第二章轴向拉伸与压缩拉压静不定

拉压杆超静定问题一.静定问题与静不定问题约束反力及轴力都可以由静力平衡方程求得，这类问题称为静定问题.(staticallydeterminateproblem)凭静力平衡方程不能求得约束反力或轴力，这类问题称为静不定问题(staticallyindeter-minateproblem)

判别方法：未知力的数目–独立静力平衡方程式的数目=静不定次数二、解决静不定问题的方法和步骤

需要综合考虑物理、几何、平衡三个方面。步骤：1.选取研究对象进行受力分析，分析结构的未知力数和独立平衡方程数，决定结构的静不定次数。(受力分析图)2.列静力平衡方程3.根据多余约束的特点，分析结构的变形协调条件，建立变形几何方程。(变形几何图)4.将物理关系代入几何方程，得补充方程，和平衡方程联立求解。物理关系胡克定律变形协调条件变形几何方程静力平衡平衡方程补充方程联立求解

弹性模量为E1、横截面面积为A1的实心圆杆与弹性模量为E2、横截面面积为A2的圆筒用刚性板联接，如图a)所示。试求在F力作用下圆杆和圆筒的应力。(1)平衡条件（平衡方程）(2)变形谐调条件（谐调方程）(3)物理条件（物理方程）三、拉压静不定问题举例1.不同材料组成的组合杆件变形特点：两种材料的伸长或缩短变形相同。解：受力分析如图，可知为一次静不定问题。联立（1）和（2）式，解得圆杆和圆筒的轴力

圆杆和圆筒的应力

由内力结果可见，静不定问题中各杆的轴力与各杆抗拉刚度的大小有关。这是不同于静定问题的一个重要特点。式（b）代入式（a）得补充方程例：求三杆桁架内力。

杆长L1=L2，L3=L

；

面积A1=A2=A，A3

弹性模量E1=E2=E，E3CPABD123解：(1)静力平衡方程PAFN1FN3FN22.超静定杆系变形特点：杆系受力变形后，节点仍联接于一点。(3)物理方程（5）联立求解CABD123A1(2)变形协调方程（4）补充方程图示桁架，1、2杆为铝杆，3杆为钢杆，预使3杆的内力增大，正确的做法是()(A)增大1、2两杆的横截面面积(B)减小1、2两杆的横截面面积(C)将1、2两杆改为钢杆(D)将3杆改为铝杆CPABD123提示：1.拉压杆的抗拉刚度为EA2.E铝﹤E钢3.拉压杆的刚度系数,刚度系数越大，杆件变形越小。静不定结构中，杆件的内力与各杆的刚度系数间的比值有关。B解:(1)平衡方程3、装配应力

静不定结构中，由于制造误差而进行强行装配引起的构件内的初应力，称为装配应力。注：静定问题无装配应力；静不定问题存在装配应力。(在荷载作用前，构件内已经具有的应力。)例：如图示，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。ABC12A1ABC12D3A1FN1FN2FN3dAA1(3)带入本构方程得补充方程(4)联立求解如果取,E=200GPa,=30,可知==-65.2MPa,=113MPa.预应力钢筋混凝土构件就是利用装配应力来提高构件承载能力的工程实例。d/L=0.001(2)变形几何方程如图示OB是刚体，AB杆制造误差为d变形几何方程力学方面变形方面物理方面补充方程温度应力

联立（1）（2）两式4.温度应力(1)静不定结构中由于环境温度的改变而引起的构件内的应力称为温度应力。(2)两端固定的超静定杆件的变形协调条件：杆件的总长度不变。例：两端固定的等直杆，已知A,E,线膨胀系数为，求温度升高△T时的温度应力。若此杆是钢杆，线膨胀系数

，弹性模量E=210GPa,若温度升高40℃

，则温度应力：可见，在温度变化较大的环境中工作的结构，温度应力不容忽视。在工程中常考虑温度的影响，例在钢轨接头处，在混凝土路面中，通常留有空隙；高温管道隔一段要设一个弯道，就是用于调节因温度变化而产生的伸缩等。例：图示1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力，各杆线膨胀系数分别为i。BCAD123A1PAN1N3N2（2）变形方程（3）本构方程解：（1）平衡方程PBCD123AA1由变形和本构方程消除位移未知量联立求解得aa

aaN1N2

例：阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固

定,上下两段的面积为=cm2，

=cm2，

当温度升至T2=25℃时,求各杆的温度应力

弹性模量E=200GPa，线膨胀系数=12.5×

(2)变形几何方程解:受力分析如图示，可知为一次静不定。(1)平衡方程（3）本构方程（4）联立求解得由变形和本构方程消除位移未知量（5）温度应力例木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角

钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa,[]2=12MPa，

弹性模量分别为E1=200GPa和E2=10GPa；求许可载荷P(2)变形方程(3)本构方程解：(1)平衡方程P1mP250250Py4FN1FN2（4）联立求解得（5）求结构的许可载荷角钢面积由型钢表查得

A1=3.086cm2P1mP250250Py4FN1FN21.结构由于制造误差或温度变化，有（）。A、静定结构中将引起应力和变形B、静定或静不定结构中都引起应力和变形C、静定结构中引起变形，静不定结构中引起应力D、静定结构中引起应力，静不定结构中引起变形CFABCl1l22.AC和BC材料相同，面积不同，外力作用在连接界面处，在外力不变的情况下，要