第六章IIR滤波器的设计方法

第六章

IIR数字滤波器设计方法第六章IIR滤波器的设计方法学习目标理解数字滤波器的基本概念掌握冲激响应不变法掌握双线性变换法掌握Butterworth、Chebyshev低通的特点了解利用模拟滤波器设计IIR滤波器的设计过程了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法本章作业练习

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1(1)3456.1数字滤波器的基本概念一、滤波器的功能滤波器的功能是对输入信号进行滤波以增强所需信号部分，抑制不要的部分。a）时域说明b）频域说明6.1数字滤波器的基本概念

二、数字滤波器的分类

经典滤波器：

现代滤波器：

选频滤波器维纳滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器等按功能分：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器按实现的网络结构或单位抽样响应分：FIR滤波器（N-1阶）IIR滤波器（N阶）三、数字滤波器的技术要求选频滤波器的频率响应：

为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的幅度加权情况

为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后各频率成分的信号延时情况6.2数字滤波器的实现步骤（2）用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标（1）按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标（3）利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等（4）实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法 ：阻带截止频率（1）低通滤波器的容限图6.3数字滤波器的技术指标 ：通带截止频率 ：通带纹波 ：阻带纹波2.数学描述式（误差）阻带：过渡带：通带：通带最大衰减：阻带最小衰减：其中：当时，称为3dB通带截止频率（2）各种滤波器的幅度响应的容限图及技术指标（2）各种滤波器的幅度响应的容限图及技术指标（3）表征滤波器频率响应的特征参量a.幅度平方响应

的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的H(z)的极点：单位圆内的极点b.相位响应相位响应：（3）群延迟响应相位对角频率的导数的负值若滤波器通带内=常数， 则为线性相位滤波器7.4IIR数字滤波器的设计方法分类先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：即为求滤波器的各系数：计算机辅助设计法

s平面逼近：模拟滤波器z平面逼近：数字滤波器7.4IIR数字滤波器的设计方法分类7.5用模拟滤波器设计IIR数字滤波器一、设计思想：

s平面z平面 模拟系统数字系统（1）H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆（2）因果稳定的Ha(s)映射到因果稳定的H(z)，即s平面的左半平面Re[s]<0，映射到z平面的单位圆内|z|<1二、设计要求：7.5.1概述三、设计方法：-冲激响应不变法-阶跃响应不变法-双线性变换法7.5.2冲激响应不变法数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应（1）、变换原理T—抽样周期（2）、混迭失真仅当数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为

实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小当滤波器的设计指标以数字域频率给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象（3）、模拟滤波器的数字化方法系数相同：极点：s平面z平面稳定性不变：s平面z平面不是所有的点都按照上述映射关系。当T很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正令：由于：试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：设T=1s，则模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：（4）、优缺点优点：缺点：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 时域逼近良好频率保持线性关系：解：冲激响应不变法：例：用冲激响应不变法将以下变换为抽样周期为T。，（1）将部分分式分解：经冲激响应不变法变换后得：7.5.3阶跃响应不变法（1）变换原理数字滤波器的阶跃响应 模仿模拟滤波器的阶跃响应 T—抽样周期阶跃响应不变法同样有频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小。7.5.4双线性变换法（1）变换原理使数字滤波器的频率响应 与模拟滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数c（2）变换常数c的选择b.某一特定频率严格相对应：a.低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置c.逼近情况1）

s平面虚轴z平面单位圆2）左半平面单位圆内

s平面z平面右半平面单位圆外虚轴单位圆上d.优缺点优点：避免了频率响应的混迭现象s平面与z平面为单值变换缺点：

除了零频率附近，与之间严重非线性2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变1）线性相位模拟滤波器非线性相位数字滤波器e.模拟滤波器的数字化方法f.预畸变 给定数字滤波器的截止频率w1，则按W1设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到w1为截止频率的数字滤波器例：设有一模拟滤波器抽样周期，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数解：由变换公式及，，可得可分解成级联的低阶子系统可分解成并联的低阶子系统7.6常用模拟低通滤波器特性将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器模拟滤波器巴特沃斯Butterworth滤波器切比雪夫Chebyshev滤波器贝塞尔Bessel滤波器椭圆Ellipse滤波器7.6.1由幅度平方函数确定系统函数h(t)是实函数将左半平面的的极点归将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为的零点，虚轴上的零点一半归特点：极点成象限对称1）由幅度平方函数得象限对称的s平面函数2）将因式分解，得到各零极点3）对比和，确定增益常数4）由零极点及增益常数，得例：解：极点：零点：（二阶）零点：的极点：设增益常数为K07.6.2Butterworth低通逼近(1)幅度平方函数N取正整数，表示滤波器的阶数为通带截止频率两个参数:(2).幅度函数的特点：

（2）

（3）

通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小

（4）过渡带及阻带内快速单调减小

（1）称为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽通带内，N值越大，衰减越慢，幅度越平坦；阻带内，N值越大，衰减越快。Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：(3)系统函数的求解a.极点分布特点极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点；

极点间的角度间隔为

极点不落在虚轴上；N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点（2）滤波器的系统函数：（3）滤波器的设计步骤：根据技术指标求出滤波器阶数N：确定技术指标：由得：同理：令则：其中技术指标给出或由下式求出：阻带指标有富裕或通带指标有富裕写出系统函数例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率到之间的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。1、用冲激响应不变法设计1）由数字滤波器的技术指标：2）得模拟滤波器的技术指标：选T=1sa）确定参数 用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真3）设计Butterworth模拟低通滤波器b)求出极点（左半平面）c)构造系统函数4）将展成部分分式形式:变换成Butterworth数字滤波器：2、用双线性变换法设计1）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：a）确定参数 用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题3）设计Butterworth模拟低通滤波器b)求出极点（左半平面）c)构造系统函数4）将变换成Butterworth数字滤波器：三、Chebyshev低通逼近N：滤波器的阶数1.幅度平方函数：截止频率，不一定为3dB带宽，表示通带波纹大小，越大，波纹越大：N阶Chebyshev多项式三个参数：

2.幅度函数特点：通带外：迅速单调下降趋向0N为偶数N为奇数通带内：在1和间等波纹起伏

3.三个参量的确定：通带截止频率，给定：表征通带内波纹大小N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数由通带衰减决定阻带衰减越大所需阶数越高为阻带截止频率4.确定系统函数（1）极点分布特点（2）滤波器的系统函数：其中：5.滤波器的设计步骤 归一化：确定技术指标：根据技术指标求出滤波器阶数N及：其中：由下式求出：求出极点：根据N确定系数，写出系统函数例：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤波器，要求在频率低于rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率到之间的阻带内，衰减大于15dB。1）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：a）确定参数3）设计Chebyshev模拟低通滤波器b)求左半平面极点c)构造系统函数c’)去归一化b’)由N=4，直接查表得或者：4）将变换成Chebyshev数字滤波器：②将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标小结：利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤

通带截止频率、通带衰减 阻带截止频率、阻带衰减通带截止频率阻带截止频率通带截止频率阻带截止频率①确定数字滤波器的技术指标：冲激响应不变法双线性变换法③按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器④将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器冲激响应不变法双线性变换法四、设计IIR型滤波器的频率变换法例：二阶Butterworth归一化模拟滤波器（LPF）为：设计对应3dB截止模拟频率为50Hz的二阶Butterworth数字滤波器。设数字系统采样频率为500Hz，并采用阶跃响应不变法来设计。解：求模拟系统函数：最后得（用在z-1表示）代入T=1/500，计算ZT得五、模拟滤波器数字化方法可分解成级联的低阶子系统可分解成并联的低阶子系统6.8常用模拟低通滤波器特性将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器模拟滤波器巴特沃斯Butterworth滤波器切比雪夫Chebyshev滤波器椭圆Ellipse滤波器贝塞尔Bessel滤波器1、由幅度平方函数确定模拟滤波器的系统函数h(t)是实函数将左半平面的的极点归Ha(s)将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为Ha(s)的零点，虚轴上的零点一半归Ha(s)Ha(s)Ha(-s)的零极点分布由幅度平方函数得象限对称的s平面函数对比和，确定增益常数由零极点及增益常数，得例：解：极点：零点：（二阶）零点：的极点：设增益常数为K01）巴特沃尔斯滤波器（Butterworth）2、常见模拟滤波器设计幅度平方函数：当称Wc为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽N为滤波器的阶数Wc为通带截止频率1）幅度函数特点：

3dB不变性通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小过渡带及阻带内快速单调减小当W＝Wst（阻带截止频率）时，衰减的d1为阻带最小衰减Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：2）幅度平方特性的极点分布：极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点极点间的角度间隔为极点不落在虚轴上

N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点Ha(s)Ha(-s)的零极点分布(a)N=4(三阶）(b)N=4（四阶）3）滤波器的系统函数：为归一化系统的系统函数去归一化，得4）滤波器的设计步骤：根据技术指标求出滤波器阶数N：确定技术指标：由得：同理：令则：求出归一化系统函数： 或者由N，直接查表得其中技术指标Wc给出或由下式求出： 其中极点：去归一化阻带指标有富裕或通带指标有富裕例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于0.2prad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率0.3p到p之间的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。1、用冲激响应不变法设计1）由数字滤波器的技术指标：2）得模拟滤波器的技术指标：选T=1sa）确定参数 用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真3）设计Butterworth模拟低通滤波器b)求出极点（左半平面）c)构造系统函数或者b’)由N=6，直接查表得c’)去归一化4）将Ha(s)展成部分分式形式:变换成Butterworth数字滤波器：用冲激响应不变法设计出的Butterworth滤波器2、用双线性变换法设计1）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：a）确定参数 用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题3）设计Butterworth模拟低通滤波器b)求出极点（左半平面）c)构造系统函数或者b’)由N=6，直接查表得c’)去归一化4）将Ha(s)变换成Butterworth数字滤波器：2）切贝雪夫滤波器（Chebyshev）N：滤波器的阶数Wc：截止频率，不一定为3dB带宽0<e<1，表示通带波纹大小，e越大，波纹越大CN(x)：N阶Chebyshev多项式TypeIChebyshevN为偶数N为奇数

通带内：在1和间等波纹起伏通带外：迅速单调下降趋向0Chebyshev滤波器的三个参量：Wc：通带截止频率，给定

e：表征