主成分分析法

江西财经大学数学与管理工程系华长生电话：3816092Email:huachsh@论坛：/bbsxp/Default.asp经济模型与应用软件主成分分析法1流行的彩票类型：

传统型：采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如下表（X表示未选中的号码）实际举例彩票销售方案的评价

——CMCM2002赛题2传统型“10选6+1”彩票奖项设置中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中（6+1）二等奖abcdef

选7中（6）三等奖abcdeXXbcdef选7中（5）四等奖abcdXXXbcdeXXxcdef选7中（4）五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中（2）彩票销售方案的评价3

乐透型：有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如下表

彩票销售方案的评价4乐透型“33选7”彩票奖项设置中奖等级33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中（7）●●●●●●★选7中（6+1）二等奖●●●●●●○

★选7中（6+1）●●●●●●

选7中（6）三等奖●●●●●●○选7中（6）●●●●●○★选7中（5+1）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）●●●●●○选7中（5）五等奖●●●●●○○选7中（5）●●●●○○★选7中（4+1）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）●●●●○○选7中（4）七等奖●●●●○○○选7中（4）●●●○○○★选7中（3+1）注：●为选中的基本号码；★

为选中的特别号码；○

为未选中的号码。

彩票销售方案的评价5目前流行的彩票销售规则繁多，相应的奖金设置方案也各不相同，如附录一中给出了29种常见的彩票方案，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖奖金数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额

×总奖金比例)

-低项奖奖金总额

]×单项奖比例彩票销售方案的评价6序号

方案一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额备注16+1/1050%20%30%50

按序26+1/1060%20%20%300205

按序36+1/1065%15%20%300205

按序46+1/1070%15%15%300205

按序57/2960%20%20%300305

66+1/2960%25%15%200205

77/3065%15%20%50050155

87/3070%10%20%20050105

97/3075%10%15%20030105

107/3160%15%25%500502010

117/3175%10%15%320305

127/3265%15%20%5005010

137/3270%10%20%5005010

147/3275%10%15%5005010

彩票销售方案的评价7157/3370%10%20%600606

167/3375%10%15%50050105

177/3465%15%20%500306

187/3468%12%20%50050102

197/3570%15%15%300505

207/3570%10%20%500100305

217/3575%10%15%1000100505

227/3580%10%10%20050205

237/35100%20002042

无特别号246+1/3675%10%15%500100105

256+1/3680%10%10%50010010

267/3670%10%20%50050105

277/3770%15%15%150010050

286/4082%10%8%200101

295/6060%20%20%30030

序号方案一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额备注彩票销售方案的评价8问题:对常见的29种彩票销售规则和相应的奖金设置方案就彩票中奖率、奖项和奖金额的设置及对彩民的吸引力等因素，通过建立评价模型，对这些方案进行综合评价，并且给出排序结果，以供彩票管理部门作决策参考。根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、各种奖项的奖金在总奖金中的比率，不同彩票的总中奖率，并建立数学模型评价各方案奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素的合理性。

彩票销售方案的评价9多指标综合评价方法根据权重确定方法的不同，大致可分为两类：主观赋权法：如层次分析法、德尔菲法等，多是采用综合咨询评分的定性方法，这类方法因受到人为因素的影响，往往会夸大或降低了某些指标的作用，致使排序的结果不能完全真实地反映事物间的现实关系。客观赋权法：即根据各指标间的相关关系或各项指标值的变异程度来确定权数，避免了人为因素带来的偏差。如主成分分析法、因子分析法等。10主成分分析法11主成分概念首先是由KarlParson在1901年引进的,不过当时只对非随机变量来讨论的.1933年Hotelling将这个概念推广到随机向量.在实际问题中,经常会遇到研究多指标(变量)问题,然而在多数情况下,不同指标之间是有一定相关性.由于指标较多再加上指标之间有一定的相关性,势必增加了分析问题的复杂性.主成分分析就是设法将原来指标重新组合成一组新的互相无关的几个综合指标来代替原来指标,同时根据实际需要从中选取几个较少的综合指标尽可能多地反映原来指标的信息.什么是主成分分析12这种将多个指标化为少数互相无关的综合指标的统计方法就叫主成分分析或称为主分量分析.也是数学上处理降维的一种方法.例如,某人要做一件上衣要测量很多尺寸,如身长、袖长、胸围、腰围、肩宽、肩厚等等十几个指标，但某服装厂要生产一批新型服装绝不可能把尺寸的型号分得过多，而是从多种指标中综合成几个少数的综合指标，做为分类的型号，利用主成分分析将十几项指标综合成3项指标，一项是反映长度的指标，一项是反映胖瘦的指标，一项是反映特体的指标。在商业经济中用主成分分析可将复杂的一些数据综合成几个商业指数形式，如物价指数、生活费用指数、商业活动指数等等。什么是主成分分析13主成分分析综合评价法具有以下优点：第一，可消除评价指标之间的相关影响。因为主成分分析在对原指标变量进行变换后形成了彼此相互独立的主成分，而且实践证明指标间相关程度越高，主成分分析效果越好。第二，可减少指标选择的工作量，对于其它评价方法，由于难以消除评价指标间的相关影响，所以选择指标时要花费不少精力，而主成分分析由于可以消除这种相关影响，所以在指标选择上相对容易些。第三、主成分分析中各主成分是按方差大小依次排列顺序的，在分析问题时，可以舍弃一部分主成分，只取前面方差较大的几个主成分来代表原变量，从而减少了计算工作量。什么是主成分分析14主成分分析就是设法将原来众多具有一定相关性的指标（比如p个指标），重新组合成一组相互无关的综合指标来代替原来指标。通常数学上的处理就是将原来p个指标作线性组合，作为新的综合指标，但是这种线性组合，如果不加限制，则可以有很多，我们应该如何去选取呢？如果将选取的第一个线性组合即第一个综合指标记为F1，自然希望F1尽可能多的反映原来指标的信息，这里的“信息”用什么来表达？最经典的方法就是用F1的方差来表达，即Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。因此在所有的线性组合中所选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。基本思想15如果第一主成分不足以代表原来p个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合。为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，用数学语言表达就是要求Cov(F1,F2)=0，称F2为第二主成分，依此类推，可以制造出第三、四……第p个主成分。不难想像这些主成分之间不仅不相关，而且它们的方差依次递减。因此，在实际工作中，就挑选前几个最大的主成分(一般取信息量包含85%以上的前几个指标），虽然这样做会损失一部分信息，但是由于它使我们抓住了主要矛盾，并从原始数据中进一步提取了某些新的信息，因而在某些实际问题的研究中得益比损失大，这种既减少了变量的数目又抓住了主要矛盾的做法有利于问题的分析和处理。基本思想161）给定样本数据主成分分析法基本原理项目指标指标间的差异17标准化标准化数据矩阵向量化主成分分析法原理182)计算相关系数矩阵