性体每一瞬时都处于平衡状态，故其动能和其它能量损失不计，于是认为全部外力共都转变成变形能。即：能量法：利用外力功和变形能的概念，建立分析变形、位移、内力的原理和方法，称为能量法。§13-2杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算1.轴向拉压的变形能此外力功的增量为：当拉力为F1时,杆件的伸长为Δl1当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(Δl1)FFllFFllFlFOll1dl1dF1F1积分得:根据功能原理承受轴向拉压的阶梯杆:FlFOll1dl1dF1F1（单位J/m3)

●应变比能（strainenergydensity）:单位体积的应变能.记作u当轴力或截面连续变化时：qLxdx2.扭转杆内的变形能或lMeMeMeoB纯弯曲横力弯曲3.弯曲变形的变形能（Strainenergyforflexuralloads）θMeMeMeMePM=PaACBaa一般实心截面的细长梁:剪切变形能远小于其弯曲变形能，通常忽略不计。圆环形截面:k=2；4、剪切产生的应变能k称为剪切挠度因子，

由截面的几何形状决定矩形截面:k=1.2；圆截面:k=10/9；dxdydzxyzabddx杆件在基本变形情况下的变形能：

变形形式外力功位移与力的关系变形能不考虑4.组合变形的变形能（Strainenergyforcombinedloads)截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.

二、变形能的普遍表达式（Generalformulaforstrainenergy）F--广义力(包括力和力偶)δ--广义位移(包括线位移和角位移)B'C'F3BCF2AF1假设广义力按某一比例由零增加到最终值对应的广义位移也由零增加到最终值.对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移,例如

2可表示为F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分别表示力F1,F2,F3在C点引起的竖向位移.C1,C2,C3是比例常数.F3/F2在比例加载时也是常数F1/F2和2与F2之间的关系是线性的.同理,1与F1,3与F3之间的关系也是线性的.在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉贝隆原理（只限于线性结构）Fii线弹性，位移可以叠加Δ1FP1FP1+FP2ΔFP2Δ2FPΔOFPΔOFPΔOΔ2Δ1Δ=Δ1+Δ2思考：变形能的计算能不能用叠加原理线弹性,位移可以叠加,但应变能不能叠加Δ1FP1FP1+FP2ΔFP2Δ2FPΔOFPΔOFPΔOΔ2Δ1Vε1Vε2VεVε1Vε2FPΔOFPΔOFPΔO非线性弹性，位移也不可以叠加Δ1FP1FP2Δ2FP1+FP2ΔΔ2FPMFPMABABABFABllCABllCABllCFMM叠加法最本质的内涵—力的独立作用原理。三、变形能的应用1.计算变形能2.利用功能原理计算变形

例题1试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度.ABFlx解：由Vε=W得例题2试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截面的挠度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得

功的互等定理（reciprocalworktheorem）:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.二、位移互等定理若第一组力F1,第二组力只有F3,则如果F1=

F3,则有

位移互等定理（reciprocalworktheorem）：

F1作用点沿F1方向因作用F3而引起的位移等于F3作用点沿F3方向因作用F1而引起的位移.三、注意（Notice）（1）力和位移都应理解为广义的.（2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变形引起的位移.例：如图在外伸梁的自由端作用力偶矩，试用功的互等定理法求梁跨度中点的挠度值。

解：由功的互等定理得：而查表可以得到：代入上式即得到：§13-4单位荷载法莫尔定理一、莫尔定理的推导求任意点A的位移wA

F1F2A

A图b变形能为aA图F1F2=1F0AF1F2图cwAF0=1（1）先在A点作用单位力F0,再作用力F1、F2（2）三个力同时作用时任意截面的弯矩:变形能:经过简化，得：式中：若求梁上某截面的转角时，则在该截面处加一单位力偶，然后按照上述相同的步骤推导，得转角的表达式——莫尔积分综上，可将计算挠度、转角的公式，写成统一的形式——原载荷引起的弯矩；——与广义位移相应的广义单位力引起的弯矩——待求的广义位移；这种计算位移的方法称为莫尔积分法又称单位载荷法。（Mohr’sTheorem）二、普遍形式的莫尔定理（Generalformulaformohr’stheorem）——原载荷引起的内力；单位载荷法只适用于线弹性的杆件和杆系结构。

式中：——与广义位移相应的广义单位力引起的内力。注意：三、使用莫尔定理的注意事项（5）莫尔积分必须遍及整个结构.（1）M（x）：结构在原载荷下的内力;（3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲;（2）——去掉主动力,在所求广义位移点,沿所求广义位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力;M（4）与M（x）的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立;M（x）一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移广义力与广义位移的对应关系例题10图示为一水平面内的曲杆，B处为一刚性节点，ABC=90°在C处承受竖直力F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是EI和GIp，求C点竖向的位移.ABCFabxx解:在C点加竖向单位力BC:ABCFabABC1abxxAB:xxABCFabABC1abxx例题12刚架受力如图,求A截面的垂直位移,水平位移及转角.ABCllqAB：BC：解:求A点铅垂位移（在A点加竖向单位力）xxxxABCllqABCllq1求A点水平位移（在A点加水平单位力）AB：BC：xxxxABCllqABCllq1xx求A点的转角（在A点加一单位力偶）AB:BC：xxABCllqABCllq1（）§13-5计算莫尔积分的图乘法

(Themethodofmomentareasforthemohr’sintegration)等直杆的情况下,莫尔积分中的EI为常量,可提到积分号外面只需计算:M(x)xlxωxcC对于等直杆有即积分可用M(x)图的面积w

和与M(x)图形心C对应的的乘积来代替MC当M图为正弯矩时,w应代以正号.当M图为负弯矩时,w应代以负号.也应按弯矩符号给以正负号.MC注意有时M(x)图为连续光滑曲线,而为折线,则应以折线的转折点为界,把积分分成几段,逐段使用图乘法,然后求其和.M(x)b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点二次抛物线lh顶点cN

次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/4例题15均布荷载作用下的简支梁,其EI为常数.求跨中点的挠度.ABCql/2l/2FABCl/2l/