数学发展简介(国培计划)

数学发展简介国培计划1主要内容

一、数学的本质属性

二、数学分支领域介绍

三、应用类数学分支介绍

四、数学问题介绍

2高斯说：“数学是科学的皇后。”伽利略说：“数学是上帝用来书写宇宙的文字。”爱因斯坦说：“这个世界可以由音乐组成，也可以由数学公式组成。”一数学的本质属性3数学是一种语言，是一切科学的共同语言。数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙。数学是一种工具，一种思维的工具。数学是一门艺术，一门创造性艺术。

浙江师范大学张维忠教授和东南大学王元明教授的观点：4数学与哲学的区别数学与科学的区别数学与艺术的区别中国科学院数学研究所胡作玄教授则给出数学与其它科学的本质区别5在人类的知识宝库中有三大类科学，即自然科学、社会科学、认识和思维的科学。数学是自然科学的一种，是其它科学的基础和工具。从本质上看，数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，或简单讲，数学是研究数与形的科学。数学究竟是什么呢？6新世纪的数学，已不甘于站在后台，而是大步地从科学技术的幕后直接走到了前台。数学是计算机技术和信息技术的支柱，而计算机也为数学的发展提供新工具。

新世纪的数学7二数学分支领域介绍根据数学发展及研究的特点，数学又可分代数学、几何学和分析学三大领域。数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。81.代数学范畴代数学范畴包含算术、初等代数、高等代数、数论和抽象代数等幻方问题例:把1,2,3,4,5,6,7,8,9填入下表中使每行每列及两对角线上的三数之和均相等:(行数减1列数加1).1234567899例:把1,3,5,7,……,49这25个数填入下表使每行每列及两对角线上的5个数的和均相等.13579111315171921232527293133353739414345474910●数论整除问题被2、3、4、5、7、8、9、11等整除的整数有什么特征？完全数梅森素数:可以写成形式的素数，p也是素数。11

三人同行七十稀，五树梅花二十一，七子团圆正半月，减百零五便得知。

N＝70×2＋21×3＋15×2－105×2＝23在公元4世纪的《孙子算经》中有一个千古名题，“今有物，不知其数。三、三数之剩二；五、五数之剩三；七、七数之剩二。问物几何？”同余问题：如果两个整数被同一个数除余数一样就叫同余。12例：一个数被3除余2，被5除余3，求这个数。解：m=3，n=5，a=2，b=3.n和m互素，存在整数p>0,q<0使得：np+mq=1，即5×2+3×(-3)=1，p=2，q=-3中国剩余定理同理，m和n互素，存在整数p’>0,q’<0使得：mp’+nq’=1，即3×2+5×(-1)=1，p’=2，q’=-113所求之数为N=npa+mp’b，故

N=5×2×2+3×2×3=38相差mn的倍数的数也满足要求，即

N=38+kmn所求的最小整数为38-15-15=8.142.几何学范畴

初等几何、射影几何、解析几何、非欧几何、拓扑学等属于几何学范畴●非欧几何●拓扑学ＡＢＣＤＡＣＢ15哥尼斯堡七桥问题16一笔画问题ABCD17一个简单图形中，把与单数条线相连的点叫单数点，与偶数条线相连的点叫双数点。AB0个单数点ACBD4个单数点18结论1：一个简单图形中，如果有0个或2个单数点，就能一笔画成，否则就不能一笔画成。结论2：如果有2个单数点，从其中一个出发，回到另一个结束；如果没有单数点，从任一个点出发，回到该点结束。19AB有0个单数点，从A点出发，回到A点20GDHIEAFBC

4个单数点，不能一笔画GDHIEAFBC

2个单数点能一笔画成，从B出发，到F结束21欧拉定理和正多面体的分类欧拉定理：如果一个凸多面体的顶点数是e、棱数是k、面数是f，那么它们总有这样的关系：

e+f-k=2。

根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。22设一个正多面体的各面有相同的边(棱)数n,它的各顶点有相同的棱数m,于是又把m,n看成已知数,上述三个方程解出e,f,k得,,

23故当m=3时，分母是6-n，因此同样，当n=3时，我们把一切可能的m和n的取值列成下表：nmefk正多面体33446正四面体346812正八面体35122030正二十面体438612正六面体53201230正十二面体243.分析学范畴微积分、微分方程、微分几何、函数论和泛函分析等属于分析学范畴

●学习函数什么是最重要的？●什么是初等函数？●什么是无穷小、无穷大？254.三次数学危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾。

在数学发展史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。

数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。26●第一次数学危机有理数的表示在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

．O．127这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。必须发明新的数对应这样的点，因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数，这就导致了无理数的产生。28●第二次数学危机“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。

“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。

2917世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。

30罗素悖论：某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他只给不自己刮胡子的人刮胡子。当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡子。

●第三次数学危机31欧伯利得悖论：“我现在正在做的这个陈述是假的”

埃皮门尼德(公元前6世纪，克利特人)悖论：“克利特人总是说谎的人”

１．集合论建立在公理化的基础上２．逻辑基础的研究在集合论的基础上，诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论，数理逻辑也兴旺发达成为数学有机体的一部分。

32三应用类数学分支介绍应用类数学是相对纯粹数学而言的。纯粹数学和应用类数学从来就没有严格的界限。一般说来，纯粹数学是指数学中的这样一部分，它暂时不考虑对其它知识领域或生产实践上的直接应用。当然这并不意味着它没有应用价值。而应用类数学，则可以说是纯粹数学与科学技术的桥梁，通常包括数学技术和成果。

331.概率论与数理统计学

概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。例：甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共60元，每局甲、乙胜的机会均等，都是1/2。约定：谁先胜满3局则他赢得全部赌注60元。现已赌完3局，甲2胜1负，而因故中断赌情，问这60元赌注该如何分给2人，才算公平。初看觉得应按2：1分配，即甲得40元，乙得20元。

34正确的分法应考虑到如在这基础上继续赌下去，甲、乙最终获胜的机会如何。至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，二者之比为3：1，故赌注的公平分配应按3：1的比例，即甲得45元，乙15元。

35数理统计学是研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定的结论的科学和艺术。

数理统计学所考察的数据都带有随机性（偶然性）的误差。这给根据这种数据所作出的结论带来了一种不确定性，其量化要借助于概率论的概念和方法。362.运筹学

运筹学是用定量化方法对运行系统进行统筹规划，为管理决策提供科学依据的学科。它把有关的运行系统首先归结成数学模型，然后用科学方法（特别是数学方法）进行定量分析和比较，求得合理运用人力、物力和财力的系统运行最优方案。37运筹学的主要内容：规划论（包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划）、图论、决策论、对策论、排队论、存储论、可靠性理论等。383.计算数学

研究数值计算方法的设计、分析和有关理论基础与软件实现问题的一门学科，就叫做计算数学，它是一门兼具基础性、应用性和边缘性的数学学科。

计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。主要内容包括代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法，函数的数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。

394.模糊数学

模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学理论和方法。研究内容：

第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。

第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。

第三，研究模糊数学的应用。

40四数学问题介绍立方倍积：要求用尺规法作一立方体，使其体积为已知立方体体积的两倍。

１．世界四大数学难题三等分任意角：要求用尺规法三等分一个任意角。

化圆为方：要求用尺规法作出一个正方形，其面积与一已知圆的面积相等。

哥德巴赫猜想：任意大于２的偶数都可以写成两个素数的和。

41２．近代三大数学难题四色猜想：每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

费马大定理：方程式，（n>2）没有非平凡的整数解(即)。

哥德巴赫猜想：任意大于２的偶数都可以写成两个素数的和。

42３．七大千年数学难题●NP完全问题●霍奇（Ｈodge）猜想●庞加莱（Ｐoincare）猜想●黎曼（Riemannian）假设●杨－米尔斯（Yang-Mills

）理论●纳卫尔－斯托可（Navier-Stokes

）方程●贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-

Dyer)猜想

434．球装问题如何把乒乓球装箱，才可以装到最多乒乓球呢？这就是有名的“球体填充问题”，也称“开普勒猜想”。4445