振动力学单自由度系统自由振动

单自由度系统自由振动主讲：殷玉枫教授太原科技大学机械电子工程学院2007-9-9教学内容单自由度系统自由振动无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼无阻尼自由振动令x为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，λ为静变形。当系统受到初始扰动时，由牛顿第二定律，得：在静平衡位置：固有振动或自由振动微分方程：单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置0x静平衡位置弹簧原长位置m固有振动或自由振动微分方程：令：单位：弧度/秒（rad/s）则有：通解：任意常数，由初始条件决定振幅：初相位：固有频率单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关单自由度系统自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动设的初始位移和初始速度为：令：有：单自由度系统自由振动时刻以后的自由振动解为：零时刻的初始条件：零初始条件下的自由振动：单自由度系统自由振动零初始条件下的自由振动：无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止。初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能。单自由度系统自由振动零初始条件下的自由振动：无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止。单自由度系统自由振动初始条件：固有频率从左到右：时间位置固有频率计算的另一种方式：在静平衡位置：则有：对于不易得到m和k的系统，若能测出静变形，则用该式计算是较为方便的。单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置例：提升机系统重物重量钢丝绳的弹簧刚度求：绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力。单自由度系统自由振动Wv重物以v=15m/s的速度匀速下降时解：振动频率重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置则t=0时，有：振动解：单自由度系统自由振动W静平衡位置kxWv振动解：绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和：动张力几乎是静张力的一半由于为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度单自由度系统自由振动Wv例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长L，抗弯刚度EJ求：梁的自由振动频率和最大挠度单自由度系统自由振动mh0l/2l/2解：由材料力学：自由振动频率为：单自由度系统自由振动取平衡位置以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系静变形mh0l/2l/2x静平衡位置撞击时刻为零时刻，则t=0时，有：则自由振动振幅为：梁的最大扰度：单自由度系统自由振动mh0l/2l/2x静平衡位置例：圆盘转动圆盘转动惯量I在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置扭振固有频率单自由度系统自由振动为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩由牛顿第二定律：由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将m、k称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的。单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置例：复摆刚体质量m对悬点的转动惯量重心C

求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率单自由度系统自由振动a0C解：由牛顿定律：因为微振动：则有：固有频率：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法若已测出物体的固有频率,则可求出，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：单自由度系统自由振动a0C单自由度系统自由振动例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角300质量m=1kg弹簧刚度k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零求：系统的运动方程m300重力角速度取9.8单自由度系统自由振动解：以静平衡位置为坐标原点建立坐标系振动固有频率：振动初始条件：考虑方向初始速度：运动方程：m300教学内容无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼单自由度系统自由振动能量法对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能T和势能V之和保持不变，即：或：单自由度系统自由振动弹簧质量系统动能：势能：（重力势能）（弹性势能）不可能恒为0单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置动能：势能：设新坐标单自由度系统自由振动0mx静平衡位置如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项。单自由度系统自由振动考虑两个特殊位置上系统的能量静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大单自由度系统自由振动对于转动：x是广义的0mx静平衡位置静平衡位置最大位移位置xmax0mx例：如图所示是一个倒置的摆摆球质量m刚杆质量忽略每个弹簧的刚度求:(1)倒摆作微幅振动时的固有频率(2)摆球时，测得频率为，时，测 得频率为，问摆球质量为多少千克时恰 使系统处于不稳定平衡状态？单自由度系统自由振动lmak/2k/2解法1：广义坐标动能势能平衡位置1零平衡位置1单自由度系统自由振动lmak/2k/2解法2：平衡位置2动能势能零平衡位置2单自由度系统自由振动lmak/2k/2单自由度系统自由振动例：均质圆柱质量m，半径R与地面纯滚动在A、B点挂有弹簧确定系统微振动的固有频率k1abRk1k2k2AB单自由度系统自由振动解：k1abRk1k2k2AB广义坐标：圆柱微转角圆柱做一般运动，由柯希尼定理，动能：C点为运动瞬心势能：CA点速度：B点速度：单自由度系统自由振动解：k1abRk1k2k2AB动能：势能：C单自由度系统自由振动k1Rk2Mm例：铅垂平面内一个滑轮-质量-弹簧系统确定系统微振动的固有频率滑轮为匀质圆柱，绳子不可伸长，且与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固结。单自由度系统自由振动解：k1Rk2Mm广义坐标：质量块的垂直位移x动能：x势能：单自由度系统自由振动解：k1Rk2Mm广义坐标：质量块的垂直位移x动能：x势能：教学内容无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼单自由度系统自由振动瑞利法利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。单自由度系统自由振动mkx0例如：弹簧质量系统设弹簧的动能:系统最大动能：系统最大势能：若忽略，则增大单自由度系统自由振动弹簧等效质量mtmkx0教学内容无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度方法1：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：当、分别取最大值时：则可得出：Ke：简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等单自由度系统自由振动动能势能单自由度系统自由振动零平衡位置1lmak/2k/2单自由度系统自由振动k1abRk1k2k2AB动能势能单自由度系统自由振动k1Rk2Mmx动能势能方法2：定义法等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量单自由度系统自由振动例：串联系统总变形：在质量块上施加力P弹簧1变形：弹簧2变形：根据定义：或Pmk1k2单自由度系统自由振动使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度例：并联系统两弹簧变形量相等：受力不等：在质量块上施加力

P由力平衡：根据定义：并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和Pmk1k2单自由度系统自由振动mk1k2使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度例：杠杆系统杠杆是不计质量的刚体求：系统对于坐标x的等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动k1k2m1m2l1l2l3x解法1：能量法动能：势能：单自由度系统自由振动等效质量：等效刚度：固有频率：k1k2m1m2l1l2l3x解法2：定义法设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P单自由度系统自由振动则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩：则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：PPk1k2m1m2l1l2l3x教学内容无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼单自由度系统自由振动阻尼自由振动前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼。在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。单自由度系统自由振动粘性阻尼力与相对速度称正比，即：c：为粘性阻尼系数，或阻尼系数单位：动力学方程：或写为：固有频率相对阻尼系数mkc单自由度系统自由振动建立平衡位置，并受力分析mx0动力学方程：令：特征方程：特征根：三种情况：欠阻尼过阻尼临界阻尼单自由度系统自由振动第一种情况：欠阻尼动力学方程：特征方程：特征根：特征根：阻尼固有频率有阻尼的自由振动频率振动解：c1、c2：初始条件决定单自由度系统自由振动两个复数根欠阻尼振动解：设初始条件：则：或：单自由度系统自由振动欠阻尼振动解：阻尼固有频率阻尼自由振动周期：T0：无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期单自由度系统自由振动欠阻尼响应图形单自由度系统自由振动振动解：欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动ξ=0ξ<1时间位置欠阻尼响应图形单自由度系统自由振动振动解：欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动ξ<1ξ=0不同阻尼，振动衰减的快慢不同单自由度系统自由振动不同阻尼大小下的振动衰减情况：阻尼小：阻尼大阻尼大，则振动衰减快阻尼小，则衰减慢评价阻尼对振幅衰减快慢的影响与t无关，任意两个相邻振幅之比均为衰减振动的频率为，振幅衰减的快慢取决于，这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部减幅系数单自由度系统自由振动定义为相邻两个振幅的比值：减幅系数：含有指数项，不便于工程应用实际中常采用对数衰减率：单自由度系统自由振动实验求解利用相隔j个周期的两个峰值进行求解得：当较小时（）单自由度系统自由振动第二种情况：过阻尼动力学方程：特征方程：特征根：特征根：两个不等的负实根振动解：c1、c2：初始条件决定单自由度系统自由振动过阻尼振动解：设初始条件：则：一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生单自由度系统自由振动响应图形第三种情况：临界阻尼动力学方程：特征方程：特征根：特征根：二重根振动解：c1、c2：初始条件决定单自由度系统自由振动振动解：临界阻尼则：仍然是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些临界阻尼系数单自由度系统自由振动设初始条件：响应图形tx(t)临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些三种阻尼情况比较：欠阻尼过阻尼临界阻尼欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生小结：动力学方程欠阻尼过阻尼临界阻尼按指数规律衰减的非周期蠕动按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快振幅衰减振动例：阻尼缓冲器静载荷P去除后质量块越过平衡位置得最大位移为初始位移的10％求：缓冲器的相对阻尼系数单自由度系统自由振动kcx0x0Pm平衡位置解：由题知设求导：设在时刻t1质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：即经过半个周期后出现第一个振幅x1单自由度系统自由振动kcx0x0Pm平衡位置由题知解得：单自由度系统自由振动例：单自由度系统自由振动刚杆质量不计求：（1）写出运动微分方程（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率小球质量mlakcmb解