趋势外推预测法

预测与决策分析技术主讲:安小会5趋势外推预测法5.1趋势外推法概述5.2多项式曲线趋势外推法5.3指数曲线趋势外推法5.4生长曲线趋势外推法天津理工大学管理学院5.1趋势外推法概述1趋势外推法概述（1）趋势外推法概念和假定条件趋势外推法概念：当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。趋势外推法的两个假定：（1）假设事物发展过程没有跳跃式变化；（2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条件不变或变化不大。

天津理工大学管理学院5.1趋势外推法概述（2）常见的趋势预测模型①多项式曲线外推模型：一次（线性）预测模型：二次（二次抛物线）预测模型：三次（三次抛物线）预测模型：一般形式：天津理工大学管理学院②指数曲线预测模型：一般形式：修正的指数曲线预测模型：5.1趋势外推法概述天津理工大学管理学院③对数曲线预测模型：④生长曲线趋势外推法：皮尔曲线预测模型：龚珀兹曲线预测模型：

5.1趋势外推法概述天津理工大学管理学院模型库模型识别参数估计预测确定模型属何种类型类型、特征（3）基本思想5.1趋势外推法概述天津理工大学管理学院模型的基本类型和特征1.一次（线性）预测模型：

一阶差分：特征：增长曲线为一次曲线，则其一阶差分为常数。适用于时间序列数据呈直线趋势的上升（或下降）变化。天津理工大学管理学院模型的基本类型和特征2.多项式非线性曲线预测模型：

一阶差分：特征：若增长曲线为二次抛物线，则其二阶差分为常数。适用于时间序列观察值数据随时间变动呈现一种由高到低再到高（或由低到高再到低）趋势变化。。天津理工大学管理学院模型的基本类型和特征3.简单指数曲线预测模型：或特征：线性依赖时间t，的增长速率与成正比。若对象增长速度越来越快，其趋势近似指数函数曲线，且判断其在预测期限内不会出现突然变化，可考虑采用。天津理工大学管理学院模型的基本类型和特征4.修正指数曲线预测模型：

描述对象在发展的初期和中期增长速度较快，随后增长速度逐渐下降，其图形接近于渐近线。其中k为饱和值。特征：线性变化。

天津理工大学管理学院的渐近线下方渐近线上方渐近线特征：模型的基本类型和特征天津理工大学管理学院模型的基本类型和特征5.皮尔曲线预测模型：特征：是t的线性函数。

y=k,y=0,上、下两条渐近线天津理工大学管理学院模型的基本类型和特征6.龚珀兹曲线预测模型：取对数：

修正指数曲线。特征：线性变化。

天津理工大学管理学院模型的基本类型和特征天津理工大学管理学院天津理工大学管理学院3趋势模型的选择（1）图形识别法：这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。5.1趋势外推法概述天津理工大学管理学院5.1趋势外推法概述（2）差分法：利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。一阶向后差分可以表示为：二阶向后差分可以表示为：天津理工大学管理学院4参数的估计1）对于线性模型，用最小二乘法处理。

2）一些非线性模型，可化为线性模型处理。3）其他类型，有一些特殊方法处理。5.1趋势外推法概述天津理工大学管理学院5.2.1直线模型预测一阶差分常数特征：若增长曲线为一次曲线，则其一阶差分为常数。适用于时间序列数据呈直线趋势的上升（或下降）变化。P74例题

5.2多项式曲线趋势外推法天津理工大学管理学院5.2.1直线模型预测的参数估计原理：最小二乘原理。用直线形态的趋势线拟合时间序列数据，使该直线上的预测值与实际观察值之间的离差平方和为最小。5.2多项式曲线趋势外推法天津理工大学管理学院例5.1

某家电企业1993～2003年利润额数据资料如（表5.1）所示，求当时间变量的编号分别为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5和0，1，2，3，4，5，6，7，8，9时，试预测2004、2005年企业的利润各为多少万元？解：

1)绘制时间序列数据散点图。观察各散点的变化趋势是否可用直线方程来拟合。天津理工大学管理学院2)计算求待定系数所需的数据资料年份19931994199519961997199819992000200120022003编号-5-4-3-2-1012345利润额2003003504005006307007508509501020天津理工大学管理学院2)计算求待定系数所需的数据资料年份19931994199519961997199819992000200120022003编号-5-4-3-2-1012345利润额2003003504005006307007508509501020天津理工大学管理学院2)计算求待定系数所需的数据资料年份19931994199519961997199819992000200120022003编号-5-4-3-2-1012345利润额2003003504005006307007508509501020604.582.7天津理工大学管理学院拟合直线方程为天津理工大学管理学院预测：上述计算可列在表中。天津理工大学管理学院表5.1某家用电器厂1993～2003年年利润及拟合直线方程法计算表（单位：万元）

年份利润额y1993200-525-1000191.0000191.01994300-416-1200273.711300273.71995350-39-1050356.424700356.41996400-24-800439.1391200439.11997500-11-500521.84162000521.81998630000604.55253150604.5199970011700687.26364200687.22000750241500769.97495250769.92001850392550852.68646800852.620029504163800935.39818550935.32003102052551001018.010100102001018.06650011091005538542350天津理工大学管理学院5.2多项式曲线趋势外推法

5.2.2二次抛物线模型及其应用二次抛物线预测模型为：二阶差分常数天津理工大学管理学院设有一组统计数据，，…，，令即：解这个三元一次方程就可求得参数。5.2多项式曲线趋势外推法天津理工大学管理学院5.2多项式曲线趋势外推法

例题下表是我国1952年到1983年社会商品零售总额（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额。天津理工大学管理学院年份时序（t）总额（yt

）年份时序（t）总额（yt

）年份时序（t）总额（

yt

）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7天津理工大学管理学院对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为

y轴，年份为x轴。天津理工大学管理学院从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将分别对该两种模型进行参数拟合。适用的二次曲线模型为：适用的指数曲线模型为：5.2多项式曲线趋势外推法天津理工大学管理学院进行二次曲线拟合。首先产生序列，然后运用普通最小二乘法对模型各参数进行估计。得到估计模型为：其中调整的，，则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为151.7。

5.2多项式曲线趋势外推法天津理工大学管理学院5.2多项式曲线趋势外推法

进行指数曲线模型拟合。对模型：两边取对数：产生序列，之后进行普通最小二乘估计该模型。最终得到估计模型为：天津理工大学管理学院

其中调整的，，则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为：175.37。通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用二次曲线模型拟合的效果更好。因此，运用方程：进行预测将会取得较好的效果。5.2多项式曲线趋势外推法天津理工大学管理学院5.2.3三次多项式曲线预测模型为：5.2多项式曲线趋势外推法天津理工大学管理学院

设有一组统计数据，，…，，令即：解这个四元一次方程就可求得参数。5.2多项式曲线趋势外推法天津理工大学管理学院5.3指数曲线趋势外推法5.3.1一般指数曲线预测模型为：环比发展速度为常数天津理工大学管理学院对函数模型做线性变换得：令，则这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了。5.3指数曲线趋势外推法天津理工大学管理学院5.3指数曲线趋势外推法5.3.2修正指数曲线模型预测修正指数曲线预测模型为：描述对象在发展的初期和中期增长速度较快，随后增长速度逐渐下降，其图形接近于渐近线。其中k为饱和值。天津理工大学管理学院的渐近线下方渐近线上方渐近线特征：5.3指数曲线趋势外推法天津理工大学管理学院5.4生长曲线趋势外推法4生长曲线趋势外推法皮尔曲线