《对数函数的性质与图像》设计

《对数函数的性质与图像第1课时》教学设计【教学目标】1.理解对数函数的概念、图像及性质．2.根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．3．初步掌握对数函数的图像和性质，会解与对数函数相关的定义域与图像问题【教学重点】理解对数函数的概念、图像及性质．【教学难点】初步掌握对数函数的图像和性质，会解与对数函数相关的定义域与图像问题【课时安排】1课时【教学过程】认知初探1.对数函数的概念函数__y＝logax__叫做对数函数，其中_x__是自变量，函数的定义域是_(0，＋∞)思考1对数函数的解析式有何特征?提示:提示:①a>0,且a≠1;②的系数为1;③自变量x的系数为1.2.对数函数的图像与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域__(0，＋∞)____值域R过点_(1,0)_____，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是____增函数__在(0，＋∞)上是减函数思考2：对于对数函数y=,y=,y=,y=…,为什么一定过点(1,0)?提示:当x=1时,恒成立,即对数函数的图像一定过点(1,0).思考3：对于对数函数y=(a>0且a≠1),在表中,?处y的范围是什么?底数x的范围y的范围a>1x>1?0<x<1?0<a<1x>1?0<x<1?提示底数x的范围y的范围a>1x>1y>00<x<1y<00<a<1x>1y<00<x<1y>0小试牛刀1．下列函数中是对数函数的是()A．y＝logxB．y＝log(x＋1)C．y＝2logxD．y＝logx＋1A解析：形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数．2.函数f(x)＝eq\r(x－1)＋lgx的定义域是()A．(0，＋∞) B．(0，1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)C解析：因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0,x>0))，所以x≥1.3.函数y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图像大致是()A解析:∵0＜a＜1，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝loga(x－1)的图像是由y＝logax的图像向右平移一个单位得到，故A正确．4.函数y＝log(3a－1)x是(0，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．解析：由题意可得0<3a－1<1，解得eq\f(1,3)<a<eq\f(2,3)，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))).例题讲解对数函数概念的应用【例1】(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0且a≠1)；③y＝log(eq\r(3)－1)x；④y＝eq\f(1,3)log3x；⑤y＝logxeq\r(3)(x>0，且x≠1)；⑥y＝，其中是对数函数的为()③④⑤B．②④⑥C.①③⑤⑥D．③⑥(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.(1)D(2)4[(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确．(2)由于y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，,a2－5a＋4＝0，))解得a＝4.]方法总结判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.当堂练习1⑴若某对数函数的图像过点(4，2)，则该对数函数的解析式为()A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－8)＝________.解析:⑴选A.设对数函数的解析式为y＝logax(a＞0且a≠1)，由题意可知loga4＝2，所以a2＝4，所以a＝2，所以该对数函数的解析式为y＝log2x.(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.]对数函数的定义域【例2】若f(x)＝eq\f(1,log\s\do9(\f(1,2))（2x＋1）)，则f(x)的定义域为()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))C【解析】由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1＞0，,2x＋1≠1，))解得x＞－eq\f(1,2)且x≠0.方法总结求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1；三是按底数的取值范围对应单调性，有针对性地解不等式．当堂练习2求下列函数的定义域：(1)y＝lg(x＋1)＋eq\f(3x2,\r(1－x))；(2)y＝log(x－2)(5－x)．解析：(1)要使函数有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,1－x＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞－1，,x＜1.))∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1,1)．(2)要使函数有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x＞0，,x－2＞0，,x－2≠1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜5，,x＞2，,x≠3.))∴定义域为(2,3)∪(3,5)．对数函数的图像【例3】(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图像只可能是下图中的()C解析：(1)A中，由y＝x＋a的图像知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则f(log32)＝________.eq\f(8,9)解析：(2)依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－eq\f(10,9)，故f(x)＝3x－eq\f(10,9)，f(log32)＝3－eq\f(10,9)＝2－eq\f(10,9)＝eq\f(8,9).(3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为________．b＞a＞1＞d＞c解析：(3)由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1,0＜d＜1.过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.方法总结解决对数函数图像的问题时要注意1.明确对数函数图像的分布区域．对数函数的图像在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图像会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．2.建立分类讨论的思想．在画对数函数图像之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1.3.牢记特殊点．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像经过点：(1,0)，(a,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).4．常见的函数图像的变换技巧(1)y＝f(x)eq\o(→,\s\up11(保留y轴右边的图像),\s\do4(并作关于y轴对称的图像))y＝f(|x|)．(2)y＝f(x)eq\o(→,\s\up11(保留x轴上方的图像),\s\do4(将x轴下方的图像翻折上去))y＝|f(x)|.(3)y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(关于y轴对称))y＝f(－x)．(4)y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(关于x轴对称))y＝－f(x)．当堂练习3(1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像，已知a取eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为()\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(1,10)，eq\f(3,5)\f(4,3)，eq\r(3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)\f(4,3)，eq\r(3)，eq\f(1,10)，eq\f(3,5)A解析：(1)方法一作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)，故选A.方法二由对数函数的图像在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10).故选A.(2)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数．其中a>0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是()>1，c>1 B．a>1,0<c<1C．0<a<1，c>1 D．0<a<1,0<