江苏省无锡天一中学2023-2023学年第二学期高二数学期中试卷(理)无答案

江苏省天一高中2023—2023学年度第二学期期中考试高二数学（理）2023．5一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积小于4的概率为．2．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为．3．随机变量的取值为0，1，2，若，，则方差＝．4．已知函数在x＝1处的切线与x轴平行，则的单调递减区间是．5．在一辆汽车通行的路上，顺次有4只红绿信号灯，若每个路口遇见红灯的概率均为，则汽车走完这段路遇见2只红灯的概率为．6．若椭圆C：的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF2＝4，则∠F1PF2＝．7．设，则的值为．8．在所表示的平面区域内任取一点P，则点P在第二象限的概率为．9．已知圆C：，直线l：，若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则线段AB长度的最小值为．10．的展开式中，的系数为．11．若函数的三个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则a的取值范围是．12．若曲线C1：逆时针旋转45°后得到曲线C2，P为曲线C2上任一点，则点P的纵坐标的取值范围为．13．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点与椭圆C的右焦点F2重合，与椭圆的其中一个交点为P，且满足，则椭圆C的离心率e的值为．14．设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）幼儿园美术课上，老师带领小朋友们用水彩笔为美术本上如图所示的三个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，三个气球分别涂三种不同的颜色．该班的小朋友嘟嘟现可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色，蓝色，紫色各一支．（1）嘟嘟从他可用的五支水彩笔中随机的取出两支按老师要求为气球涂色，问三个气球中冷色系和暖色系都有的概率是多少？（2）一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟．嘟嘟至少需要2分钟完成该项任务．老师在发出开始指令1分钟后随时可能来到嘟嘟身边查看涂色情况．问当老师来到嘟嘟身边时，嘟嘟已经完成任务的概率是多少？16．（本题满分14分）已知直线l：．（1）矩阵A＝所对应的变换将直线l变换为自身，求a的值；（2）若一条曲线C在关于直线l的反射变换下变为曲线C′：，求此反射变换所对应的矩阵B，并求出曲线C的方程．17．（本题满分14分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中依次取出3个球，求在第二次取出红球的条件下3个球恰有2个球颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，，，随机变量X表示，，中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．18．（本题满分16分）（1）证明：；（2）求和：；（3）求和：．（注：第3小题求和结果可保留组合数）19．（本题满分16分）椭圆E：的左右焦点分别为F1(﹣1，0)，F2(1，0)，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆E上的动点（不与A1，A2重合），且直线PA1与PA2的斜率的乘积为．（1）求椭圆E的方程；（2）圆Q：上有一动点T，求线段PT长度的取值范围；（3）过F2作两条互相垂直的直线l1与l2（均不与x轴重合）分别与椭圆E交于A，B，C，D四点，线段AB、CD的中点分别为M、N，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．20．（本题满分16分）已知函数，．（1）若，在其