2023年九年级中考数学频考点突破 二次函数与一元二次方程（含解析）

2023年中考数学频考点突破--二次函数与一元二次方程1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-8mx+16m-1(m>0)（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点．（2）若AB=2（3）已知x轴上两点C(2，0)，D(5，0)，若抛物线y=mx22．如图，抛物线y=(x-1)2+k与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C(0,-3)．P（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求ΔABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h=9时，直接写出ΔBCP3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；（2）直接写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（3）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围.4．某经销商销售一种圆盘，圆盘的半径x（cm），圆盘的售价y与x成正比例，圆盘的进价与x2成正比例，售出一个圆盘的利润是P（元）．当x=10时，y=80，p=30．（利润=售价﹣进价）．（1）求y与x满足的函数关系式；（2）求P与x满足的函数关系式；（3）当售出一个圆盘所获得的利润是32元时，求这个圆盘的半径．5．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？6．已知二次函数y（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求此二次函数的解析式.7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y=ax2+bx+c经过点（1）求抛物线L的解析式；（2）当-2≤m≤2（3）过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为-2m+1①求线段PQ的长；（用含m的代数式表示）②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与抛物线L：y=a8．设二次函数y1=2x2+bx+c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y)的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成心=2(x-h)2-2(h是常数)的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2=x-m(m是常数)，若函数y1的表达式还可以写成y1=2(x-m)(x-m-2)的形式，当函数y=y1-y2的图象经过点(x0，0)时，求x0-m的值．9．如图，函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)，B(0,n)两点，m，（1）求m，n的值以及函数的解析式；当0⩽x⩽3时，求函数（2）设抛物线y=-x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD10．若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象（1）若y=x2-4是y=-x（2）若函数y=mx-3(m≠0)的伴随函数y=x2+2x+n与x11．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴两个交点的坐标．12．已知抛物线y=(x-m)2-(x（1）求该抛物线的函数解析式．（2）把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．13．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=ax2,0≤x≤30b（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？14．在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+1（a，（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组a、b的值，使函数y=ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由.（3）已知a=b=1，当x=p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q15．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？16．已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，（1）b=；(用含a的代数式表示)（2）当a=-1时，若关于x的方程ax2+bx+c=0（3）若抛物线过点(-2，-2)，当-1≤x≤0时，抛物线上的点到x

答案解析部分1．【答案】（1）证明：当y=0时，mx2-8m∴m>0∴4m>0∴Δ>0∴抛物线总与x轴有两个不同的交点（2）解：∵x=-b∴x=--∵AB=2∴A(3，0)，将(3，0)代入y解得：m=1∴此时抛物线解析式为y（3）解：x=-b2a=4，将(2，0)代入y=mx2-8mx+16m-1中，解得：∴m≥1【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【分析】（1）要证抛物线总与x轴有两个不同的交点，只须证明关于x的一元二次方程mx2−8m+16m−1=0you两个不相等的实数根即可，即b2-4ac>0；

（2）因为抛物线与x轴相较于A、B两点，所以A、B关于抛物线的对称轴x=-b2a=--8m2m=4对称，而AB=2，所以可得A(3，0)，B(5，0)，将点A的坐标代入解析式即可求得m的值；

（3）若抛物线与x轴有交点，则至少有一个交点，若交点为2．【答案】（1）解：因为抛物线y=(x-1)2+k与把(0,-3)代入y=(-3=(0-1)解得k=-4所以此抛物线的解析式为y=(即y=x（2）解：令y=0，得(x-解得x1=-1,所以A(-1,0),B所以AB=4解法一：由（1）知，抛物线顶点坐标为(1,-4)，由题意，当点P位于抛物线顶点时，ΔABP的面积有最大值，最大值为SΔABP=解法二由题意，得P(m所以S=-2=-2(m所以当m=1时，SΔABP有最大值（3）解：①当0<m ≤1时，h当1<m≤2时，h当m>2时，h=②当h=9时

若-m2+2m=9，此时△＜0，m无解；若m2-2m+1=9，则m=4，∴P（4，5），∵B（3，0），C（0，-3），∴△BCP的面积=12×8×4-12×5×1-1【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出k的值，得到抛物线的解析式。

（2）根据题意，得到点A以及点B的坐标，根据抛物线的顶点可知，P点在顶点时，有最大值，得到答案即可。

（3）①分别根据m的取值范围，得到函数的关系式即可。

②根据h的数值，计算m的值，即可计算三角形BCP的面积。3．【答案】（1）解：当y=0时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程ax2方程的两个根为x1=1，（2）解：根据函数图象，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时，x>2（3）解：如图：方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即函数此时，k<2【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【分析】（1）求方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，就是求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴两交点的横坐标，由图象即可直接得出答案；

（2）由于图象开口向下，对称轴直线是x=2，故在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时x＞2；

（3）方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即函数y=a4．【答案】（1）解：由题意得，y=kx（k≠0），∵x=10时，y=80，∴10k=80，k=8．∴y与x满足的函数关系式为y=8x（2）解：由题意，设进价为mx2，则P=y﹣mx2=﹣mx2+8x．∵当x=10时，P=30，∴30=﹣m•102+8×10，∴m=12∴P与x满足的函数关系式为P=﹣12x2（3）解：由题意得，﹣12x2+8x=32化简得，x2﹣16x+64=0，解得x1=8；x2=﹣8（舍）．则这个圆盘的半径是8cm【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【分析】（1）根据“圆盘的售价y与x成正比例”可设y=kx（k≠0），再根据x=10时，y=80，利用待定系数法求出k，可得y与x满足的函数关系式；（2）根据题意可设进价为mx2，则P=y﹣mx2=﹣mx2+8x，然后再把x=10时，P=30代入即可算出m的值，进而得到P与x满足的函数关系式；（3）把P=32代入（2）中的解析式，计算即可得出答案．5．【答案】（1）解：设y=kx+b，把（22，36）与（24，32）代入得：22k+解得：k=-2b则y=﹣2x+80；（2）解：设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意得：（x﹣20）y=150，则（x﹣20）（﹣2x+80）=150，整理得：x2﹣60x+875=0，（x﹣25）（x﹣35）=0，解得：x1=25，x2=35（不合题意舍去），答：每本纪念册的销售单价是25元（3）由题意可得：w=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，此时当x=30时，w最大，又∵售价不低于20元且不高于28元，∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=﹣2（28﹣30）2+200=192（元），答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【分析】（1）设y=kx+b，根据题意，利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可；（2）根据题意结合销量×每本的利润=150，进而求出答案；（3）根据题意结合销量×每本的利润=w，进而利用二次函数增减性求出答案．此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每本的利润=w得出函数关系式是解题关键．6．【答案】（1）解：Δ=m2-4(m-2)=∴无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点（2）解：把点（3，6）代入y=x2-∴y【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【分析】（1）由二次函数与一元二次方程的关系，根据△=b2-4ac＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0方程有两个相等的实数根，△＜0方程没有实数根；由(m−2)2+4>0，得到无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2）把点的坐标代入二次函数，求出m的值，得到二次函数的解析式.7．【答案】（1）解：将A（0，﹣74），点B（1，14），点C（﹣1，﹣代入y＝ax2+bx+c得：c=74∴y（2）解：∵y=x2+x-74∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣12∴当x＝﹣12时，n的最小值为﹣2∵2﹣(﹣12)＞﹣12﹣(﹣∴当x＝2时，n取最大值22+2﹣74＝17（3）解：①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，当﹣3m+1＞0时，即m＜13时，PQ＝﹣3m+1当﹣3m+1＜0时，即m＞13时，PQ＝3m﹣1②﹣2≤m≤﹣43或﹣12≤m＜13时，PQ与图象【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【解答】(3)②当m＞13时，与抛物线L：y＝ax2+bx+c（﹣2≤x＜13）的∴讨论m＜13∵0＜PQ≤7，∴0＜﹣3m+1≤7，解得﹣2≤m＜13如图，当x＝﹣12时，点P在最低点，PQ与图象有1m增大过程中，﹣12＜m＜13，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有直线x＝13关于抛物线对称轴直线x＝﹣12对称后直线为x＝﹣4∴﹣43＜m＜﹣12时，PQ与图象有当﹣2≤m≤﹣43时，PQ与图象有1综上所述，﹣2≤m≤﹣43或﹣12≤m＜13时，PQ与图象

【分析】（1）用待定系数法求解

（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解

（3）①点Q的横坐标与点P横坐标作差

②通过数形结合求出m的取值范围8．【答案】（1）解：由题意，得y1=2(x-1)(x-2)．图象的对称轴是直线x=3（2）解：由题意，得y1=2x2-4hx+2h2-2，∴b+c=2h2-4h-2，=2(h-1)2-4，∴当h=1时，b+c的最小值是-4.（3）解：由题意，得y=y1-y2=2(x-m)(x-m-2)-(x-m)=(x-m)[2(x-m)-5]，∵函数y的图象经过点(x0，0)，∴(x0-m)[2(x0-m)-5]=0，∴x0-m=0，或x0-m=52【知识点】二次函数的三种形式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【分析】（1）利用点A，B是抛物线与x轴的两交点坐标，利用交点式，可得到y1=2(x-1)(x-2)，即可得到函数解析式；再求出抛物线的对称轴.

（2）将y1，y2代入y=y1-y2，可得到y关于m的函数解析式，将其转化为y=(x-m)[2(x-m)-5]；再将点(x0，0)代入，可得到方程，解方程求出x0-m的值.9．【答案】（1）解：∵m，n分别是方程x2-2x-3=0用因式分解法解方程：(x+1)(∴x1=-1，x∴m=-1，n=3∴A(-1,0)，B(0,3)把(-1,0)，(0,3)代入得，-1-b+c=0c∴函数解析式为y=-x抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x在0⩽x当x=1时，y最大值=4；当x=3时，（2）解：令y=-x2+2x+3=0解得x1=-1，x∴抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点为A∴OA=1，OC=3∴对称轴为x=-1+32=1，顶点D(1,-1+2+3)∴BC=32+32=32，∵CD2∴△BCD是直角三角形，且∠DBC∴∠AOB=∠在Rt△AOB和Rt△DBC中，AOBD=∴AOBD=∴△BCD∽△【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用【解析】【分析】（1）先解方程求得A、B两点的坐标，再利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；由抛物线y=-x2+2x+3解析式，可得对称轴为x=1，y有最大值，当x=3时，y有最小值；

（2）根据解方程，直接写出C的坐标，再确定顶点10．【答案】（1）解：∵y=x∴其顶点坐标为(0，-∵y=x2-4∴(0，-4)在一次函数y=-∴-4=0+p∴p=-4∴一次函数为：y=-x∴一次函数与坐标轴的交点分别为(0,-4)，(-4,0)，∴直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边长度都为∴直线y=-x+p（2）解：设函数y=x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则∴|x1∵函数y=x2+2x+n∴4-4n解得，n=-3∴函数y=x2+2x+∴其顶点坐标为(-1,-4)，∵y=x2+2x∴-4=-m-∴【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【分析】（1）首先求出y=x2-4的顶点坐标，然后将该点的坐标代入y=-x+p即可算出p的值，从而求出直线的解析式，根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出其与两坐标轴交点的坐标，从而根据三角形的面积计算方法即可算出答案；

（2）设函数y=x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，故x1，x2就应该是方程0=x11．【答案】（1）解：∵抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，∴y=0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3=0，则△=（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，解得m＜6且m≠2．即m的取值范围是：m＜6且m≠2．（2）解：∵m＜6且m≠2，∴m满足条件的最大整数是m=5．∴y=3x2+10x+8．当y=0时，3x2+10x+8=0．解得x1=-2,即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（-43，【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【分析】（1）根据抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点时，可知（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△＞0且m﹣2≠0，从而可以解答本题；

（2）根据第一问求得的m的取值范围，可以得到m的最大整数，从而可以求得抛物线与x轴有两个交点的坐标．12．【答案】（1）解：∵y=(x-m)∴该抛物线的对称轴为直线：x=--又∵该抛物线的对称轴为：直线x=5∴--(2m+1)2=∴抛物线的解析式为：y（2）解：设原抛物线向上平移k个单位后与x轴只有1个公共点，则平移后抛物线解析式为：y=x∵它与x轴只有一个公共点，∴Δ=52-4(6+k即，将该抛物线向上平移14个单位长度后，新抛物线与x轴只有1【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【分析】（1）首先将抛物线整理成一般形式，再配成顶点式，然后由对称轴直线公式x=-b2a=52，列出方程，求解即可求出m的值，从而得出抛物线的解析式；

（2）根据抛物线的几何变换规律：上下移动的时候，直接在抛物线的解析式上上加下减，设原抛物线向上平移k个单位后与x轴只有1个公共点，则平移后抛物线解析式为：y=x2−5x+6+k，根据抛物线与x轴只有一个交点，故函数的函数值为13．【答案】（1）解：由图象可知，300=a×302，解得a=13，n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得b=﹣19∴y=1（2）解：由题意﹣19（x﹣90）2+700=684，解得x=78，∴684-6244=15，∴15+30+（90﹣78）所以，馆外游客最多等待57分钟【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【分析】（1）构建待定系数法即可解决问题．（2）先求出馆内人数等于684人时的时间，再求出直到馆内人数减少到624人时的时间，即可解决问题．本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．14．【答案】（1）解：把点(1,0)和(2,1)代入得：a+b+1=0解得a=1b∴y=x2-2x∴该函数图象的顶点坐标是(1,0)；（2）解：例如a=1，b=3，此时y=∵b2-∴函数y=x2+3x+1（3）证明：由题意，得P=p2+p+1∵p+q∴P===2(q由题意，知q≠1所以P+【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【分析】（1）分别将点（1，0）和（2，1）代入函数解析式，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到函数解析式；将函数解析式转化为顶点式，可求出二次函数的顶点坐标.（2）利用b2-4ac＞0，写出符合题意的a，b的值即可.

（3）利用已知条件求出P+Q与p，q的函数解析式，由已知可知p=2-q，可将将函数解析式转化为顶点式，即可证得结论.15．【答案】（1）解：根据题意得：y=（30+x﹣20）（230﹣10x）=﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数（2）解：当y=2520时，得﹣10x2+130x+2300=2520，解得x1=2，x2=11（不合题意，舍去）当x=2时，30+x=32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元（3）解：根据题意得：y=﹣10x2+130x+2300=﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a=﹣10＜0，∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），当x=7时，30+x=37，y=2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．（2）把y=2520时代入y=﹣10x2+130x+