数字信号处理基础

1.1离散时间信号与系统数字信号处理基础1.2

数字滤波器总结信号的分类1.连续时间信号和离散时间信号2.周期信号和非周期信号3.确定性信号和随机信号4.能量信号和功率信号5.一维信号、多维信号平稳和非平稳（时变）信号离散信号(序列)的表示

x(n)={1,1,2,-1,1;n=-1,0,1,2,3}n121-1-101231典型离散信号（序列）1.单位脉冲序列2.单位阶跃序列3.矩形序列4.指数序列anu(n)：右边指数序列|a|1序列有界anu(-n)：左边指数序列|a|1序列有界5.复指数序列6．正弦型序列数字域频率数字频率与模拟频率的关系模拟角频率2)

相加与相乘

x1(n)+x2(n)cx(n)1)

位移（延时）

x(n)

x(n-N)3)卷积卷积的计算y=conv(x,h)离散信号（序列）的基本运算4)抽取(decimation) x(Dn)5)插值(interpolation) x(n/I)D为正整数序列是的抽取序列每D个样值抽取一个序列是的插值序列每两个样值之间插入（I-1）个零值I为正整数时域抽取，造成在数字频率域上频谱展宽时域插值，造成在数字频率域上频谱压缩选择合适的I和D，就能够任意地改变采样频率fs一般是先做I倍插值，再做D倍抽取加防混叠滤波器的抽取器系统将待抽取序列的频谱限制在范围内↓D↑I↑I↓D使用一个低通虑波器无论是抽取还是插值，其输入到输出的变换都相当于经过一个线性时变系统!!!y(n)

=T{x(n)}离散时间系统][nx][ny输入序列输出序列前置预滤波器A/D变换器数字信号处理器D/A变换器模拟滤波器模拟xa(t)PrFADCDSPDACPoF模拟ya(t)离散系统2.时不变定义：如T{x(n)}=y(n)，则T{x(n-m)}=y(n-m)LTI(lineartime-invariant)系统性质1.

线性3.因果性（Causality）定义:系统n时刻的输出只与n时刻及以前的输入有关因果的LTI：h(n)=0,n<0.4.稳定性LTI系统稳定的充分必要条件有界输入产生有界的输出

系统的描述1.单位脉冲响应h(n)2.差分方程输入序列输出序列h(n)x(n)y(n)y=conv(x,h)y=filter(b,a,x)3.离散系统的频率响应magnituderesponsephaseresponsereal()

imag()abs()angle()[H,w]=freqz(b,a)离散系统z域分析z变换定义及收敛域收敛域(ROC):R-<|z|<R+有限长序列的z变换的收敛域至少是有限z平面1)

有限长序列

z变换的收敛域2)

因果序列z变换及其收敛域因果序列仅当

|z|>|a|时其ZT存在，其收敛域是半径为|a|的圆外区域。|a|3)

反因果序列z变换及其收敛域反因果序列仅当

|z|<|a|时其ZT存在，其收敛域为半径为|a|的圆内区域。a4）双边序列的z变换及其收敛域双边序列当|a|<|b|时其z变换存在，收敛域为|a|<|z|<|b|的环状区域半径为|b|半径为|a|当|a||b|时没有公共收敛域，即其z变换不存在！系统函数H(z)(transferfunction,systemfunction)对LTI系统:

y(n)=x(n)*h(n)由z变换的性质：Y(z)=X(z)H(z)H(z)称为LTI离散系统的系统函数当H(z)ROC包含单位圆时差分方程和系统函数ak=0(k=1~N)时，系统称FIR(finiteimpulseresponse)ak不全为零时，系统称为IIR(infiniteimpulseresponse)FIR系统的h(n)有限长，一般采用非递归结构实现IIR系统的h(n)无限长，只能采用递归型结构实现有时FIR系统也使用递归结构实现，可以提高计算效率L点的滑动平均器：系统的稳定性和H(z)LTI系统稳定的充要条件：H(z)的收敛域包含单位圆稳定因果系统非稳定非因果系统

稳定非因果系统稳定因果系统的极点必须在单位圆内利用DFT分析信号的频谱双音多频信号（DTMF）频域比时域分析更容易一、四种信号频谱之间的关系

CFT、FS、DTFT、DFT二、利用DFT分析连续非周期信号频谱混叠现象、泄漏现象、栅栏现象三、DFT参数选取利用DFT分析信号的频谱连续←→离散←→非周期周期时域←→频域1、傅里叶级数(FS)--连续时间、离散频率周期函数分解成一系列谐波的线性组合0基频时域连续、周期→t0非周期信号对应连续频谱频域非周期、离散2、傅里叶变换(FT)--连续时间、连续频谱时域连续、非周期→0t0频域非周期、连续3、序列傅里叶变换(DTFT)--离散时间、连续频谱时域离散、非周期→n00频域周期、连续4、离散傅里叶级数(DFS)--离散时间、离散频谱n0时域的离散、周期→0频域的周期、离散tnn是2p的N等分隐含周期性n取一个周期取一个周期问题：如何利用数字方法分析信号的频谱？

X=fft(x)

x=ifft(X)利用DFT分析连续非周期信号的频谱

加窗出现三种现象：混叠、泄漏、栅栏抽样DFT)j(X0Ap2-p2)(jeX0p2-p2)(jeXN0时域加窗(数据截断)造成频谱泄漏现象混叠失真频谱泄漏栅栏效应混叠现象、泄漏现象、栅栏现象1)混叠现象的解决办法:抗混滤波抽样DFT0Ap2p2-)(j0eX)j(X0A)j(X0A0mm-增大采样频率fs，加抗混滤波器2）泄漏现象（时域加窗对频谱的影响）加窗泄漏现象减轻的方法:NNp2Np4pp-Np2-主瓣旁瓣旁瓣0截取更长的数据、不要突然截断，即选择渐变的窗函数

矩形窗巴特列特窗（三角窗）汉宁窗（升余弦窗）海明窗（改进的升余弦窗）布莱克曼窗（二阶升余弦窗）凯泽窗是一个可以自由选择的参数，用于调整主瓣宽度和旁瓣的幅度3）栅栏现象：就像通过栅栏看景象.解决栅栏现象的方法：频率分辨率T0信号的实际长度序列后补零DFT参数选取1.2.3.抽样频率:时间长度:抽样点数:END快速傅里叶变换（FFT）基2、基4、分裂基算法WFTA、素因子算法IIR

数字滤波器FIR

数字滤波器理想数字滤波器理想低通滤波器)(jLPeH

pp-cc

-1理想高通滤波器)(jHPeHpp-cc-1理想带通滤波器)(jBPeH

pp-1c12c1c-2c-理想带阻滤波器)(jBSeHpp-1c12c1c-2c-IIR数字滤波器设计这些典型的滤波器各有特点：巴特沃思滤波器:具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器:幅频特性在通带或者在阻带有波动，可以提高选择性；椭圆滤波器:选择性相对前两种是最好的,在通带和阻带内均为等波纹幅频特性。根据具体要求可以选用不同类型的滤波器。

常用模拟原型滤波器有巴特沃思(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器等利用MATLAB实现[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)[N,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs)[N,Wn]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs)[N,Wn]=ellip(Wp,Ws,Rp,Rs)[b,a]=cheby1(N,Rp,Wn)[b,a]=butter(N,Wn)[b,a]=cheby2(N,Rs,Wn)[b,a]=ellip(N,Rp,Rs,Wn)一、IIR数字滤波器的直接型结构直接I型滤波器需要?个延时单元?（N+M）直接II型结构交换级联子系统只需?级延迟单元max(N,M)IIR数字滤波器的直接型结构优缺点优点：简单直观缺点：

1.改变某一个{ak

}将影响所有的极点

2.改变某一个{bk

}将影响所有的零点

3.对有限字长效应太敏感，容易出现不稳定现象对于三阶以上的IIR滤波器，几乎都不采用直接型结构，而是采用级联型、并联型等其它形式的结构二、IIR数字滤波器的级联型结构将滤波器系统函数H(z)的分子和分母分解为一阶和二阶实系数因子之乘积的形式画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们级联二阶基本节级联型结构信号流图基于直接II型的级联型结构y[n]x[n][sos,G]=zp2sos(z,p,c)[z,p,c]=tf2zp(b,a)roots(b)IIR数字滤波器的级联型结构优点优点：1.硬件实现时，可以用一个二阶节进行时分复用2.每一个基本节系数变化只影响该子系统的零极点3.对系数变化的敏感度小，受有限字长的影响比直接型低问题：最优化问题三、IIR数字滤波器的并联型结构将滤波器系统函数H(z)展开成部分分式之和，并将子系统仍采用二阶基本节表示画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们并联。[r,p,k]=residuez(num,den)[num,den]=residuez(r,p,k)IIR并联型结构IIR数字滤波器的并联型结构优缺点优点：

1.运算速度快

2.各基本节的误差互不影响

3.可以单独调整极点的位置缺点:

不能向级联型那样直接调整零点IIR滤波器系数量化中的有限精度问题例.已知IIR滤波器，其系统函数为假设该滤波器系数以4比特硬件实现：0.9,0.2,0.4,0.5分别被量化为：0.875,0.125,0.375,0.5则，直接型实现时，极点位置变为：0.18,0.695串联型实现时，极点变为：0.375,0.5级联11，并联10，直接20零点、极点分布简单陷波器设计要求：去掉0.2pi的正弦信号IIR滤波器实现y=filter(b,a,x)for(i=0;i<M;i++){yn1=yn1+x[i]*b[i];}for(j=1;j<N;j++){yn2=yn2+y[j]*a[j];}yn=yn1-yn2;数组x[i]移位x[0]对应当前时刻输入数据x[1]对应上一时刻输入数据…….数组y[j]移位y[1]对应上一时刻的输出…….直接型temp=input;for(k=0;k<IIR_section;k++){w[k][0]=temp–a[k][1]*w[k][1]-a[k][2]*w[k][2];temp=b[k][0]*w[k][0]+b[k][1]*w[k][1]+b[k][2]*w[k][2]w[k][2]=w[k][1];w[k][1]=w[k][0];}output=temp;串联型(子系统用直接II型实现)IIR数字滤波器的优缺点优点：可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。在相同的过渡带性能下，阶数远比FIR的低！缺点：相位的非线性，将引起频率的色散；若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂，成本也高。在对相位要求不敏感的场合，可以选用IIR。而在图像信号处理，数据传输等以波形携带信息的系统中，要求系统具有严格的线性相位(1)很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真。这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要；(2)极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；(3)任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转为因果序列，所以因果性总是满足；(4)可以使用FFT算法实现过滤信号，从而提高效率。FIR数字滤波器的特点缺点：因为没有极点，要获得好的过渡带特性，需要较高的阶数FIR数字滤波器设计窗函数设计法频率抽样设计法最优化设计法b=fir1(N,Wn,’filtertype’,window)b=fir2(N,f,m,window)b=remez(N,f,m)firpm()N取奇数窗函数窗性能指标加窗后滤波器性能旁瓣峰值主瓣宽度过渡带宽度阻带最小衰减Rectangular-13dB-21dBBartlett-25dB-25dBHanning

-31dB-44dBHamming-41dB-53dBBlackman-57dB-74dB阻带衰减只与窗函数形状有关；过渡带宽度既和窗函数形状有关又和N有关，随着N的增大，过渡带变窄一、FIR数字滤波器的直接型结构M+1个乘法器，M个延迟器M阶FIR数字滤波器x[n]y[n]二、FIR数字滤波器的级联型结构将H(z)分解为若干个实系数一阶二阶因子相乘x[n]y[n]优点：便于控制零点，可分别控制每个子系统的零点缺点：所需系数较多，所需乘法较多三、线性相位FIR数字滤波器结构奇数个系数利用线性相位FIRh[n]的对称特性：h[n]=±h[M-n]相同系数的共用乘法器，省略近一半的乘法器x[n]y[n]偶数个系数相同系数的共用乘法器，省略一半的乘法器x[n]y[n]四、FIR数字滤波器的快速卷积结构L-pointDFTL-pointDFTL-pointIDFT有两种分段卷积的办法:重叠相加法和重叠保留法分段卷积法：将x(n)分成点数和h(n)相仿的段，分别求出每段的卷积结果，然后用某种方式把它们合在一起，得到总的输出，每段的卷积均采用FFT方法。FIR滤波器实现y=filter(b,1,x)y=conv(x,b)typecoef_arrisarray(0to12)ofsigned(8downto0);constantcoefs:coef_arr:=("000001100",--0C->12->0.0474--1"111110111",--F7->-9->-0.0336--2"111101101",--ED->-19->-0.0762--3"111110101",--F5->-11->-0.0436--4"000011010",--1A->26->0.1034--5"001001010",--4A->74->0.2887--6"001100000"--60->96->0.3736–7"001001010",--4A->74->0.2887--8"000011010",--1A->26->0.1034--9"111110101",--F5->-11->-0.0436--10"111101101",--ED->-19->-0.0762--11"111110111",--F7->-9->-0.0336--12"000001100",--0C->12->0.0474--13);系数的量化ifrst='0'thenforiin0to12loop

shift(i):=(others=>'0');endloop;result<=(others=>'0');elsif(clk'eventandclk='1')then

tmp:=sample;acc:=tmp*coefs(0);foriin11to0loopold:=shift(i);pro:=old*coefs(i+1);acc:=acc+pr