第7章弯曲正应力(1,2)

第七章弯曲应力第七章弯曲应力§7-1梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件§7-2梁横截面切应力·梁的切应力强度条件§7-4提高梁强度的主要措施§7–5弯曲中心的概念

比较—分类法第7章知识点梁的正应力（公式、适用范围、最大正应力）梁的切应力（各种截面的切应力及其最大切应力）提高梁强度的措施（三方面）梁的正应力强度条件及其解决的三问题梁的切应力强度条件及其计算弯曲中心的概念yz在横截面上，只有法向内力元素σdA才能合成弯矩M，只有切向内力元素τdA才能合成剪力FS

所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力。本章研究主要研究等直梁在平面弯曲时，其横截面上的正应力、剪应力以及有关的强度计算。工程实例工程实例工程实例工程实例工程实例工程实例工程实例纯弯曲（CD段）：横力弯曲或剪切弯曲（AC段和DB段）：§7-1梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件一、

纯弯曲时梁横截面上的正应力横截面上只有正应力，没有剪应力。横截面上既有正应力，又有剪应力。梁弯曲动画deformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesis

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula变形几何关系物理关系静力关系

观察变形，提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship

弯曲正应力公式推导思路弯曲变形动画一.几何变形（1）aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长,部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。（2）mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为弧线的aa，bb正交。1.平面假设：梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。2.单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。

梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。中性层中性轴中性层中性层与横截面的交线称为中性轴横截面上任一点的线应变二.物理关系结论：一点的正应力与它到中性层的距离成正比。dx结论：一点的的线应变与它到中性层的距离成正比。三.静力平衡横截面对Z轴的静矩设中性轴为zyzM截面的惯性积（y为对称轴）截面对z轴（中性轴）的惯性矩中性层的曲率公式设中性轴为zyzM将代入得到纯弯曲时横截面上任一点正应力的计算公式:式中：M为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.注意：上述公式是由矩形截面梁在纯弯曲情况下推导出来的，但它对具有所有横截面形状对称于y轴的梁都适用，例如截面为圆形、工字形和梯形等。此外，上述公式是在直梁的条件下推导的，一般不能用于曲梁；但当曲梁的曲率半径于截面高度之比大于10时，也可以近似应用。该公式适用于弹性范围。讨论

（1）应用正应力公式时，一般将M和y

用绝对值代入.根据截面弯矩的正负号就可直接判断

的正负号.

例如截面弯矩M为正时，中性轴以下为受拉区，则该区域各点的正应力为拉应力；而中性轴以上为受压区，则该区域各点的正应力为压应力。（2）梁某截面上的最大正应力发生在该横截面上离中性轴最远的点处.则公式改写为引用记号—抗弯截面系数（或称为抗弯截面模量），单位：m3、cm3，mm3。请同学们思考等直梁最大正应力公式如何写?（1）当中性轴Z为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy梁的抗弯截面系数（抗弯截面模量）：zy（2）对于中性轴不是对称轴的横截面（有两个抗弯截面模量）M应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离

和直接代入公式二、横力弯曲时的正应力和梁的正应力强度条件（一）横力弯曲时的正应力（二）梁弯曲正应力强度条件

上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。

对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。理论证明在L/h大于5时该式的精度能满足工程要求。利用上式可以进行三方面的强度计算：①已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度；②已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸;③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷等直梁的危险截面：最大弯矩Mmax所在的截面;等直梁的危险点：危险截面上离中性轴最远的点。其正应力强度条件可写成：或注意：在进行强度校核、选则截面尺寸、确定许用荷载时，若（1）（塑性材料）只须校核Mmax处（2）（脆性材料）(a)对称截面情况只须校核Mmax处使(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核M+max与

M-max两处。三、举例[例7-1]：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同，但放置分别如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比P1／P2＝？解：

[例7-2]主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？解：主梁AB:MABPaCD副梁CD:由得M[例7-3]受均布载荷的外伸梁材料许用应力

校核该梁的强度。解：由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全[例7-4]图示铸铁梁，许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。C截面B截面2.54＜＜＜＜例7-5图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax

和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力sa

。B5

m10

mAFCFA

FB

12.521166560za375kN.m

M解：1、作弯矩图如上，2、查型钢表得56号工字钢3、求正应力为

12.521166560za或根据正应力沿梁高的线性分布关系的

12.521166560za例7-6图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。钢的许用弯曲正应力[s]=152MPa

。试选择工字钢的号码。ABFFF=75kN2.5m2.5m2.5m2.5m10mFBFA

解：1、支反力为作弯矩图如上。281375单位：kN·m2、根据强度条件确定截面尺寸此时查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值误差小于5%，可用例7-7图示槽形截面铸铁梁，已知：b=2m，截面对中性轴的惯性矩Iz=5493104mm4，铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试求梁的许可荷载[F]

。

解：1、梁的支反力为zyC形心86134204018012020BFCbq=F/bDbbAFBFA

据此作出梁的弯矩图如下发生在截面C发生在截面BzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4BFCbq=F/bDbbA2、计算最大拉、压正应力由于梁是脆性材料，并且截面对中性轴z不对称，所以，由强度条件确定许用荷载，B、C截面都要考虑。zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面B截面压应力拉应力拉应力压应力考虑截面B

：zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4考虑截面C：因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4解：[例7-8]图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［σt］和［σc］，则y1和y2

的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）

CL8TU9M-PL[例7-9]简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其应变ε=6×10-4，材料的弹性模量E=200GPa，求载荷P的大小。解：C点的应力由C截面的弯矩得支座反力[例7-10]图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为10mm，E=10GPa，求载荷P的大小。解：7-11我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。（使Wz最大）解：由此得

例7-12图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ]＝160MPa。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。FAFB梁的强度杆的强度练习试对图示结构布置图中的L－2梁进行截面选择。两梁均采用工字钢截面，[σ]＝215MPa，已知L－1梁上简支板的荷载设计值为3.5kN/m2。查表:I36a练习简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。解：1、计算梁底层微段的伸长量2、梁的最底层纤维的总伸长