信号与系统分析(第2版)第6章-5-7

1第6章离散傅里叶变换6.3

离散时间系统的频域分析6.2离散时间傅里叶变换6.4离散傅里叶变换6.5信号频谱的数值计算6.6离散傅里叶变换的性质6.7快速傅里叶变换简介6.1引言2

6.5信号频谱的数值计算6.5信号频谱的数值计算1.周期信号的频谱分析2.非周期信号的频谱分析3.数据截断问题3

1.周期信号的频谱分析6.5信号频谱的数值计算1.周期信号的频谱分析连续时间周期信号xT(t)的样本xN[n]与xT(t)的离散频谱c[k]的关系：

对频带有限的xT(t)，若一个周期中抽样的离散点数N大于最高谐波次数km的二倍即：N>2km，则在忽略数值误差的情况下，c[k]可以精确计算：4

1.周期信号的频谱分析6.5信号频谱的数值计算

若xT(t)频谱无限分布，用DFT必然会出现频普混叠，从而带来误差。解决的方法：适当提高抽样频率，以减少频谱混叠的影响。一般取两种不同的抽样频率进行计算，当二者的计算频谱基本一致时可认为结果正确。

根据c[k]求xT(t)在主值区间离散值：52.非周期信号的频谱分析（1）DFT与DTFT的关系①

有限长DFT离散变化，共N个点DTFT连续变化，周期为结论：DFT是对DTFT在频域内取N个点等间隔抽样的结果，DFT的包络线即为DTFT。2.非周期信号的频谱分析6.5信号频谱的数值计算6DFT：

DTFT：对DTFT连续的频谱离散化的结果MATLAB实现：利用FFT计算，用绘图语句stem绘出的离散频谱图。

例6-9

非周期离散序列连续的频谱，是DFT的包络线

MATLAB实现：利用FFT计算，用绘图语句plot绘出的包络线，即的连续频谱图。2.非周期信号的频谱分析6.5信号频谱的数值计算7在分析信号频谱的时候，由于受到计算能力的影响，只能处理有限长的信号。这就必须截取时间函数的一个有限范围，即把观测到的信号限制在一定的时间间隔之内。换句话说，就是要取出信号的某一个时间段。这种过程就是截断数据的过程。这种截断过程相当于对信号进行加窗，即信号乘以窗函数，变成的N点有限长序列，然后可以利用DFT计算DTFT，N的大小会影响结果的准确性，应视情况慎重选择。②无限长、N越大，间隔越密，在给定的情况下，可补零加大N。

（2）N与谱线间隔DFT对DTFT离散化的频谱间隔2.非周期信号的频谱分析6.5信号频谱的数值计算

①DFT与FT的关系

（a）关系8DFT与FT的关系为：非周期连续时间信号的傅里叶变换抽样样本的频谱设在周期延拓时的频谱混叠可忽略不计，由上式得在频谱的一个周期内（3）非周期连续时间信号的频谱分析：用DFT计算FT2.非周期信号的频谱分析6.5信号频谱的数值计算9

（b）频谱换位按上式计算出的前个样点对应于的频谱，而后半部分的样点对应于向左移位的频谱，即在负频率轴上。由于模拟频率间隔为，则频谱中第k个样点对应的频率为②利用DFT对连续非周期信号进行FT的参数选择 (a)根据指标要求的模拟频率分辨率来确定抽样的时间T

因为：所以：2.非周期信号的频谱分析6.5信号频谱的数值计算10

(d)确定时域抽样间隔

(c)确定抽样点数N调整(b)根据抽样定理，选择，即由信号的

定因为，根据对连续信号抽样后得N点序列

(e)利用DFT的快速算法计算的FT2.非周期信号的频谱分析6.5信号频谱的数值计算11例6-10利用DFT方法计算连续时间信号的频谱，要求满足如下指标：频谱分辨率f0

≤5Hz；信号的最高频率fm≤1.25kHz；抽样点数等于2的整数次方。试确定：（1）应记录的信号长度T；（2）抽样点数N；（3）时间抽样间隔Ts。2.非周期信号的频谱分析6.5信号频谱的数值计算解：（1）由于频率分辨率取决于时域信号的长度，其值为（2）根据信号的最高频率，抽样点数N要满足故取N=29=512（3）时间抽样间隔123.数据截断问题DFT在数字信号处理中具有极其重要的地位。在应用DFT对信号与系统进行处理时，会遇到一些具体的问题。正确认识和对待这些问题对于分析处理的结果有至关重要的作用。一般情况下，待研究的连续时间信号不具备离散性或周期性，也可能有无限长度。为了能利用DFT进行分析，应对此波形进行抽样和截断。这样一来，势必会引入误差。引入误差的原因主要有以下几种：用DFT逼近FT可能出现的问题3.数据截断问题6.5信号频谱的数值计算13(1)时限信号抽样及频谱的混叠现象①计算机只能处理时限信号，对非时限信号应先截短；②时限信号的频带无限，抽样定理无法实现，所以频率混叠不可避免。③减少混频的措施：a、

应尽量取大，这需要大储存空间和快速计算设备；b、先经过低通滤波器，滤掉信号中大于的频率分量。

3.数据截断问题6.5信号频谱的数值计算14①频域抽样与时域混叠a、带限信号都是非时限的。带限信号的来源b、对带限信号进行频域抽样条件无法实现，所以时域混叠不可避免。②频谱泄露a、避免时域混叠的方法：为了利用DFT计算FT，也为了避免时域混叠，必须对带限信号（非时限）在时域内截短，相当于乘上一个矩形窗。这样可以利用频域抽样条件，使得对信号的频域抽样避免时域混叠。(2)带限信号频域抽样及频谱泄露3.数据截断问题6.5信号频谱的数值计算15b、由时域截短造成的频谱泄露据傅里叶变换的卷积定理，信号加窗后的频谱相当于原信号频谱与窗信号的频谱在频域作卷积。即图中所以时域混叠与频谱泄露是一对矛盾。这种卷积过程造成了信号频谱的失真。失真频谱将产生“拖尾”（频谱延伸扩展）现象，使原有受限的频谱图形“扩展”开来，这种现象就称之为频谱泄漏。只要对带限信号进行DFT计算，就必须先截断，这样一来，频谱泄露就无法避免。3.数据截断问题6.5信号频谱的数值计算16c、减小频谱泄露的措施由于实际应用的需要，对信号进行截断是必须的，所以由此引起的频谱泄漏也显然是无法避免的。不过，通过改善窗函数的形状，可以达到减少泄漏的目的。通常的矩形窗在时域有突变，使得频域拖尾严重，收敛很慢。为了解决这个矛盾，人们已经研究了各种形式的窗函数，例如三角窗、布莱克曼窗、海明窗、汉宁窗等，它们都在不同程度上压低了窗函数频谱的旁瓣，减弱了频率泄漏现象。三角窗

布莱克曼窗

海明窗

汉宁窗Triang

Blackman

Hamming

Hanning3.数据截断问题6.5信号频谱的数值计算17（3）频率分辨率和栅栏效应①频率分辨率DFT本身不是非周期、有限长序列的频谱，而只是频谱的等间隔抽样样本。因此，为了使DFT能更精确地反映原信号的频谱FT，在用DFT分析信号的频谱时，就有一个频率分辨率的问题。结论：数字频率分辨率与点数N有关，模拟频率分辨率与时域信号的持续时间T有关。离散信号的频率分辨率N越大分辨率越高。连续信号的频率分辨率T越大分辨率越高，T为信号长度。3.数据截断问题6.5信号频谱的数值计算18②栅栏效应由于DFT是对有限长序列的频谱等间隔抽样得到的样本，就相当于是在栅栏的一边通过栅栏的缝隙(对应离散点)去观看另一边的景象(对应连续频谱)，只能在离散点的地方看到真实的景象，因此，那些被栅栏挡住的（频谱）部分是看不到的，这些被遮挡的部分就是未被抽样所抽到的部分，这就有可能漏掉一些较大频率分量。我们称这种现象为“栅栏效应”。当然，在实际问题中，“大的频谱分量”被挡住的情形还是很少的，栅栏效应并不是一个很严重的问题。尽管如此，我们还是有必要讨论清楚如何避免或者说减少这种栅栏效应。提高分辨率可以减小栅栏效应，却不能消除。以上几个问题是DFT使用者必须了解的，否则无法对计算出现的问题做出解释，甚至会导致错误的结果。3.数据截断问题6.5信号频谱的数值计算196.6离散傅里叶变换的性质6.6离散傅里叶变换的性质1.线性性质2.圆周移位3.圆周卷积4.奇偶虚实性206.6离散傅里叶变换的性质1.线性性质

1.线性性质

若和是两个有限长度序列，长度分别为和，则其线性组合的N点DFT为其中，和为常数，，和分别为和的N点DFT。216.6离散傅里叶变换的性质2.圆周移位

2.圆周移位

（1）圆周移位

①对应于DTFT的平移如图示226.6离散傅里叶变换的性质2.圆周移位②对应于DFT的移位b、移位a、c、截取主周期的序列，即乘上矩形窗，得到位移后的序列236.6离散傅里叶变换的性质③圆周位移的图示

右移出去的m个数据从左边补进来，数据不少，只是重新排队。2.圆周移位246.6离散傅里叶变换的性质此性质表明，有限长序列圆移位，其DFT等于移位前的DFT再乘上相移因子如果为偶数时，若对圆移位，由于

，故有2.圆周移位

（2）圆移特性

①时域圆移特性设为的位圆移序列的DFT为，则的DFT为256.6离散傅里叶变换的性质②频域圆周移位特性：即给序列乘以指数函数，其DFT为，圆周移位位。此特性用于卷积计算。2.圆周移位

3.圆周卷积

卷积定理

线性卷积线性卷积圆周卷积⊙26

（一）时域圆周卷积（圆周卷积定理）

若和均为点有限长序列，且则点圆周卷积为：⊙⊙（1）时域圆周卷积定理（只有数学定义，无物理意义）6.6离散傅里叶变换的性质3.圆周卷积27证明：6.6离散傅里叶变换的性质3.圆周卷积28④每一个n点圆周卷积的计算包括：变量代换、圆反转、圆移位、相乘、求和共5个步骤。③对每一个n点圆移位，先计算对应各个m点的乘积，再对范围内的全部乘积求和。②是把变量代换后的N点序列，

是把变量代换、圆反转、圆移位后，取其前N

个点后的N点序列。①圆卷积只在区间内进行，圆卷积结果也为N点有限长序列。

（2）圆周卷积的计算特点（以⊙为例）6.6离散傅里叶变换的性质3.圆周卷积29

（3）圆周卷积5个步骤的图解变量代换—圆反转—圆移位—相乘—求和以4点圆周卷积为例，全部过程可以用矩阵表示为：6.6离散傅里叶变换的性质3.圆周卷积30解：（1）变量代换

（2）圆反转把圆反转为（3）圆移位—相乘—求和例6-12

用图解法求有限长序列，的4点圆卷积。将、的变量置换为，6.6离散傅里叶变换的性质3.圆周卷积311234n=0h[-m]4123n=1h[1-m]3412n=2h[2-m]2341n=3h[3-m]1234（4）竖式法

481216

369122468

+12341234

4112030201144321

481216

12

3696824

+

23411234242224304321线性卷积圆周卷积6.6离散傅里叶变换的性质3.圆周卷积32圆周卷积线性卷积线性卷积圆周卷积⊙

6.6离散傅里叶变换的性质3.圆周卷积33（二）有限长序列的线性卷积与圆周卷积的关系（1）线性卷积则线性卷积为：（2）圆周卷积与线性卷积相等的条件①二者结果不同的原因6.6离散傅里叶变换的性质3.圆周卷积34－3－2－1012N1-1序号计算结果1234000x[m]1234000123h[0-m]y[0]=1×4＝4123400012h[1-m]y[1]=1×3+2×4＝1112340001h[2-m]y[2]=1×2+2×3+3×4＝201234000h[3-m]y[3]=1×1+2×2+3×3+4×4＝300123400h[4-m]y[4]=2×1+3×2+4×3＝200012340h[5-m]y[5]=3×1+4×2＝110001234h[6-m]y[6]=4×1＝4N1N2-1②解决办法：补零。使和

均有L长：对上例，补个零，补个零。补零后圆卷的计算结果等同于线卷。6.6离散傅里叶变换的性质3.圆周卷积35对序列补零后求圆卷积。这是因为圆卷积可以借助快速傅里叶变换FFT技术以较高的速度完成运算。用DFT进行快速线性卷积只需做3次FFT计算。补零后补零后（三）用DFT进行快速线性卷积6.6离散傅里叶变换的性质3.圆周卷积36注意：若不补零，结果不是，而是。只有数学结果没有物理意义。利用FFT计算卷积与直接卷积的实数乘法次数比较：N1+N2-11612825651210242048直接卷64409616384655362621441048576FFT卷4485888133122969665536143360

序列的点数越大，用FFT计算卷积的优越性越明显。6.6离散傅里叶变换的性质3.圆周卷积37例

有一离散时间系统，其单位样值响应，输入信号。试用DFT方法计算系统的输出。n=0:16;L=32h=(0.8).^n;Hk=fft(h，L);x=[ones(1，10)];Xk=fft(x，L);Yk=Hk.*Xk;y=ifft(Yk，L);n=0:31;stem(n，y);

解：先分别求得和的DFT，相乘后再求其逆变换。程序：程序运行结果如图所示：6.6离散傅里叶变换的性质3.圆周卷积386.6离散傅里叶变换的性质4.奇偶虚实性

4.奇偶虚实性若序列为实序列，其离散傅里叶变换为，则则幅度频谱为，是偶对称函数，相位频谱为，是奇对称函数。39N为奇数N为偶数根据对称性，实序列的DFT在时不需要专门计算，从而节省了计算量。注意：因为变量的取值范围为，对称不是关于原点，而是关于点的对称函数。6.6离散傅里叶变换的性质4.奇偶虚实性401、DFT的重要意义解决了数字信号处理的基本问题（时频域均离散和有限），给计算机编程提供了实用算法。使FS、FT、DFS、DTFT都可以用计算机数值计算。2、DFT的问题难以实时快速，不能用于自动控制、同声传译、自动追踪。只能用于数据的事后处理或系统模拟研究。6.7快速傅里叶变换简介6.7快速傅里叶变换简介413、DFT的运算速度每计算一个值需要进行N次复数相乘和N-1次复数相加，对于N个点，应重复N次上述运算。因此，完成全部DFT运算共需次复数乘法和次复数加法。由求的IDFT的计算量也同样是次复数乘法和次复数加法。DFT计算速度提高