初中数学竞赛教程

...wd......wd......wd...七年级第一讲有理数〔一〕一、【能力训练点】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成〔互质〕。4、性质：①顺序性〔可比较大小〕；②四那么运算的封闭性〔0不作除数〕；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。5、绝对值的意义与性质：①②非负性③非负数的性质：i〕非负数的和仍为非负数。ii〕几个非负数的和为0，那么他们都为0。二、【典型例题解析】：1．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的〔〕A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方2.两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。3.如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如以以下列图所示，那么化简的结果等于〔〕A.B.C.0D.4.有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。6.三个有理数的积为负数，和为正数，且那么的值是多少7.假设为整数，且，试求的值。第二讲有理数〔二〕一、【能力训练点】：1、绝对值的几何意义①表示数对应的点到原点的距离。②表示数、对应的两点间的距离。2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、【典型例题解析】：1．假设，化简2．试化简3.假设，求的取值范围。4.求的最小值。5．假设与互为相反数，求的值。6.如果，求的值。7.是什么样的有理数时等式成立第三讲有理数〔三〕一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法那么。3、巧算的一般性技巧：①凑整〔凑0〕；②巧用分配律③去、添括号法那么；④裂项法4、综合运用有理数的知识解有关问题。二、【典型例题解析】：1．计算：2．3．计算：4.比较与2的大小。5.计算〔1〕〔2〕第四讲代数式〔一〕一、【能力训练点】：〔1〕列代数式；〔2〕代数式的意义；〔3〕代数式的求值〔整体代入法〕二、【典型例题解析】：1.求代数式的值：〔1〕，求代数式的值。〔2〕的值是7，求代数式的值。〔3〕，求的值。〔4〕：当时，代数式的值为2007，求当时，代数式的值。〔5〕等式对一切都成立，求A、B的值。〔6〕，求的值。〔7〕当多项式时，求多项式的值。2.多项式经合并后，不含有的项，求的值。3.当到达最大值时，求的值。4.假设互异，且，求的值。5.，求的值。6.，求的值。7.，比较M、N的大小。，。8.，求的值。9.，求K的值。10.，比较的大小。11.，求的值。第五讲一元一次方程〔一〕一、【能力训练点】：1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。3、一元一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。二、【典型例题解析】：1.能否从；得到，为什么反之，能否从得到，为什么2.假设关于的方程，无论K为何值时，它的解总是，求、的值。3.假设。求的值。4.是方程的解，求代数式的值。5.关于的方程的解是正整数，求整数K的值。6.关于的一元一次方程求代数式的值。7.解方程8.当满足什么条件时，关于的方程，①有一解；②有无数解；③无解。第六讲一元一次方程〔2〕一、【能力训练点】：1、列方程应用题的一般步骤。2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题〔如经济问题、利润问题、增长率问题〕二、【典型例题解析】1．要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克2．一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天3．某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋4．一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2，假设将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数5．一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的后，用水加满，第二次倒出它的后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。6.某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，那么有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的客车，那么除多出一辆外，其余车恰好坐满，租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算租几辆车7.有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，用24部A型抽水机，6天可抽干池水，假设用21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量一样，要使这一池水永抽不干，那么至多只能用多少部A型抽水机抽水第七讲：线段和角【能力训练点】：数线段——数角——数三角形问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段分析：点线段2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+5……n1+2+3+…+(n-1)=问题2．如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，那么图中小于平角的角共有〔〕个(A)3(B)4(C)5(D)6拓展：1、在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个射线角13=1+226=1+2+3310=1+2+3+4……n1+2+3+…+(n+1)=类比：从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个射线角2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4……n1+2+3+…+(n-1)=类比联想：如图，可以得到多少三角形〔二〕与线段中点有关的问题线段的中点定义：文字语言：假设一个点把线段分成相等的两局部，那么这个点叫做线段的中点图形语言：几何语言：∵M是线段AB的中点∴，【典型例题】：1．由以下条件一定能得到“P是线段AB的中点〞的是〔〕〔A〕AP=AB〔B〕AB＝2PB〔C〕AP＝PB〔D〕AP＝PB=AB2．假设点B在直线AC上，以下表达式：①；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是线段AC的中点的有〔〕A．1个

B．2个

C．3个

D．4个3.如果点C在线段AB上,以下表达式①AC=AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中,能表示C是AB中点的有()A.1个B.2个C.3个D.4个第八讲：与三角形有关的线段一、【能力训练点】：1．三角形的边三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b〔两点之间线段最短〕由上式可变形得到：a>c－b，b>a－c，c>b－a即有：三角形的两边之差小于第三边2.高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。3.中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线4.角平分线：三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线二、【典型例题】1．三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是()A.1<a<5B.2<a<6C.3<a<7D.4<a<62.：△ABC中，AD是BC边上的中线求证：AD+BD>〔AB+AC〕3．:BE,CE分别为△ABC的外角∠MBC,∠NCB的角平分线,求:∠E与∠A的关系4．:BF为∠ABC的角平分线,CF为外角∠ACG的角平分线,求:∠F与∠A的关系。思考题：如图：∠ABC与∠ACG的平分线交于F1；∠F1BC与∠F1CG的平分线交于F2；如此下去,∠F2BC与∠F2CG的平分线交于F3；…探究∠Fn与∠A的关系〔n为自然数〕第九讲：与三角形有关的角一、【能力训练点】：〔一〕三角形内角和定理：三角形的内角和为180°〔二〕三角形的外角性质定理：1.三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和2.三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角〔三〕多边形内角和定理：n边形的内角和为多边形外角和定理：多边形的外角和为360°二、【典型例题】1．多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数。2．科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图4中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为〔〕A.6米B.8米C.12米D.不能确定第十讲：二元一次方程组一、【能力训练点】：1.二元一次方程的定义：经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。2、二元一次方程的标准式：3、二元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右两边的值相等的一对、的值，叫做这个方程的一个解。4、二元一次方程组的定义：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。二、【典型例题】1．假设以下三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k的取值应是〔〕A、k=-4B、k=42．方程组的解是，那么方程组的解是〔〕A．B．C．D．3．解方程组4．解方程组5．字母系数的二元一次方程组：〔1〕当为何值时，方程组有唯一的解〔2〕当为何值时，方程组有无穷多解第十一讲：一元一次不等式一、【能力训练点】：1．不等式的基本性质通过比照不等式和方程的性质，使学生学会用类比的方法看问题。性质1：不等式的两边同时加上〔或减去〕同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。假设a>b，那么a+c>b+c〔a-c>b-c〕。性质2：不等式的两边同时乘以〔或除以〕同一个正数，不等号方向不变。假设a>b且c>0，那么ac>bc。性质3：不等式的两边同时乘以〔或除以〕同一个负数，不等号方向改变。假设a>b且c<0，那么ac<bc。2．同解不等式如果几个不等式的解集一样，那么这几个不等式称为同解不等式。3．一元一次不等式的定义：像，等只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。4．一元一次不等式的标准形式一元一次方程的标准形式：〔〕或〔〕。5．一元一次不等式组的解集确定假设a>b那么〔1〕当时，那么，即“大大取大〞〔2〕当时，那么，即“小小取小〞〔3〕当时，那么，即“大小小大取中间〞〔4〕当时，那么无解，即“大大小小取不了〞二、【典型例题】：1．假设不等式ax＞b的解集是x＞，那么a的范围是〔〕A、a≥0B、a≤0C、a＞0D、a＜02．解关于x的不等式3．假设不等式是同解不等式，求m的值。4．假设不等式组的解是x>3，那么m的取值范围是〔〕A．B．C．D．5．关于x的不等式组有四个整数解，那么a的取值范围是〔〕A．B．C．D．6．关于、的方程组的解适合不等式，求的取值范围.第十二讲：一元一次不等式〔组〕的应用一、【能力训练点】：1．能够灵活运用有关一元一次不等式〔组〕的知识，特别是有关字母系数的不等式〔组〕的知识解决有关问题。2．能够从不等式〔组〕的解集，反过来确定不等式〔组〕中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。3．能够用分类讨论思想解有关问题。4．能利用不等式解决实际问题二、【典型例题】1．m取什么样的负整数时，关于x的方程的解不小于－3.2．、满足且，求的取值范围.3．比较和的大小4．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进展试生产，方案生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答以下问题：〔1〕有几种符合题意的生产方案写出解答过程；〔2〕如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低原料名称饮料名称甲乙A20克40克B30克20克5．某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周〔按120个工时计算〕生产空调器，彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产40台，生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元家电名称空调器彩电冰箱工时〔个〕产值〔万元/台〕0.40.30.2八年级第一讲全等三角形的性质与判定一、【能力训练点】：1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全一样；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进展证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进展证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.二、【经典练习】1．〔绍兴〕如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.假设∠CDE＝48°，那么∠APD等于〔〕A．42° B．48° C．52° D．58°2．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，以下结论中错误的选项是〔〕A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90° C．AC＝DF D．EC＝CFEEFBABPDEC第1题图ACDG第2题图3．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如以以下列图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵假设PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.BBFACENMPDDACBFE21ABCPQEFD4.〔第21届江苏竞赛试题〕，如图，BD、CE分别是21ABCPQEFD5．如图,AB＝CD,AB∥CD.BC＝12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s,Q的速度是0.2cm/s.求爬行时间t为多少时，△APB≌△QDC.DDAC.QP.BDBACEF6．如图,△ABC中，∠BCA＝90°DBACEF⑴求证：AE＝CD；⑵假设AC＝12cm,求BD的长.7．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E.BDEBDEClA⑵假设DE＝a，求梯形DABE的面积.〔温馨提示：补形法〕8．如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF＝AC，FD＝CD.⑴求证：BE⊥AC；AEFCDB⑵假设把条件“BF＝AC〞和结论AEFCDB9．如图，D为在△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线.求证：AC＝2AE.AABEDC10．如图，在凸四边形ABCD中，E为△ACD内一点，满足AC＝AD，AB＝AE,∠BAE＋∠BCE＝90°,∠BAC＝∠EAD.求证：∠CED＝90°.AAEBDC11．〔沈阳〕将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.⑴求证：AF＋EF＝DE;⑵假设将图①中△DBE绕点B顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出〔1〕中结论是否仍然成立；⑶假设将图①中△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为〔1〕中结论还成立吗假设成立，写出证明过程；假设不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明AFAFDFCBEDACBEACB图①图②图③ABCDE12．〔嵊州市高中提前招生考试〕⑴ABCDE小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，那么1＜AD＜4.感悟：解题时，条件中假设出现“中点〞“中线〞等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.ABEFCD问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交ACABEFCD求证：BE＋CF＞EF；第二讲角平分线的性质与判定一、【能力训练点】：1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3．有角平分线时常常通过以下几种情况构造全等三角形.二、【经典练习】1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE＝BD2．如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD.3．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由；⑵求证：AE＋CD＝AC.4．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求证：BE＝CF5．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF.第三讲等腰三角形一、【能力训练点】：1．等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：⑴等腰三角形的两个底角相等〔即等边对等角〕；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合〔即等腰三角形三线合一〕2．等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．3．构造等腰三角形的常用方法⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形⑵角平分线＋垂线〔或高〕＝等腰三角形⑶线段中垂线构造等腰三角形⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形二、【经典练习】1．如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点,以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC交于点E、F，当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，⊿PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由．2．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝900，D是BC的中点，DE⊥AB垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．⑴求证：AD⊥CF;⑵连接AF，试判断⊿ACF的形状，并说明理由．3．如图，在∆ABC中，∠B＝2∠C，AD为∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.4．(天津初赛试题)如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝1050，∠ABC＝∠ADC＝450，假设AB＝2，求CD的长．5．如图，在∆ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC延长线上，BD＝CF．求证DE＝EF.6．〔滨州〕等腰∆ABC的周长为10，假设设腰长为x，那么x的取值范围是____________.7.如图，在∆ABC中，∠ABC＝460，D是边BC上一点，DC＝AB,∠DAB＝210，求∠CAD的度数．第四讲等边三角形一、【能力训练点】：1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．二、【经典练习】1.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上．AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．(1)求证：△ACE≌△DCB;(2)求∠AFD的度数；(3)判断△CMN的形状。2.P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，求∠APC的度数。3．如图．四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°求证：AC＝BC＋DC．第五讲实数一、【能力训练点】：1．平方根与立方根：假设＝a(a≥0)那么x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±，其中a的平方根为x＝叫做a的算术平方根．假设x3＝a，那么x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数〔p、q是两个互质的整数，且q≠0〕的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根〔或偶次方根〕都是非负数．即>0，≥0〔n为正整数〕，≥0(a≥0)．二、【经典练习】1．m是小于的最大整数，那么m的平方根是____．2．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．输入输入x取算术平方根输出y是无理数是有理数3.〔全国竞赛〕非零实数a、b满足，那么a＋b等于()A．－1B．0C．1D．24.．在实数范围内，等式＝0成立，那么ab＝____．5.假设a、b都为有理效，且满足．求a＋b的平方根．6．〔西安市竞赛题〕m、n是有理数，且〔＋2〕m＋(3－2)n＋7＝0求m、n．7.假设a为−2的整数局部，b−1是9的平方根，且，求a＋b的值．8．在实数1.414，，0.，5−，，3.，中无理数有()A．2个B．3个C．4个D．5个9．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※2＝＝．那么12.※4＝____．10.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．11．整数x、y满足＋2＝，求x、y．12．〔全国联赛〕假设a、b满足＝7，S＝，求S的取值范围第六讲幂的运算一、【能力训练点】：幂的运算性质〔其中m、n、p都为正整数〕：1．2．3．4．5．二、【经典练习】1.假设，求n的值.2．假设，，求的值3．假设，求代数式的值4．假设，，那么＝________.5．，求的值6．，，，那么a、b、c的大小关系是〔 〕A．a>b>c B．a>c>b C．a<b<c D．b>c>a7．，，，那么a、b、c的大小关系为〔 〕A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．b<c<a8．如果x、y是正整数，且，求满足条件的整数x、y9．求满足的整数n.10．a、b、c为自然数，且，求的值11．设a、b、c、d都是非零自然数，且，求的值第七讲整式的乘除一、【能力训练点】：1．整式的乘法包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等.2．整式的除法包括单项式除以单项式