抛物线性质公开课

抛物线的简单几何性质（一）M是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，若点M

的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是x0+—2pOyx．FM．焦半径及焦半径公式抛物线上一点到焦点的距离P(x0，y0)在y2=2px上，P(x0，y0)在y2=-2px上,P(x0，y0)在x2=2py上,P(x0，y0)在x2=-2py上,1、抛物线的范围:y2=2pxy取全体实数xyX0抛物线的几何性质：2、抛物线的对称性y2=2px关于x轴对称XY定义：抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点只有一个顶点

XY3、抛物线的顶点y2=2px所有的抛物线的离心率都是1XY4、抛物线的离心率y2=2px基本点：顶点，焦点基本线：准线，对称轴基本量：焦准距p（决定抛物线开口大小）XY5、抛物线的基本元素y2=2px例1：已知抛物线y2=2x(1)设点A的坐标为(，0)，求曲线上与点A距离最近的点P的坐标及相应的|PA|的值；(2)若䘊题中A(2,0)，则结果如何？例2：斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长.6、焦点弦和通径通径是焦点弦中最短的弦，通径|AB|=2p设AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦。设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),过A,B,M分别向抛物线的准线作垂线，垂足为A1,B1,M1,则yFA(x1,y1)OB(x2,y2)MA1B1M1A(x1,y1)(1)|AB|＝x1+x2+p

(2)x1x2=,y1y2=-p2XyFOB(x2,y2)MA1B1M1y2=2px(p>0)yFA(x1,y1)OB(x2,y2)MA1B1M1(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切y2=2px(p>0)∠AM1B=Rt∠,∠A1FB1=Rt∠N练习1：已知抛物线方程为y2=4x，直线l过定点P（-2，1），斜率为k.则k为何值时，直线l与抛物线y2=4x

只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点呢。提出问题

过抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交，两交点的纵坐标为，求证：.（焦点弦的其中一条性质）

探究1

过焦点的直线具有上述性质，反之，若直线AB与抛物线的两个交点A，B的纵坐标为，且，那么直线AB是否经过焦点F呢？

探究2

既然过抛物线焦点的直线与其相交，交点的纵坐标的乘积是一个定值，那么过抛物线对称轴上其他任意一定点，是否也有这个性质呢?探究3

设抛物线上两动点，且满足，问AB是否恒过某一定点？

探究4

设抛物线上两动点，且满足，求AB中点P的轨迹方程.探究5

设抛物线上两动点，O为坐标原点，OA⊥OB，则直线AB是否过定点？求AB中点P的轨迹方程.探究6

设抛物线上两动点，M为该抛物线上一定点，且MA⊥MB，则直线AB是否过定点？探究7

若M为抛物线上一个定点，A、B是抛物线上的两个动点，且(r为非零常数)，求证：直线AB过定点。

将“探究6”的“直线MA与直线MB的倾斜角之差为900”变为“直线MA与直线MB的倾斜角之和为900”，即，r=1,直线AB过定点.将“探究6”的“直线MA与直线MB的倾斜角之差为900”变为“直线MA与直线MB的倾斜角之和为1800”，直线AB不过定点，但可得到：

探究8

若M为抛物线上一个定点，A、B是抛物线上的两个动点，且直线MA与直线MB的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值。

设计意图：培养学生研究数学问题的一般思想方法，一是考虑原命题的逆命题是否成立；二是考虑能否把原命题进行一般推广；三是考虑从原命题条件中还能推出什么结论？四是考虑把原命题进行适当变式进行拓展。

问题

(2004年北京卷理)

过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于.当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率为非零常数.变式1过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，若直线AB的斜率为定值，证明直线PA与PB的倾斜角互补.

设动直线AB：y=-x+b与抛物线相交于两点，问在直线MN：x=2上能否找到一定点P（坐标与b

的值无关），使得直线PA与PB的倾斜角互补？变式2变式3

如图，抛物线，过点P(1,0)作斜率为k的直线l交抛物线于A、B两点，A关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于Q点，当k变化时，探究点Q是否为定点？练习1：如图，定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，设线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离。练习2：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，求这个三角形的边长。变式：已知在抛物线y=x2上三个点A、B、C组成一个等腰直角三角形，且顶点B是直角顶点，

(1)设直线BC的斜率为k，求顶点B的坐标；

(2)求等腰直角三角形的面积的最小值。抛物线的对称性问题例.已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，且点A（-1，0）和B（0，8）关于直线的对称点都在抛物线上，求直线和抛物线的方程。2.2抛物线的简单性质

第1课时抛物线的简单性质

前面我们已学过椭圆的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线有哪些性质?让我们进入今天的学习！1.会根据抛物线的标准方程，研究抛物线的几何性质.（重点）2.了解抛物线的标准方程，几何性质与图像三者之间的对应关系,会根据此对应关系求抛物线的标准方程.（重点,难点）观察下表中抛物线的四个标准方程及对应图像，结合椭圆的简单几何性质，来研究抛物线的几何性质:类型y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图像1.对称性P(x,y)通过观察图像可知,此抛物线关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫作抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴.l思考：观察表中的抛物线标准方程及对应图像，我们要研究抛物线的范围应从哪几个方面入手?试举例说明.提示：像研究椭圆的性质一样，探究抛物线的范围问题主要从图像与对应标准方程两个角度探讨.以y2=-2px为例，因p>0，从方程的角度看y2=-2px≥0得x≤0,y∈R.从图像角度看，方程y2=-2px中因p>0得其图像开口向左，其图像在x轴的左侧，图像上对应点的横坐标x≤0，纵坐标y∈R.2.范围抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界曲线.由抛物线y2=2px（p>0）而所以抛物线的范围为3.顶点P(x,y)抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点.l思考：观察表中抛物线图像上点与焦点和准线的距离的联系，结合抛物线离心率的概念探究抛物线离心率的大小.提示：抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，通过抛物线的定义及图形特点易得抛物线的离心率为1.4.离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的_________，叫作抛物线的离心率，用e表示.由抛物线的定义可知e=__.离心率距离的比1思考：若在图像中过焦点F作一直线，当此直线与对称轴垂直时，试探究所得弦长的值.提示：所得弦长的值为2p(p＞0)，不妨设垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线相交于A，B两点，过A，B分别作AA′,BB′垂直于抛物线的准线于点A′,B′，则有|AB|=|AA′|+|BB′|=2p.5.通径：通径：在抛物线的标准方程y2=2px(p>0)中，令，则y=±p.这就是说，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为xOyF通径的长度：p越大,开口越开阔利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.连接这两点的线段叫作抛物线的通径.2p图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOylFxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x轴y轴1lyxFO思考：抛物线的顶点、焦点、准线与对称轴交点三者之间有何联系？提示：顶点恰好是焦点、准线与对称轴交点的中点，可利用中点坐标公式建立三者之间的关系.例：求顶点在原点，通过点且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程.【提升总结】求解抛物线标准方程的两个关键点(1)参数：p是焦点到准线的距离，利用顶点、准线、焦点的位置关系可快速求参数p.(2)对称：抛物线是轴对称图形，利用图形的特点，给出图像能写出抛物线的标准方程，由标准方程能画出其图像，是学习这部分知识的基本能力.需要对抛物线四种基本标准形式及其图像在坐标系内的位置熟练掌握.1.若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点，则该直线的斜率为()A.0B.1C.-1D.-2【提示】直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点(1，0).C2.顶点在原点，且经过点(4,-2)的抛物线