自动控制原理课件第四章

第四章根轨迹法教学内容§4-1.根轨迹法的基本概念与绘制条件§4-2.根轨迹的绘制法则§4-3.用根轨迹方法分析系统的暂态特性

由第三章可知，闭环极点完全决定了系统的稳定性，闭环极点和零点则决定了系统的品质。所以，如能确定闭环极点在S平面上的位置，则对控制系统的性能分析则意义重大。问题的提出由于闭环极点是特征方程的根，随着特征方程阶数的增大，求解困难（试探求法）。而开环传函由简单环节串联组成，零极点易确定，若能用开环极零点确定闭环极点在S平面的位置，并通过调节开环极零点位置改善闭环极零点位置，将使问题更加简单。该方法为：问题的提出根轨迹法：根据开环极零点分布，当系统某参数由零变到无穷大，绘制出闭环特征根在S平面上的相应的变化轨迹，由此来分析，系统的暂态响应，参数对暂态响应的影响，以及系统的综合与校正。这是一种图解方法。问题的提出§4-1

根轨迹的基本概念与绘制条件一、根轨迹的基本概念二、根轨迹的绘制条件特征方程：特征根：例1：单位反馈二阶系统一、根轨迹的基本概念开环极点闭环极点ReImReImReImReImReImReImReImReIm一、根轨迹的基本概念则二阶系统根轨迹为一、根轨迹的基本概念结论：

1、开环传函参数K*影响着闭环极点的分布。K*的变化与闭环极点的分布，一一对应。

2、当K*从0到无穷时，系统响应经历着过阻尼、等阻尼、欠阻尼状态。

则二阶系统根轨迹为一、根轨迹的基本概念3、画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能；通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。二、根轨迹的绘制条件开环零点，“”开环极点，“”开环分子多项式开环分母多项式，即开环特征式为根轨迹增益，通常为根轨迹的变化参量凡满足（＊）式的s都是根轨迹上的点，反之，根轨迹上的点也都满足（＊）式。（轨迹与方程是一一对应关系）则绘制其根轨迹条件应为：特征方程：称为根轨迹方程１、幅值条件：２、相角条件：二、根轨迹的绘制条件令代入上式则有将根轨迹方程表示为二、根轨迹的绘制条件开环有限零点-zi到特征根s的矢量辐角开环极点-pj到特征根s的矢量辐角二、根轨迹的绘制条件li：开环有限零点-zi到闭环特征根s的矢量长度Lj：开环有限极点-pj到闭环特征根s的矢量长度绘制根轨迹的依据是辐角条件，在s平面上凡是满足辐角条件s点都是系统的特征根，这些点的连线就是系统的根轨迹。

幅值条件是计算根轨迹放大系数Kg的依据。二、根轨迹的绘制条件由幅值条件由辐角条件二、根轨迹的绘制条件特别的，若传递函数表示为则根轨道放大倍数与开环放大倍数的关系为：或根轨迹以根轨迹放大系数Kg绘制二、根轨迹的绘制条件§4-2

根轨迹的绘制法则一、根轨迹分类二、绘制根轨迹的一般法则(*)三、典型自控系统根轨迹四、零度根轨迹五、广义根轨迹主根轨迹：0<=Kg<∞的根轨迹（180°根轨迹）辅根轨迹：-∞<=Kg<0的根轨迹广义根轨迹：以除Kg外的某一其它系统参数绘制的根轨迹零度根轨迹：辐角条件是±360的根轨迹根轨迹族：几个系统参数同时变化构成的的根轨迹一、根轨迹分类二、绘制根轨迹的一般法则(*)1.根轨迹的起始点和终止点

起点：即Kg=0，起点应为s=-pj

（或开环极点）

终点：即Kg=∞，终点应在s=-zi（开环有限零点处）根轨迹方程二、绘制根轨迹的一般法则(*)1.根轨迹的起始点和终止点根轨迹方程根轨迹有多少个开环极点就有多少个起点，零点也一样，只不过由于n-m＞0，所以零点将有n-m个落在无穷远处，称为无限零点。２.根轨迹数（分支数）和它的对称性分支数等于开环极点数n（特征方程阶数）。由实系数特征方程知，特征根不是实根，就是共轭复根，故根轨迹一定对称于实轴。二、绘制根轨迹的一般法则(*)３.实轴上的根轨迹

二、绘制根轨迹的一般法则(*)某系统开环零极点分布如图辐角条件特征根S左侧开环零极点对开环传函的辐角没有贡献；而右侧的每个开环零极点都引起180°的辐角变化；共轭复极（零）点引起的辐角变化之和为360°所以只有右侧零极点总数为奇数个时恰好能满足辐角条件。３.实轴上的根轨迹

某系统开环零极点分布如图二、绘制根轨迹的一般法则(*)结论：实轴上某个区段，若它的右侧开环零极点总数为奇数，则该区段为一根轨迹分支。

4.分离点和会合点分离点：由实轴分离进入复平面的点。会合点：复平面汇合进入实轴上的点。二、绘制根轨迹的一般法则(*)分离点会合点一般的：分离点存在于两开环极点之间；会合点存在于两开环零点之间。这时的特征方程出现重根。重根即代表了分离点，会合点的位置二、绘制根轨迹的一般法则(*)

4.分离点和会合点设闭环系统特征方程为：若有重根将使重根时对应的Kg代入特征方程有：即解可求出重根，即分离点或会合点。实轴上的重根对应的Kd是Kg从零到Kd中最大的，故也可通过对Kg求导，求得分离点和会合点。（求后验证dKg/ds=0）。二、绘制根轨迹的一般法则(*)

4.分离点和会合点

根轨迹方程即求得例2系统开环传函为试求实轴上的分离点。二、绘制根轨迹的一般法则(*)

4.分离点和会合点（举例）法2：可得验证：由于，不存在根轨迹，故不是分离点。而不仅属于[-1，0]且能使。注：此方法对求复平面上的分离，会合点也有效。

4.分离点和会合点（举例）二、绘制根轨迹的一般法则(*)

时系统的n-m条根轨迹将沿什么方向趋于无穷远处，即渐近线的问题。在无穷远处，可以认为渐近线即根轨迹。二、绘制根轨迹的一般法则(*)5、根轨迹的渐近线渐近线倾角：对于无穷远处的根轨迹上的点s1，可以认为所有的开环零点和开环极点到s1的矢量辐角均相等，即为渐近线的倾角二、绘制根轨迹的一般法则(*)5、根轨迹的渐近线无穷远处特征根s1满足辐角条件：渐近线的倾角二、绘制根轨迹的一般法则(*)渐近线与实轴交点：对于无穷远处的根轨迹上的点s1，可以认为所有的开环零点-zi和开环极点-pj到s1的矢量长度均相等，即所有的开环零点-zi和开环极点-pj都汇集为一点即为渐近线的交点。s1满足特征方程的幅值条件二、绘制根轨迹的一般法则(*)根据二项式定理：对应系数相等所以得渐近线交点：例3①起点:0，-1，-2

终点：无穷远②实轴分支：

[-1,0][-2,-∞]二、绘制根轨迹的一般法则(*)绘制根轨迹。例3③分离点：二、绘制根轨迹的一般法则(*)绘制根轨迹。求得因为在[-1,0]区间有根轨迹，所以为分离点。例3二、绘制根轨迹的一般法则(*)绘制根轨迹。④渐近线倾角与实轴交点二、绘制根轨迹的一般法则(*)法一：由特征方程:若令代入有便可求解ω,Kg.6、根轨迹与虚轴交点二、绘制根轨迹的一般法则(*)法二：由劳斯判据知，劳斯表中某行全为零时，闭环系统临界稳定，有一对共轭虚根。令s=jω代入得如例2,特征方程为二、绘制根轨迹的一般法则(*)6、根轨迹与虚轴交点由劳斯表中知，若有根为纯虚根，表中某行全为零。令由辅助方程得:二、绘制根轨迹的一般法则(*)6、根轨迹与虚轴交点7、根轨迹出射角和入射角出射角：根轨迹离开开环复极点的切线方向与实轴正向夹角。（1）定义入射角：根轨迹进入开环复零点的切线方向与实轴正向夹角。二、绘制根轨迹的一般法则(*)

开环复极(零)点-pl,(-zl)附近的根轨迹上取一点s1，则当s1→-pl时，s1与-pl所构成的矢量辐角就是-pl的出射角βsc，对应零点为入射角αsr。由辐角条件:（2）计算（以出射角为例）二、绘制根轨迹的一般法则(*)7、根轨迹出射角和入射角并用代替，则出射角7、根轨迹出射角和入射角二、绘制根轨迹的一般法则(*)二、绘制根轨迹的一般法则(*)7、根轨迹出射角和入射角得到计算出射角的公式：αi：开环有限零点-zi到被测起点的矢量辐角。βj：除被测起点外，其它开环极点-pj到被测起点的矢量辐角。同理可得计算入射角的公式：αi：除被测终点外，其它开环有限零点-zi到被测终点的矢量辐角。βj：开环极点-pj到被测终点的矢量辐角。二、绘制根轨迹的一般法则(*)例4、绘制根轨迹根轨迹起点：终点：无穷远实轴上根轨迹分支：会合点：得（舍）二、绘制根轨迹的一般法则(*)出射角（）：二、绘制根轨迹的一般法则(*)根轨迹的渐近线：倾角：与实轴交点可见根轨迹的渐近线只存在于实轴，复平面根轨迹不会趋向无穷远，而是按照一定的规律收敛于实轴。二、绘制根轨迹的一般法则(*)复平面根轨迹是以零点为圆心，以零点到会合点为半径的圆弧。8.根轨迹的走向当特征方程阶次n-m>=2时，根轨迹呈现发散性质，一些分支右行时，另一些分支必左行，偏向S平面右半部分。这一点可由根的特性说明：特征方程各特征根之和为常数！二、绘制根轨迹的一般法则(*)分离角：根轨迹离开分离点的切线方向与实轴正向夹角。会合角：根轨迹进入会合点的切线方向与实轴正向夹角。为分离点根轨迹数。二、绘制根轨迹的一般法则(*)9、分离角与会合角根轨迹绘制法则归纳如下：

（1）起点（）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。

（2）终点（）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点（包括m个有限零点和（）个无限零点）。

（3）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为，根轨迹对称于实轴。

二、绘制根轨迹的一般法则(*)（5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程二、绘制根轨迹的一般法则(*)（4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。（6）根轨迹的渐近线。渐近线的倾角入射角出射角（7）根轨迹的出射角与入射角。

二、绘制根轨迹的一般法则(*)渐近线交点

（9）根轨迹走向。如果特征方程的阶次，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。（8）根轨迹与虚轴交点。把代入特征方程式，即可解出交点处的临界值和交点坐标。

二、绘制根轨迹的一般法则(*)例

绘制右图以为参变量的根轨迹

解：二、绘制根轨迹的一般法则(*)令（1）起点:

终点：

无穷远（2）实轴根轨迹：二、绘制根轨迹的一般法则(*)（3）分离点或会合点:在分离点或会合点处参变量的计算：（分离点）（会合点）二、绘制根轨迹的一般法则(*)（4）渐近线倾角：与实轴交点：二、绘制根轨迹的一般法则(*)（5）走向：复平面根轨迹是一以开环零点为圆心，以为半径的圆。二、绘制根轨迹的一般法则(*)系统分析：例6

绘制根轨迹二、绘制根轨迹的一般法则(*)起点，终点，实轴上根轨迹分支分离点牛顿余数法例6

绘制根轨迹二、绘制根轨迹的一般法则(*)渐近线二、绘制根轨迹的一般法则(*)例6

绘制根轨迹出射角例6

绘制根轨迹二、绘制根轨迹的一般法则(*)与虚轴交点特征方程劳斯表二、绘制根轨迹的一般法则(*)与虚轴交点特征方程劳斯表令s1行得利用s2行作辅助方程得二、绘制根轨迹的一般法则(*)三、典型自控系统根轨迹其中绘制根轨迹（1）起点、终点（2）实轴上的根轨迹分支（3）分离点（4）渐进线1.二阶系统定义闭环极点到原点的连线和负实轴的夹角为，则，称这条线为等线。分析：①等线已知二阶系统特征根在s复平面的分布如右三、典型自控系统根轨迹22,11zwzw-±-=-nnjp1.二阶系统绘制时的等线，即②当时的根轨迹放大系数1.二阶系统三、典型自控系统根轨迹绘制根轨迹：（取a=1）三、典型自控系统根轨迹如右图二阶系统串联一一阶微分环节2.开环具有零点二阶系统③分离点，会合点①起点：0，-0.2终点：-1，②实轴上的根轨迹分支三、典型自控系统根轨迹2.开环具有零点二阶系统三、典型自控系统根轨迹2.开环具有零点二阶系统-2-1.5-1-0.50-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81RootLocusRealAxisImaginaryAxis总结：开环零点对系统的影响复平面根轨迹可由辐角条件证明是个圆。证明：根据辐角条件：在根轨迹上任取一点s，满足辐角条件令三、典型自控系统根轨迹2.开环具有零点二阶系统即利用反正切公式所以，上式可得三、典型自控系统根轨迹2.开环具有零点二阶系统等号两边同时取正切，得复平面上的根轨迹是一以零点为圆心，以分离点（或会合点）到零点的距离为半径的圆。2.开环具有零点二阶系统结论：任意带一开环零点的二阶系统，若复平面存在根轨迹，则它一定是一个以开环零点为圆心的圆或圆的一部分。三、典型自控系统根轨迹3.三阶系统二阶系统再加一个极点a=4时,绘制根轨迹结论：二阶系统附加极点，Kg↑根轨迹将穿过虚轴系统趋于不稳定。三、典型自控系统根轨迹（二阶加一极点一零点）①起点：0，0，-p1

终点:-z1，两个无穷远②实轴根轨迹分支：

[-p1，-z1]三、典型自控系统根轨迹4.开环具有零点三阶系统：4.开环具有零点三阶系统：（二阶加一极点一零点）三、典型自控系统根轨迹③渐近线倾角:

与实轴交点：若-z1更靠近虚轴，则根轨迹形状发生变化三、典型自控系统根轨迹渐近线出射角与虚轴交点5.具有复极点的四阶系统三、典型自控系统根轨迹5.具有复极点的四阶系统三、典型自控系统根轨迹根轨迹与虚轴相交时，其余2根可由根与系数的关系得到常见负反馈系统的开环零极点分布及根轨迹草图。常见负反馈系统的开环零极点分布及根轨迹草图。常见负反馈系统的开环零极点分布及根轨迹草图。-4-20-1-0.500.51-2-10-2-1012-4-20-2-1012-10-50-2-1012-4-20-505-4-20-10-50510-4-20-10-50510-4-20-505RootLocusRealAxisImaginaryAxisRootLocusRealAxisImaginaryAxisRootLocusRealAxisImaginaryAxisRootLocusRealAxisImaginaryAxisRootLocusRealAxisImaginaryAxisRootLocusRealAxisImaginaryAxisRootLocusRealAxisImaginaryAxisRootLocusRealAxisImaginaryAxis常见负反馈系统的开环零极点分布及根轨迹草图。四、零度根轨迹前面讨论的根轨迹的辐角条件满足称为根轨迹或常规根轨迹。若控制系统的辐角条件满足，则称为零度根轨迹或根轨迹。通常在以下两种情况下，需要绘制零度根轨迹。1.零度根轨迹的概念与绘制条件四、零度根轨迹(1)若控制系统为正反馈，如图W1(s)H(s)根轨迹方程:

Wk(s)=1幅值条件：辐角条件：1.零度根轨迹的概念与绘制条件若开环传递函数表示为则幅值条件四、零度根轨迹辐角条件1.零度根轨迹的概念与绘制条件凡是在S复平面右半平面有开环零极点的环节，称为非最小相位环节，与之相反称为最小相位环节。(2).若系统中包含有最高次幂的系数为负的非最小相位环节，则也需要绘制零度根轨迹。例如四、零度根轨迹1.零度根轨迹的概念与绘制条件根轨迹方程可见，与正反馈根轨迹方程一致，辐角条件与幅值条件也一致。因此满足零度根轨迹的条件。1.零度根轨迹的概念与绘制条件四、零度根轨迹1.零度根轨迹的概念与绘制条件四、零度根轨迹特别注意，若系统为正反馈和包含有最高次幂的系数为负的非最小相位环节的次数为偶数次时，仍需绘制常规根轨迹。零度根轨迹与180°根轨迹比较，幅值条件相同，辐角条件不同，所以绘制零度根轨迹时，凡是与辐角条件有关的绘制法则相应要变化。2.零度根轨迹的绘制法则①实轴上根轨迹只能出现在其右侧开环有限零极点总数为偶数的区段上。②渐近线倾角四、零度根轨迹③出射角

入射角例.设单位正反馈系统的开环传递函数为试绘制根轨迹。四、零度根轨迹解：由题意知，需绘制零度根轨迹。绘制步骤如下：(2)终点：三条根轨迹都趋向无穷远。(3)实轴上根轨迹存在的区间为[－5，－1]，

[0，+∞]。(1)起点：0，−1，−5四、零度根轨迹解：由题意知，需绘制零度根轨迹。绘制步骤如下：四、零度根轨迹(4)计算分离点：解得：s1=−3.52

s2=−0.48由于−0.48不在根轨迹上，所以根轨迹的分离点为−3.52。解：由题意知，需绘制零度根轨迹。绘制步骤如下：四、零度根轨迹(5)根轨迹的渐近线。①倾角②与实轴交点五、广义根轨迹它是指以某非Kg作为系统参数变化时得到的根轨迹。具体的做法为：由闭环系统特征方程式KgN(s)+D(s)=1整理出研究的参数根轨迹方程式

关于Ta的根轨迹方程为例

五、广义根轨迹整理：五、广义根轨迹则新的开环传函应为关于Ta的根轨迹方程为例

五、广义根轨迹二阶系统增加开环零点，根轨迹向左偏移，随着Ta增大，即开环零点越靠近虚轴，根轨迹向左偏移越严重。说明，阻尼比越大，超调量减小。调节时间缩短。§4-3.控制系统的根轨迹分析方法在根轨迹上确定特征根用根轨迹法分析系统的暂态特性

在根轨迹上由性能指标确定调整参数σjωL4L2L1L3l11.试探法①先在根轨迹上取一试点S0，如图。S0求得根轨迹放大系数Kg0，与已知的Kg值比较，如果相等，S0即为所求。否则，重新找试点重复②、③步骤。②确定开环零极点到S0的矢量长度。③根据幅值条件：一、在根轨迹上确定特征根根据已知的Kg值，确定相应的特征根。2.解析法先找出实根，再根据韦达定理确定复根。（只适用于n-m≤3的系统）例、试确定时的特征根。解：①先绘制系统根轨迹。一、在根轨迹上确定特征根ReIm②在实轴上找一实根代入特征方程式可得一条曲线一、在根轨迹上确定特征根③设另两根为，由下式一、在根轨迹上确定特征根二、用根轨迹法确定系统性能1.根轨迹分布在负实轴暂态特性：1)单位阶跃响应为单调变化。2)离虚轴越近的极点对暂态响应影响越大。3)一般，R2≥5R1时，-R2极点的影响可忽略。-R1-R2σjω02.根轨迹分布在复平面暂态特性：1)单位阶跃响应为衰减振荡形式，由两个特征参数决定。即：阻尼比ξ（在图上由阻尼角θ=cos-1ξ反映出来)，自然振荡角频率ωn。如图。二、用根轨迹法确定系统性能swjnjwx21-nxw-nwq1R-2R-njwx21--暂态特性：二、用根轨迹法确定系统性能2)不变，变化当，一对共轭复根,系统衰减振荡swjnjwx21-nxw-nwq1R-2R-njwx21--共轭复根沿着等线移动。2.根轨迹分布在复平面暂态特性：二、用根轨迹法确定系统性能2)不变，变化

当，有实数重根,系统工作在临界阻尼状态,无超调。

当，有共轭虚根,等幅振荡。swjnjwx21-nxw-nwq1R-2R-njwx21--2.根轨迹分布在复平面暂态特性：二、用根轨迹法确定系统性能2)不变，变化

当，有实数重根,系统工作在临界阻尼状态,无超调。

当，有共轭虚根,等幅振荡。swjnjwx21-nxw-nwq1R-2R-njwx21--2.根轨迹分布在复平面暂态特性：二、用根轨迹法确定系统性能swjnjwx21-nxw-nwq1R-2R-njwx21--3)θ不变即ξ不变，具有相同阻尼比的复极点位于同一等ξ线上，等ξ线上各闭环极点具有相同的超调量。2.根轨迹分布在复平面暂态特性：二、用根轨迹法确定系统性能swjnjwx21-nxw-nwq1R-2R-njwx21--θ不变,↑,极点沿失径延伸,↑，加快系统响应速度。2.根轨迹分布在复平面二、用根轨迹法确定系统性能swjnjwx21-nxw-nwq1R-2R-njwx21--因为负实部数值的增加使暂态分量衰减速度加快；虚部的增加使阻尼振荡角频率增加，加快了响应速度。暂态特性：2.根轨迹分布在复平面二、用根轨迹法确定系统性能swjnjwx21-nxw-nwq1R-2R-njwx21--具有相同负实部的极点，位于同一条垂直线上，如图，它们的衰减速度相同，调节时间也大致相同。暂态特性：2.根轨迹分布在复平面设原系统开环传递函数为：设：增加一个开环零点，开环传递函数为：三.开环零点对系统性能的影响-4-202-6-4-20246-4-202-4-2024ImaginaryAxisRealAxis-2-10-4-2024-2-10-4-2024原系统Z=-3.6Z=-1.6Z=-0.6设原系统开环传递函数为：系统临界稳定的根轨迹放大系数Kg=6Kk=3三.开环零点对系统性能的影响-4-202-6-4-20246-4-202-4-2024ImaginaryAxisRealAxis-2-10-4-2024-2-10-4-2024原系统Z=-3.6Z=-1.6Z=-0.6增加开环零点

z=-3.6根轨迹向左收敛，渐近线倾角±90°临界开环放大系数：Kg=3在同样的稳态精度下，使系统的稳定性提高。Kk=5.4三.开环零点对系统性能的影响-4-202-6-4-20246-4-202-4-2024ImaginaryAxisRealAxis-2-10-4-2024-2-10-4-2024原系统Z=-3.6Z=