解直角三角形测试题与答案

..解直角三角形测试题与答案一．选择题〔共12小题1．〔2014•义乌市如图,点A〔t,3在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=,则t的值是〔A．1B．1.5C．2D．32．〔2014•XX在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanB的值为〔A．B．C．D．3．〔2014•凉山州在△ABC中,若|cosA﹣|+〔1﹣tanB2=0,则∠C的度数是〔A．45°B．60°C．75°D．105°4．〔2014•随州如图,要测量B点到河岸AD的距离,在A点测得∠BAD=30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=100米,则B点到河岸AD的距离为〔A．100米B．50米C．米D．50米5．〔2014•凉山州拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1：,坝高BC=10m,则坡面AB的长度是〔A．15mB．20mC．10mD．20m6．〔2014•XX从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼,探测器显示,看到教学楼底部点C处的俯角为45°,看到楼顶部点D处的仰角为60°,已知两栋楼之间的水平距离为6米,则教学楼的高CD是〔A．〔6+6米B．〔6+3米C．〔6+2米D．12米7．〔2014•XX如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离〔即AB的长为〔A．4kmB．2kmC．2kmD．〔+1km8．〔2014•路北区二模如图,△ABC的项点都在正方形网格的格点上,则cosC的值为〔A．B．C．D．9．〔2014•长宁区一模如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,下边各组边的比不能表示sinB的〔A．B．C．D．10．〔2014•工业园区一模若tan〔α+10°=1,则锐角α的度数是〔A．20°B．30°C．40°D．50°11．〔2014•XX四月调考在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,则sinB的值是〔A．B．C．D．12．〔2014•XX一模在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,sinA=,则斜边上的高等于〔A．B．C．D．二．填空题〔共6小题13．〔2014•XX如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=,则AB的长为_________．14．〔2014•徐汇区一模如图,已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,且AD⊥BD,若CD=1,BC=3,那么∠A的正切值为_________．15．〔2014•虹口区一模计算：cos45°+sin260°=_________．16．〔2014•XX模拟某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米,则它上升的高度是_________米．17．〔2014•海门市模拟某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动,他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图,他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°,然后向建筑物AB前进20m到达点D处,又测得点A的仰角为60°,则建筑物AB的高度是_________m．18．〔2013•XX在△ABC中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8,则BC=_________．三．解答题〔共6小题19．〔2014•XX如图,用一根6米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆ABC,AB垂直于地面,线段AB与线段BC所成的角∠ABC=120°,若路灯杆顶端C到地面的距离CD=5.5米,求AB长．20．〔2014•XX如图,一楼房AB后有一假山,其坡度为i=1：,山坡坡面上E点处有一休息亭,测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米,与亭子距离CE=20米,小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°,求楼房AB的高．〔注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比21．〔2014•XX如图,AB、CD为两个建筑物,建筑物AB的高度为60米,从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°,测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．〔1求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；〔2求建筑物CD的高度〔结果保留根号．22．〔2014•XX一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光,航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故,立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向,马上以40海里每小时的速度前往救援,求海警船到大事故船C处所需的大约时间．〔温馨提示：sin53°≈0.8,cos53°≈0.623．〔2014•射阳县三模小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上,如图,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡度为30°,同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,求树的高度．24．〔2014•崇川区一模如图,某登山队在山脚A处测得山顶B处的仰角为45°,沿坡角30°的斜坡AD前进1000m后到达D处,又测得山顶B处的仰角为60°．求山的高度BC．参考答案与试题解析一．选择题〔共12小题1．〔2014•义乌市如图,点A〔t,3在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=,则t的值是〔A．1B．1.5C．2D．3考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：根据正切的定义即可求解．解答：解：∵点A〔t,3在第一象限,∴AB=3,OB=t,又∵tanα==,∴t=2．故选：C．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边．2．〔2014•XX在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanB的值为〔A．B．C．D．考点：互余两角三角函数的关系．专题：计算题．分析：根据题意作出直角△ABC,然后根据sinA=,设一条直角边BC为5x,斜边AB为13x,根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度,然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．解答：解：∵sinA=,∴设BC=5x,AB=13x,则AC==12x,故tan∠B==．故选：D．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系,属于基础题,解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．3．〔2014•凉山州在△ABC中,若|cosA﹣|+〔1﹣tanB2=0,则∠C的度数是〔A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值,继而可得出A和B的度数,根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：解：由题意,得cosA=,tanB=1,∴∠A=60°,∠B=45°,∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性,属于基础题,关键是熟记一些特殊角的三角形函数值,也要注意运用三角形的内角和定理．4．〔2014•随州如图,要测量B点到河岸AD的距离,在A点测得∠BAD=30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=100米,则B点到河岸AD的距离为〔A．100米B．50米C．米D．50米考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B作BM⊥AD,根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°,再根据等角对等边可得BC=AC,然后再计算出∠CBM的度数,进而得到CM长,最后利用勾股定理可得答案．解答：解：过B作BM⊥AD,∵∠BAD=30°,∠BCD=60°,∴∠ABC=30°,∴AC=CB=100米,∵BM⊥AD,∴∠BMC=90°,∴∠CBM=30°,∴CM=BC=50米,∴BM=CM=50米,故选：B．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用,关键是证明AC=BC,掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半．5．〔2014•凉山州拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1：,坝高BC=10m,则坡面AB的长度是〔A．15mB．20mC．10mD．20m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：计算题．分析：在Rt△ABC中,已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值,通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：解：Rt△ABC中,BC=10m,tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=10m,∴AB==20m．故选：D．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力,熟练运用勾股定理是解答本题的关键．6．〔2014•XX从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼,探测器显示,看到教学楼底部点C处的俯角为45°,看到楼顶部点D处的仰角为60°,已知两栋楼之间的水平距离为6米,则教学楼的高CD是〔A．〔6+6米B．〔6+3米C．〔6+2米D．12米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：在Rt△ABC求出CB,在Rt△ABD中求出BD,继而可求出CD．解答：解：在Rt△ACB中,∠CAB=45°,AB⊥DC,AB=6米,∴BC=6米,在Rt△ABD中,∵tan∠BAD=,∴BD=AB•tan∠BAD=6米,∴DC=CB+BD=6+6〔米．故选：A．点评：本题考查仰角俯角的定义,要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形,难度一般．7．〔2014•XX如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离〔即AB的长为〔A．4kmB．2kmC．2kmD．〔+1km考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD,得出AD=OA=2,再由△ABD是等腰直角三角形,得出BD=AD=2,则AB=AD=2．解答：解：如图,过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中,∵∠ADO=90°,∠AOD=30°,OA=4,∴AD=OA=2．在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°,∴BD=AD=2,∴AB=AD=2．即该船航行的距离〔即AB的长为2km．故选：C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．〔2014•路北区二模如图,△ABC的项点都在正方形网格的格点上,则cosC的值为〔A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：先构建格点三角形ADC,则AD=2,CD=4,根据勾股定理可计算出AC,然后根据余弦的定义求解．解答：解：在格点三角形ADC中,AD=2,CD=4,∴AC===2,∴cosC===．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中,一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．9．〔2014•长宁区一模如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,下边各组边的比不能表示sinB的〔A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：利用两角互余关系得出∠B=∠ACD,进而利用锐角三角函数关系得出即可．解答：解：∵在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∴∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,∴∠B=∠ACD,∴sinB===,故不能表示sinB的是．故选：B．点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义,正确把握锐角三角函数关系是解题关键．10．〔2014•工业园区一模若tan〔α+10°=1,则锐角α的度数是〔A．20°B．30°C．40°D．50°考点：特殊角的三角函数值．分析：根据tan30°=解答即可．解答：解：∵tan〔α+10°=1,∴tan〔α+10°=．∴α+10°=30°．∴α=20°．故选A．点评：熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．11．〔2014•XX四月调考在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,则sinB的值是〔A．B．C．D．考点：解直角三角形．分析：首先延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D,进而得出AD,CD,BC的长,再利用锐角三角函数关系求出即可．解答：解：延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D,∵∠CAB=120°,∴∠DAC=60°,∴∠ACD=30°,∵AB=4,AC=2,∴AD=1,CD=,BD=5,∴BC==2,∴sinB===．故选：B．点评：此题主要考查了解直角三角形,作出正确辅助线构造直角三角形是解题关键．12．〔2014•XX一模在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,sinA=,则斜边上的高等于〔A．B．C．D．考点：解直角三角形．分析：在直角三角形ABC中,由AB与sinA的值,求出BC的长,根据勾股定理求出AC的长,根据面积法求出CD的长,即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形,如图所示,在Rt△ABC中,AB=4,sinA=,∴BC=ABsinA=2.4,根据勾股定理得：AC==3.2,∵S△ABC=AC•BC=AB•CD,∴CD==．故选C．点评：此题考查了解直角三角形,涉及的知识有：锐角三角函数定义,勾股定理,以及三角形的面积求法,熟练掌握定理及法则是解本题的关键．二．填空题〔共6小题13．〔2014•XX如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=,则AB的长为3+．考点：解直角三角形．专题：几何图形问题．分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解答：解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=2,∴CD=,∴BD=CD=,由勾股定理得：AD==3,∴AB=AD+BD=3+．故答案为：3+．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．14．〔2014•徐汇区一模如图,已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,且AD⊥BD,若CD=1,BC=3,那么∠A的正切值为．考点：锐角三角函数的定义．分析：求出∠ABC=∠ADB=90°,根据三角形内角和定理求出∠A=∠DBC,解直角三角形求出即可．解答：解：∵AB∥CD,AB⊥BC,∴DC⊥BC,∠ABC=90°,∴∠C=90°,∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°,∴∠DBC+∠ABD=∠A+∠ABD=90°,∴∠A=∠DBC,∵CD=1,BC=3,∴∠A的正切值为tanA=tan∠DBC==,故答案为：3．点评：本题考查了锐角三角函数的定义,三角形内角和定理的应用,关键是求出∠A=∠DBC和求出tan∠DBC=．15．〔2014•虹口区一模计算：cos45°+sin260°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：将cos45°=,sin60°=代入求解．解答：解：原式=×+〔2=1+=．故答案为：．点评：本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值．16．〔2014•XX模拟某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米,则它上升的高度是60米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据坡度的定义可以求得AC、BC的比值,根据AC、BC的比值和AB的长度即可求得AC的值,即可解题．解答：解：由题意得,AB=100米,tanB==3：4,设AC=3x,则BC=4x,则〔3x2+〔4x2=1002,解得：x=20,则AC=3×20=60〔米．故答案为：60．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算,属于基础题．17．〔2014•海门市模拟某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动,他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图,他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°,然后向建筑物AB前进20m到达点D处,又测得点A的仰角为60°,则建筑物AB的高度是m．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．分析：设AB=x,在Rt△ABC中表示出BC,在Rt△ABD中表示出BD,再由CD=20米,可得关于x的方程,解出即可得出答案．解答：解：设AB=x,在Rt△ABC中,∠C=30°,则BC==x,在Rt△ABD中,∠ADB=60°,则BD==x,由题意得,x﹣x=20,解得：x=10．即建筑物AB的高度是10m．故答案为：10．点评：本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义,利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．18．〔2013•XX在△ABC中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8,则BC=6．考点：解直角三角形；等腰三角形的性质．分析：根据题意做出图形,过点A作AD⊥BC于D,根据AB=AC=5,sin∠ABC=0.8,可求出AD的长度,然后根据勾股定理求出BD的长度,继而可求出BC的长度．解答：解：过点A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴BD=CD,在Rt△ABD中,∵sin∠ABC==0.8,∴AD=5×0.8=4,则BD==3,∴BC=BD+CD=3+3=6．故答案为：6．点评：本题考查了解直角三角形的知识,难度一般,解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形以及勾股定理的应用．三．解答题〔共6小题19．〔2014•XX如图,用一根6米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆ABC,AB垂直于地面,线段AB与线段BC所成的角∠ABC=120°,若路灯杆顶端C到地面的距离CD=5.5米,求AB长．考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B作BE⊥DC于E,设AB=x米,则CE=5.5﹣x,BC=6﹣x,根据30°角的正弦值即可求出x,则AB求出．解答：解：过B作BE⊥DC于E,设AB=x米,∴CE=5.5﹣x,BC=6﹣x,∵∠ABC=120°,∴∠CBE=30°,∴sin30°==,解得：x=5,答：AB的长度为5米．点评：考查了解直角三角形,解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题〔画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案．20．〔2014•XX如图,一楼房AB后有一假山,其坡度为i=1：,山坡坡面上E点处有一休息亭,测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米,与亭子距离CE=20米,小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°,求楼房AB的高．〔注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：过点E作EF⊥BC的延长线于F,EH⊥AB于点H,根据CE=20米,坡度为i=1：,分别求出EF、CF的长度,在Rt△AEH中求出AH,继而可得楼房AB的高．解答：解：过点E作EF⊥BC的延长线于F,EH⊥AB于点H,在Rt△CEF中,∵i===tan∠ECF,∴∠ECF=30°,∴EF=CE=10米,CF=10米,∴BH=EF=10米,HE=BF=BC+CF=〔25+10米,在Rt△AHE中,∵∠HAE=45°,∴AH=HE=〔25+10米,∴AB=AH+HB=〔35+10米．答：楼房AB的高为〔35+10米．点评：本题考查了解直角三角形的应用,涉及仰角俯角及坡度坡角的知识,构造直角三角形是解题关键．21．〔2014•XX如图,AB、CD为两个建筑物,建筑物AB的高度为60米,从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°,测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．〔1求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；〔2求建筑物CD的高度〔结果保留根号．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：〔1根据题意得：BD∥AE,从而得到∠BAD=∠ADB=45°,利用BD=AB=60,求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；〔2延长AE、DC交于点F,根据题意得四边形ABDF为正方形,根据AF=BD=DF=60,在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF,然后即可求得CD的长．解答：解：〔1根据题意得：BD∥AE,∴∠ADB=∠EAD=45°,∵∠ABD=90°,∴∠BAD=∠ADB=45°,∴BD=AB=60,∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；〔2延长AE、DC交于点F,根据题意得四边形ABDF为正方形,∴AF=BD=DF=60,在Rt△AFC中,∠FAC=30°,∴CF=AF•tan∠FAC=60×=20,又∵FD=60,∴CD=60﹣20,∴建筑物CD的高度为〔60﹣20米．点评：考查解直角三角形的应用；得到以AF为公共边的2个直角三角形是解决本题的突破点．22．〔2014•XX一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光,航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故,立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向,马上以40海里每小时的速度前往救援,求海警船到大事故船C处所需的大约时间．〔温馨提示：sin53°≈0.8,cos53°≈0.6考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里,再解Rt△CBD中,得出BC=≈50,然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．解答：解：如图,过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∠CAD=30°,AC=80海里,∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中,∵∠CDB=90°,∠CBD=90°﹣37°=53